建筑力学第五章-梁弯曲时位移课件

1、第五章 梁弯曲时的位移（了解）5-1 梁的位移挠度和转角5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角5-4 梁的刚度校核提高梁的刚度的措施建筑力学5-1 梁的位移挠度和转角建筑力学 弯曲后梁的轴线挠曲线为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：建筑力学 直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩M

2、e也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。(a)(b)建筑力学 在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负； 顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负。建筑力学5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分（了解）一. 挠曲线近似微分方程的导出 在4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。建筑力学 在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力Q=Q(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力Q对梁的变形

3、的影响可略去不计，而有建筑力学从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作式中，等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w是q = w 沿x方向的变化率，是有正负的。建筑力学建筑力学再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w ，正弯矩对应于负值的w ，故从上列两式应有由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程二. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为后进行积分，再利用边界条件确定积分常数。建筑力学 当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有 以上两式中的积分常数

4、C1，C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。建筑力学 边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。建筑力学 若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件。这两类条件统称为边界条件。建筑力学 例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。建筑力学解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得于是得该梁的边界条件为：在 x=

5、0 处 ，w =0建筑力学从而有转角方程挠曲线方程 根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。建筑力学可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有建筑力学 例题5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。建筑力学解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得：建筑力学该梁的边界条件为在 x=0 处 w=0，在 x=l 处 w=0于是有即从而有转角方程挠曲线方程建筑力学 根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相等，且均为最大值，故最大挠度在跨中，其值为建筑力学5-3 按

6、叠加原理计算梁的挠度和转角 当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理。建筑力学 悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附录中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。建筑力学 例题5-3 试按叠加原理求图a所示

7、等直梁的跨中截面挠度 wC 和两支座截面的转角qA 及 qB。(a) 建筑力学 解： 作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。(b)(a)建筑力学 在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，有C建筑力学注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录表中的公式有 在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有C建筑力学按叠加原理得建筑力学5-4 梁的刚度校核提高梁的刚度

8、的措施一. 梁的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件：式中，l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)，q为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度条件。建筑力学 土建工程中通常只限制梁的挠跨比， 。在机械工程中，对于主要的轴， ；对于传动轴还要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角， 。建筑力学 例题5-5 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知=170 MPa，=100 MPa，E=210 GPa， 。建筑力学 解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型号

9、时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作更改。建筑力学1. 按正应力强度条件选择槽钢型号 作梁的剪力图和弯矩图如图c和图e。最大弯矩在距左支座0.8 m处，Mmax=62.4 kNm。梁所需的弯曲截面系数为Q建筑力学而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz36710-6 m3/2=183.510-6m3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需的Wz=183.510-6 m3而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正应力s，但如超过不到5%，则工程上还是允许的。超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/1703%，未超过5%，

10、故允许。事实上即使把梁的自重 (222.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。现加以检验：建筑力学2. 按剪应力强度条件校核 最大剪力Qmax=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为每根20a号槽钢其横截面在中性轴一侧的面积对中性轴的静矩，根据该号槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：Qmax建筑力学当然， 的值也可按下式得出：每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4于是Qmax建筑力学3. 按刚度条件校核 此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截面C的挠度wC作为梁的最大

11、挠度wmax。简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计算公式为可见，对于此梁上的左边两个集中荷载，应为建筑力学于是由叠加原理可得而许可挠度为由于wmaxw，故选用20a号槽钢满足刚度条件。建筑力学二. 提高梁的刚度的措施(1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同(E210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。建筑力学 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为(2) 调整跨长和改变结构的体