罗默高级宏观经济学第3版课后习题详解真实经济周期理论

1、罗默高级宏观经济学 (第3版)第4章 真实经济周期理论跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库,您可以在这里 查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书 等内容,更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的 经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的 财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进 行咨询。对美国以外的其他国家进行与表4.1、表4.2或表4.3相类似的计算。答：可以到网上查找相关国家的数据进行计算。对以下各项彳出与表 4.3相类似的计算：(a)雇员的薪水在国民收

2、入中所占份额。(b)劳动力参与率。(c)联邦政府预算赤字在 GDP中所占份额。(d)标准普尔500种股票综合价格指数。(e)穆迪Baa债券和Aaa债券收益率之差。(f) 10年期和3月期美国国库券收益率之差。(g)美元对其他主要货币的加权平均汇率。答：读者可以到网上查找相关国家的数据进行计算。令八表示第0期的A值，并令ln A的行为由方程(4.8)和(4.9)给定。(a)把ln A、ln A2和ln 4用ln4、=2、垢、A和g来表示。(b)根据鬣的期望为0这一事实，当给定ln%、A和g时，求lnA,、ln 4和ln A3的 期望值。答：(a)首先给出表示技术进步的公式，即方程(4.8)和(4

3、.9): TOC o 1-5 h z ln A =A +gt +A(1)A =巴At _l + %, t , 1 M Pa 1必 一彳）+外心/ +占“+%后=%，（也为-I） +口：啊j再将方程（14）代入方程（12）得：1桢3 二彳 + 3g+p：（Lv!q -A） +pj?4, +Paai2 + 3（b）通过方程（7）可以得到ln A的期望值，即：ElnA/二工+ g+p/（liUo -彳）(14 )(15)上步用到了 E &A1 - = 0通过方程（11）可以得到lnA2的期望值：- ln42 =4 + 2g + p；（1口儿- A）上步用到了 EH7,1j=FA2EA,1j=0 ,

4、ePa/，2=PaE,a，2=0，E 1/, $=0。通过方程（15）可以得到lnA3的期望值：人-A 4 3g +p（ln.4o -A）上步用到了 ePa28a,i=R2e8a,J=0, eIrsa 2=reIea 2=0, esa)30 假设第t期的效用函数Ut为ut =lnG+b(11尸/ 14), b0 , 0 ,而非ut =ln c +bln( 1-lt j, b 0 o(a)考虑类似于式(4.12 )式(4.15 )中方程研究的一期问题。劳动力供给如何取 决于工资。(b)考虑类似于式(4.16)式(4.21 )中方程研究的两期问题。两期中闲暇的相对 需求如何取决于相对工资？如何取决

5、于利率？从直观上解释为什么会影响劳动供给对工资和利率的反应程度。答：(a)假定没有初始财富并将家庭的规模标准化为1,则问题可表示如下：max Ine +6(1 -/)1 y/( 1 - y)fpft. c = ul建立拉格朗日方程：L =lnc+b(1-l/(1 _)+九加-c一阶条件为： TOC o 1-5 h z a/沅= (1/c)九=0(1)cL/a =4(1l + Aw=0(2)将预算约束代入方程(1)得：九=1/c=1/(wl)(3)将方程(3)代入方程(2)得：-b 1 -l - w/ wl )=0化简上式可以得到：1/l =b/(1-l /(4)从方程(4)对劳动供给量l的潜在

6、定义中可以看出，劳动供给量的大小与实际工资无 关。(b)计算两期中的相对闲暇，即(1-L y(1-b)。假设家庭生存两期，没有初始财富，家庭规模标准化为1,即Nt/H =1,没有不确定性。因此问题表述如下:建立拉格朗日方程:”丁)1 -B 一阶条件为:(5)工/2=e-：?/C2 )-a/ 1 r j=0(6)工/：工=b 1 -I1已叫=0L / J2 = -e-：b 1 -I2 :： J |W2 / 1 r =0(8)对方程（7）进行相应转化可以得到 九的一个表达式:定二b 1 -I1 一 /叫对方程（8）进行相应转化可以得到九的另一个表达式：- e-：b 1 -12 j i；1 - r

7、：ll/ w2对上面关于 人的两个表达式联立并进行求解，可得：小（1 +2）进而可推得:(1 -l2y + r)孙最后可以得到:e-pl 1 r(9 )如果W2/W1上升，则（1-ii y（i-12也会随之上升。因此，假设第二时期的实际工资相对于第一时期的实际工资上升，第一时期的空闲时间相对于第二时期来说就会增加,或者说第一时期的劳动时间相对于第二时期而言就会减少。卜面计算弹性，并且令-（1-11 y（112户1*工/2=1/c - . -0和w2 / W1三W*,从而得至I:dC it* 1h尸二歹r将方程（9）方程中的1*三（1-11 y（112 X弋入上式的分母中可以得到：&r _ 1

8、14一1 +）=八=x京厂工厂二（1 +.）.：=7从方程（9）中可以看出，如果 r升高，（11）/（12/会减小。因此，假设实际利率增加，则第一时期的闲暇时间相对于第二时期来说就会减少，或者说第一时期的劳动供给相对于第二时期来说就会增加。显然：a（i- 6）1 + t _ 1而百 （ 1）/（1）- -7因此学越小，即1/ 越大，个人越有可能对实际工资的变化做出反应。对于对数效用函 数，=1 ,弹性为1。一个较低的值，意味着在l上效用不是一条非常陡峭的曲线，也就 是l可以适应工资和利率的较大的变化。4.5 考虑教材中方程（4.16）（4.21 ）中研究的问题：（a）证明：当W2/W1保持不变

9、时，w1和W2的增加不会影响L和I2。（b）现在假设家庭的初始财富为Z 0o（1）式（4.23 ）是否继续成立？为什么？（2） （a）部分的结论是否继续成立？为什么？答：（a）证明：maxln g bln 1 -11 j-e_ Inc2 bln 1 -l2 ：|1 1 ci +f77之= +177人建立拉格朗日方程：L - lncl + 61n (1 一人)+ep_ liif2 + 61n (1) + A-c2卜面给出四个一阶条件及简单的代数运算结果：由W =九二0可推出：白二由 T- i二。可推出：C2 =dc21 + rA由半二TT +入叼二。可推出：/ - 1d I （ 1 ）A U.,

10、由察二亓蔡r +兽二口可推出:（ 1 2）1 扪 r(5 )(6 )(7 )1 + 2Art2一气1 +A( 1 +rb 1 七Au-j J 1 + r(1Air2将方程（4） - （7）代入方程（2）,得:上面方程两边同乘以 人得:Ait j bi r A!2 - (1 + r) e pb1 +e 二人% - +;- 一-;人1白 1 + r l au2进一步化简，可得：1 + e-= Ait11 - b +- -1 + T可解得，一的值为：(1 +)(1 +6)(8)+ u2/( 1 + r)上步用到了 1 +e邛a +e-% =(1 +e?j1 +b 将方程（8）代入方程（6）可得第一时

11、期劳动供给量的一个表达式:j _ 1 b _ 6诔1 + 卬1/（ 1 +-）1 （ 1 4）（ 1 +6） （1 + e-?）（l +b）w,叫+ w2/（ 1 +r） 1将上式的第二项的分子分母同除以wi得到下式：i 从 1 +（叱/叫+r） （1+产）（1+6）li是关于相对工资 W2/W1的函数，因此，无论 Wi、坨怎么变化，只要 w2 / Wi不变，li将 保持不变。将方程（8）代入（7）可以得到关于第二时期劳动供给量的一个表达式：(1 I r)epb 1+w2/(l + r)(+)( +b) 1(1 +e-p)(l +b)w2L 叫 + w2/ (1 +r)产然后，将上式的分子分母

12、同除以w2得：（1 + 厂）6 （叫/% ） + 1/（1 + r） G = I（l+L）（l+b）（i。）I2是关于相对工资 W2/Wi的函数，因此，无论 Wi、W2怎么变化，只要 W2 / Wi不变，12将 保持不变。（1 + rf + 1）（b） （i）家庭的初始财富为 Z 0 ,并不影响 6，它将继续成立。欧拉方程，描述了本期的消费与下一期预期消费的关系，如下：由上式可以推出:(11)将方程（4） - （7）代入到终生预算约束（2）中，得到:a十上?Ait.2 J1一 1 十 r) r, b i 啊A A (1 + r) 1*捶1 + r在两边乘以入，可得:Au1 Ji Au2 Atc

13、2 - (1 + ryepbiA 1 + r I进一步简化得:最后解出九：_ (1 +K#)(1 +b)(12)一叫 + w2/(l + r)上一步用至ij了 1 +e*b +ed =（1 +e1） +b 卜将（12）代入（6）中可以得到第一期劳动供给的一个表达式：/ _ b +1 + r）1 （ +）（1 + 6）j = （1 +L）（1+6）%wj +w2/（l +r）产最后在第二项的分子和分母上同除以W1,可得：b 1 + （叫/叫）（1/（ 1 +r）/ I -1（1+）（1”）（13由于11是关于相对工资 W2/W1的函数，因此，无论 W1、W2怎么变化，只要 W2/W1不变, l1

14、将保持不变。将（12）代入（11）中，可以得到第二期的劳动供给：(1 E”(L +)(1 +6) _tt;x + it2/( 1 + r) (1 + r)epb叫 +w2/(l 4-r)J(1 +)(1 +6在第二项的分子分母上同除以 W2,可以将上式进一步简化为：（1 + r）-/?6 j +1/（1 +r）lLy - 1 （l+）S+6）（14）由于12是关于相对工资 W2/W1的函数，因此，无论 W1、W2怎么变化，只要 W2 / W1不变, 1 2将保持不变。（2）如果家庭拥有初始财富，则（a）部分的结论不再继续成立。新的终生预算约束为:1 ， 11（2 1 I -C2 / + 讥/1

15、 + -t2+r.+r在约束中加入一个常数项，这不会影响一阶条件。将一阶条件（ 算约束中，可以得到：1 e-p（l +r）?r., b %T+ A（1 +r）-z + tt41 一菽卜FT7同样按照（a）中的代数运算方法可以得出：（1 +）（1 十人）Z + I% + */（ 1 + r）(15)4） - （7）代入新的预(16)将方程（16）代入（6）可以得出第一时期劳动供给量的一个表达式:b(1 +)(1+6)Z +出1 卜趾a/(1 IbZ + % + w2/( 1 + r)_ 1(1 4- e -p) ( 1 + b)叫将上式的第二项的分子分母同时除以w1可得：同（Z/%）十1十（叼/

16、的）（1/（1+r）/ 一 -在保持w2 /Wi为常数的情况下，将叫L关于以求导，可得:bZ/u1 +e-p0(17)从而可以看出，当 Wi变化时，即使 W2也随之变化，而相对工资 W2/W1不变，第一时期 的劳动供给量也会发生变化。第一时期的劳动供给量和其工资是呈正相关的。将方程（16）代入（11）可以得到第二时期劳动供给量的一个表达式：_ （ 1 + /）=* _ UZ +禧1+ 加之/（ 1 +_ 一飞 +r）（ +）.0 I +b）w2Z + 企+ u 2/（1 + r）k:将上式的分子分母同时除以 W2得：（1 +r）epb（ZAv2） 4-（叫/啊）+ 1/（ 1 + r）心=1

17、-（1 ）（l+b）（18）在保持W2 /W1为常数的情况下，对 关于W2求导：叫（1 + r） e pbZ/u二- 0皿（1 +e-p）（l从而可以看出，当 W2变化时，即使 叫也随之变化从而保持相对工资W2/W1不变，第二时期的劳动供给量也会发生变化。第二时期的劳动供给量和其工资是呈正相关的。4.6 假设一个人存活两期，其效用函数为lnCi+lnC2。(a)假设这个人在其生命中的第一期劳动收入为Y1,在第二期为 0。因此，第二期的消费为(1十r jYi Ci卜收益率r可能是随机的。(1)求这个人在选择 C1时的一阶条件。(2)假设r由确定变为不确定，而 E M不变。C1如何对这一变化作出反

18、应。(b)假设这个人在第一期劳动收入0,在第二期为 丫2。因此，第二期的消费为丫2 -(1 +r p。丫2是确定的，r同样可能是随机的。(1)求这个人在选择 Ci时的一阶条件。(2)假设r由确定变为不确定，而 E Jr 不变。G如何对这一变化作出反应。答：(a) (1)实际利率可能是随机的，定义 r=Er+6,其中名是一均值为零的随机误 差项。 TOC o 1-5 h z maxU =ln C1 +E ln C2 (1)将C2代入式(1),可得：U =lnG +E ln(1 +E t 】+名小一G(2)对式(2)两边取导数可得：U /C1 =1/G +E (-1 X +E F +8 y(1+E

19、 +4丫 一G 方=0(3)化简(3)式得：1/C1 eH/(Y -C1 0=0。(2)由于1/但-G )不是随机的，所以：E ”(丫 -C )=1/(丫-G )并且经过简单的代数运算可以得出：&=丫/2(4)在这种情况下，C1并不受r的确定性的影响。即使 r是随机变量，个人仅消费第一期收 入的一半而将另一半储蓄起来。(b) (1)在这种情况下，代表性个人在第一期没有收入，而在第二期收入丫2,因此需要最大化由(a) (1)规定的预期效用，即：max ln C1 ln C2(5)s.t. C1 =BC2 =丫2+E r +小1 =丫2 -(1+E I +邛1(6)其中B1是代表性个人的贷款数。将

20、(6)代入预期效用函数(1)得：U =lnG Eln JY2 T E 卜 I ； C1在(7)中求关于Ci的导数，得到一阶条件：U /C =1/C1 e ji + E+wyC2 j=0(8)利用两个变量的积的期望方程E 1Xy=E X正卜+cov(X , Y),可得：1/Ci =(1 +E r )E 1/C2 +cov(1+E r +名，I/C2 )(9)通过式(9)可以得到：1/Ci =(1+Erxi/C2 )=(1+e y (1+Epik (1+ErR =(i+ErR可以看出上式中协方差是正的。名越高，意味着代表性个人不得不付出更多的借款利息， 从而降低第二期的消费 C2, 1/C2变大，

21、因此协方差是正的。如果r是确定的，因此r=Er,因为此时君=0,则(9)式可以变为：1/G =(1+Elr(1/C2 )=(1+Eir y Y -(1+EHpJ可以整理为：Y2 - 1 E H Ci = 1 E I r Ci从中求解Ci可以得到：Ci =Y2/2(1+eE)(10)(2)如果r是不确定白1从(9)中还可以得出：1/G =(1 +E r 十町E(1/C2 )+cov(1 + E It +，I/C2 )因为1/C2是C2的凸函数，根据詹森(Jensen)不等式，Eh/Gki/ECJ,除此以外， 因为协方差是正的，上式可以整理为：1/C1 =(1 +E r )E i/C2 +cov(

22、1 +E r +名，1/C2 )(1+E r)。/ E C2 将此不等式代入E匕2 =Ya (1 +E lr l)Ci ,可得：1/C, (1 +E_r )/ - (J + Er )C|=L (1 十七| )G (1 +EI )G =2(1 W 即：Ci Y2/2(1+E F )(11)由(10)可以知道，方程(11)的右边是在确定性条件下Ci的最优选择。因此，如果 r由确定变为不确定，而 E t杯变，Ci的最优选择变小了。本质上说，如果个人在第二期支 付的利率面临不确定性，他在决定第一期借款消费时必定会非常谨慎。4.7(a)用类似于推导方程(4.23)的论证方法来证明：家庭最优化要求b/(1

23、 f 尸eEt , (i+4+)o/,+(1lt+U。(b)证明这一条件可由教材中方程(4.23 )和(4.26 )得出(注意4,26 在各期都成立)。答：(a)证明：假定家庭在t期增加其劳动供给，数量为 H。因此，这会为家庭带来更 多的财富，从而使家庭可以在 t1期减少劳动供应，并且使各期的消费保持不变。如果家庭 最优化其行为，这种边际变化不会改变其终生效用。家庭的总效用函数为：t X(1)U=2W中点6.1 fjzv/出 :=0家庭的代表性个人的t时期的效用函数为:ut =ln ct +bln(1 -lt j(2)从方程(1)(2)中可以得出，在t期工作的负边际效用为：-U/lt =ee

24、Nt/H jb/(1lt)(3)因此，劳动供给量每增加 值的效用成本为：e-;t0的期望值。瞬时效用函数u（Ct磔u（Ct）=Ct -0Ct2, e 0 o 假设C总处在使u（C四正的区间里。产出是资本的线性函数再加上一个可加性扰动丫t =AKt+et。没有折旧，因而 Kt + =Kt -*工t ,利率为 A。假设A = P。最后，该扰动服从一个一阶自回归过程： et =帕工+1,其中-1 *1 ,为均值为0、独立同分布的冲击。（a）求将Ct和Ct+的期望联系起来的一阶条件（欧拉方程） 。（b）假设消费具有以下形式：Ct =a + pKt +6。根据这个假设，把Kt表示为Kt和et的函数。（c

25、）参数a、P和尸必须取何值才能使（a）部分中的一阶条件对 Kt和et的所有值都 成立？（d） 一次性的w冲击对Y、K和C的路径有何影响？答：（a）假定代表性个人降低 t期的消费，为 4 将增加的财富用于增加下一期的消 费。t期的效用成本为：X/（1 + P）1u（G 凶=1/（1 +_2匕 Lio利用u（Ct ）=C 第/计算u（Ct卜通过上面的实验可以得出 t +1时期的预期效用增加为：Et 0/(1 +户)，(孰+j1+A #c=M/(1 + P)1+Et fl-2eCHi(1 十A JAC其中实际利率为A,化简上式得预期效用增加为：N/(1+P)1+N2Et G+q1+ApC如果个人实现

26、最优化自己的行为，则效用成本等于预期的效用收益：1/(1 + P) 1 28G=1/(1+P)1+H28Et Ct+Q(1 +A 加上式化简得：1 -2迨-|1/ 1. A 卯2正 Ct J由于p=A,进一步化简上式得：Ct=Etb + I(1)说明消费遵循随机游走，下一期的预期消费等于本期实际消费。(b)假设消费函数表示如下：Ct=a+pKt+1(2)将方程(2)和生产函数Yt =AKt +q,代入资本积累方程 Kt+=Kt +丫 Ct 可以得到：Kt 1 =Kt AKt e -： - - Kt - e化简得： TOC o 1-5 h z Kt + =+(1 +A-P )Kt +(1 -7

27、算(3)(c)将方程(2)和带一阶滞后的方程(2)代入一阶条件(1)中，可得：ct+PKt+% =Et 卜+PKt+?e+ 】(4)将方程(3)代入方程(4)得：d十0M +yet - a +BEJ -a + ( 1 + A -f3)Kt + ( 1 -y)et + yEtet + i 由于Et b + 】=E b +专+】=et ,所以将其代入上式，可以得到：ot+pKt +% =口(1 -P )+P(1+A-P )Kt +P + T(P 泡(5)为使(5)成立，需要使两边的 Kt和et的系数以及常数项相等。首先使Kt的系数相等，可得：-1A-=-1=1A-1 =1 A - ：化简得：A=P

28、(6)其次使et的系数相等，可得：利用方程(6)并化简上式得：丫(1-4+A)=A,再转化得：最后使常数项相等，可得:除非A=P=1,否则要求:注意这里忽略了条件0 =0,二二0下=0并且对0无任何限制。(d)将(6)-（8）代入消费方程（2）和资本积累方程（3）得:1 -tb+ApI + 4为使分析简化,冲击专=1 4+A,又不失一般性，假定直到t期6和e都等于0,在t期存在一次性的正的在ty期，再次等于0。在下面的分析中，一个变量的变化指它的实际值与不存在冲击时的值的差别。在t期，K不受影响。由（10）可知，K由上期的资本存量和上期的 e决定。由生产函 数Y =AKt +et可以推出：Y

29、=AAKt +3 =0 +(1 H + A )因此，在存在冲击时产出高出（1 4 + A ）。由（9）可知，消费的变化为:1 6 + .4在存在冲击时消费高出 Ao在t+1期，尽管有+再次为0, et+也不同于不存在冲击时的情况，因为 e的一阶自回归 过程，更精确的是：由（10）可知，资本存量的变化为:1 -小1 -.4= A因此，此处消费没有进一步的动态变化，它仍然比未受冲击影响时高出Ao同理，t+2时期的变化为：金川=6(1 - tf? + A)谓冲=(1-4)+奴1-扪=1步i 中 +AJI1 p V AJ 7；+2 = 4.Kgc +巧q = 4( 1 小+ 46(I 也)+(1 _,

30、 + A) = 4 4小(1 小)ACJ43 -AKi+2 +L=( 1 2 +1 : 1L(1一二十4) -A-A+AA1 一0+丹 J1_巾+ 4/假设有一期白冲击为 5 =14+A。在冲击时，消费上升 A然后永久的保持在新水平上，不存在进一步的变化。除此以外，冲击发生n期后，产出的变化为：N-A n 1-资本存量的变化为：Kt n =1 - Y和K的动态性质依赖于 牛。在特殊情况下，4=0,此时技术冲击不存在持久性，t+1期后没有进一步的动态变化。在冲击之后，资本高于1而产出高于A。对于0父e1 ,冲击发生后资本存量上升(1-4),接着它继续上升直到到达新的长期水平上。产出在冲击发生后上

31、升(14 + A),接着它继续下降直到到达新的长期水平上。对于_1eKt vt M 二Et 匕,-Kt 1 - vt 1 1其中，巴卜十】二0。化简上式，可以得到：a+P( +(了+1 )m =a+pEt 卜+ 】(4)将方程(3)代入方程(4),并且去掉期望值，这是由于Kt#是Kt和vt的函数，而后两者在t期是已知的。得：、厂,Kt，1 - - :- 1 - A I Kt -Wv J化简得： TOC o 1-5 h z a+pKt +(丫+1”=口(1P)+P(1 +A P)Kt 削M(5)为使(5)成立，需要使两边的 Kt、M和常数项相等，即表示如下：P=P(1+A-P 户 1=1+A-P

32、 = P = A(6)Y+1=饰= = 1/(1+P 产 V = -1/(1+A)(7)a(1 -P 尸口= ot(1 -A )=口= 口 =0(8)存在另一种约束：P=0、=T和口不受限制。第二种方法很烦琐。不过，因为P=0意味着消费不依赖于资本存量，这显然是不现实的。 因为消费依赖于产出， 而产出依赖于资本。因此可以忽略这种情况。(d)将(6) - (8)代入消费方程(2)和资本积累方程(3)得：G =AKt _q/(1+A)k(9)Kt + = Kt +0/(1+A)m(10)不失一般性，假设直到t期v=0,此时出现一次性的正的冲击。为保持分析的简化，令vt =(1+A),在 t +1

33、期之后，v=0。在时刻t, Kt不受影响，它由上期的资本和储蓄率决定。在生产函数Yt=AKt中，Y不受影响，因为Kt不受影响。由(9)可知，消费降低了 H/(1+A；pM =1/(1 + A+A)=1。在t十1期，由(10)知道，Kt +提高了彳/(1十人双=0/(1+A )1+A )=1。在产出保持不变的前提下，上期消费下降 1,意味着储蓄提高1,反过来表明资本存量增加 1。通过生 产函数，当Kt卡提高了 1时，产出提高了 A。最后，由于乂+=0,而Kt卡提高了 1, Ct+必 须提高A ,这一点由(9)可以看出。在t +2期，v =0 ,这将没有进一步的动态变化。K保持在新的水平上，比上期

34、提高了1。C保持在新的更高水平上，比上一期提高了A。丫也保持在新的更高水平上，比上一期高A 。如图4-1所示。j-1 i 1 卜2 t+i/-I i r+l p+2 f+St-l !+ K2 it+3(a)(c)图4-1 一次性的v冲击对C、丫和K的影响4.10 第4.3节模型的均衡增长路径。考虑无冲击时的第4.3节模型。令y*、k*、c*和G*表示Y/(AL卜K/(AL)、C/(AL好口 G/(AL )的均衡增长路径值。令 w*为w/A的值；为 * L/ N的值；r为r的值。(a)利用教材方程中(4.1) (4.4)、(4.23)和(4.26),以及 y*、k*、c*、w*、l和r在均衡增长

35、路径上不变的事头，求关于这K个变重的K个方程(提不：(4.23)中的. - 、一 一 一 _ .一 一一 一 、一 c为人均消费C/N , c为每单位有效劳动平均消费的均衡增长路径值C/(AL),这些事实意味着，在均衡增长路径上，c =c l A )。(b)考虑第4.7节中假设的参数值。在均衡增长路径上，消费和投资在产出中各占多少份额，资本与年产出之比是多少？答：(a)在索洛模型、拉姆齐模型和戴蒙德模型中，在没有冲击的均衡增长路径上，丫、K和C的增长率为n +g。除此之外，w的增长率为g , L的增长率为n,而r的增长率为0。 给定此处的对数结构，增长率意味着变量的对数变化，即K的增长率为n+

36、g ,意味着ln(Kt + j-ln(Kt 尸n+g。在生产函数丫 =Kt4ALt 我的两边同时除以AtLt得：Y/AtLt-a = lK/AtLtAy* =k*a(1)同理，将资本累积方程 Kt + =Kt +Yt Ct Gt 6Kt两边同时除以 AtLt得：k_凡 匕 G G 附 + - AL乩4由于在均衡增长路径上 Kt + =enegKt,因此K4/AtLt =enegKt /AtLt ,可以推出：在实际工资方程 w =(i-)kt/al Fa的两边同时除以 a得到：Wt/A =(1 尊必/ALt 产定义在均衡增长路径上 w/A =w,从而有：w* =(1-oQk*a(3)在均衡增长路

37、径上利率为：r* =知*(,心)-6(4)下面将教材中当前消费与当前劳动供给的权衡关系转化到在均衡增长路径上不存在冲击时的表达式。注意在教材中的(4.26) g/(1Tt尸wt/b中，c=C/N 。在均衡增长路径上每单位有效劳动是 C/AL ,因为C/N =(C/ALL/N )A,因此有c =cTA。在(4.26 )两边 同除以A,得到：c * / * A/A _ w/A 1由w*=w/A可以得到：Sp J c I _ wI-1* b(5)为了转换教材中当前消费与未来消费之间的权衡关系，首先消除预期项，因为没有冲击时没有不确定性。在方程 1/ Ct =e七5+rt+)/&+两边同时乘以ct+得

38、：Ct 1 / Ct =e-： 1 0 1在均衡增长路径上人均消费的增长率为g ,因此ct + =cteg或者、/ct =eg ,可以得到：1 十 r* =6伟（6）方程（1） - （6）分别含有6个变量：y*、k*、c*、w*、l*和r。（b）假设下面的几个参数变量：, - * 一* 一a =1/3 , g =0.005 , n =0.0025, 6=0.025, r =0.015 和 l =1/3。以上数据为季度数据。由（4）可以得到在均衡增长路径上每单位有效劳动的资本k* =a/（r* +B升 力,将上面的数据代入k* ,可得：*1/ 1/3k -|：1/3 / 0.015 0.025即

39、：k* =24.0563。将k*值代入（1）中，得到在均衡增长路径上每单位有效劳动的产出的季度值： *1/3*由 y =k =（24.0563）可推得：y =2.8868。在均衡增长路径上政府购买占产出的比率为G/AL/Y/AL =0.2 ,由此可推得： G/AL =G* =0.2X2.8868 =0.5774 ,进而可推得：G* =0.5774。由（2）可以解出在均衡增长路径上每单位有效劳动的消费：c = k + y - C -8k - ene-k = （1 - S -） kK + y* - C 将上述变量值代入c*的表达式，可得：c* = 1 -0.025 -e0.0025e0.00524

40、.0563 2.8868-0.5774 = 1.5269运用c*和y*求解在均衡增长路径上消费在产出中的份额，如下：_ _ _ _ _ _ _ * _ *C/Y =C/AL/Y/AL =c / y =1.5269/ 2.8868 =0.5289因此消费在产出中的份额大约为53%下面求投资在产出中的份额，即：I /Y =1 -C/Y -G/Y =1 -0.5289 -0.2 =0.2711因此投资在产出中的份额大约为27%与美国的实际数据相比较，这里投资所占的比重较大，而消费所占的比重较小。最后在均衡增长路径上资本与实际产出的比值为（年度数据）：K/4Y - IK/AL k 4Y/AL 三k*/

41、4y* =24.0563/ 4 2.8868 =2.0834.11通过寻找社会最优来求解一个真实经济周期模型。考虑第 4.5节的模型。为简单起见，假设 n=g =A =N =0。令值函数V（Kt , A ）为代表性个人从当期开始的一生效用的期望现值，它是资本存量和技术的函数。(a)直观地解释V(卢什么必须满足：二个学5G+Mn(l 1)且一)该条件被称为贝尔曼(Bellman )方程。根据该模型的对数线性形式，猜测V( )具有以下函数形式V (Kt , A尸凫+属ln Kt +Pa ln A ,其中需要确定P的值。将这个猜测的函数形式以及(+ =YCt和Et ln A +】=R ln A代入贝

42、尔曼方程，得：V( , At) = maxlnCf + Mn ( 1+ e * d+%1口( -) +乃必必4/(b)求Ct的一阶条件。证明该条件意味着Ct / Y不依赖于人和A。(c)求lt的一阶条件。利用这个条件以及( b)部分的结果，证明lt不依赖于Kt和A。(d)将生产函数以及(b)、(c)有关最优Ct和最优lt的结果代入上面 V( )的方程，证 明所得表达式的形式为 V(Kt, A尸PO+P/nKt+PAlnA(e)反和Pa应为何值才能使Pk =Pk和Pa=Pa ?(f) C/Y和l所隐含的值是多少？它们与第4.5节中行n=g =0的情形下所得到的值相同吗？答：这里的RBC模型没有政

43、府购买并且折旧率为100%给定下面的公式： TOC o 1-5 h z K =(1)&T1 =匕G(2)inAt A+gt +.4(3)凡二问4+君：(4)lnjV: = Ar + nt(5)ut = lne( 4- tln( 1 - /)(6)在该模型中，简单地假定 n =g =A =N =0 ,调整上面的公式：由ln Nt =0可得出，人口为：Nt =1(5)将人口正规化为1,因此每人的劳动供给lt将与总的劳动供给lt 一致，因此新生产函数 为：匕j(1，)最后对于技术，由于 g和A均等于0,因此有lnA=A ,将其代入(4)中，可得：lnA=pAlnA 4+ &A,t(3)(a)定义t时

44、期的值函数为:K = max Et 1附句山6 + bln(l )为解决这一社会计划者的问题，约束条件为生产函数(1)、资本积累方程(2)和技术方程(3)。因此在t时期的值函数是预期终生效用的贴现值，从t时期向前，估计所有消费和劳动的最优选择。此处运用的技术是将一个复杂的多期问题变为一个单期问题。这是由于值函数必须满足贝尔曼(Bellman )方程，即：式(8)说明在t时期的值函数等于在t时期的效用(关于 Ct和1t的最优选择)加上下期 值函数在t时期的贴现值。最大化终身效用的期望值等于最大化今天的效用加上预期以后的 效用。(b)假设值函数的形式为： TOC o 1-5 h z Vt (Kt

45、, A 尸艮 +0k 1n Kt 十gjn A(9)动态规划的求解有三种方法，这是其中的一种：猜解法。将(9)代入(8)中，可得：匕4)= maxlnC1+61n(l-O +屋省 +氏1时” + 角JG(10)在资本积累方程(2)两边取对数并取期望形式，即：Et In Kt+ = Et In(Y -Ct )=1n(Y -Ct )(11)对(3)两边取期望，得：Et In A+】=R1n At(12)上式用到了 注的均值为0。将(11)和(12)代入(10)中，可得：4) =maxlnC(+iln(l -it) +e-pfl)+&ln(r( -Cf) +回曲11M(13)Ct的一阶条件为：0 =

46、1/CS + e -%( -1)/( K - G)- CJ最后可以求出Ct :1C尸-%C=(底(14)因此消费产出比为：Ct /Y =1/(1+epK )(15)显然，消费产出比与 Kt和A无关。(c) lt的一阶条件为(其中 L=lt)：0二-b/d)+一风/(匕-&)(1 一6)军4-化简得：b/(1lt 产,郑/(YCt 1-oqYt/lt )(16)将(14)代入(16)得:b/（1 -lt 产归邱/e邳kG：1oqYlt ）=（Y/Ct %1-ayi（17）将（15）代入（17）得：b/ 1-lt = 1-11 e=：K /it进而可以推得：bit 引-it 1-11 e-K进一步

47、化简可以得到：it （1 -0（ R+e珅k 广 b=（1a Qe母k ）因此有：lt=* （1-值）十6/（11 反）（18）由此可见，人均劳动供给量既不取决于Kt也不取决于A。另外，运用简单的代数运算，可以求出最优的闲暇，即：1 -it =b/ |J1 -a R +e#K ）地 I（19）（d）现在将消费和闲暇的最优选择和生产函数代入值函数，可以发现设定的关于值函 数猜解形式关于资本和技术为对数线形是有效的。将方程（14）和（19）代入（13）得：匕（&,4）=lnFt/（ 1 +一爷。+binb/ （1 -a）（l +盘-啊）+A +为 +国1爪邛2/（1（20）将生产函数（1）代入（2

48、0）,并将其对数形式展开，得：耳（&.儿）二世曲 + （ -a）ln.4, +（1 -aWc -ln（L 廿Bk）-嗡（130力卜同+ e-%一1口（ 1+aliiX（ + （ 1 -ajln.4, + （1 -a）W（）+ e 华0（21）此处没有必要将it代入，因为it并不依赖Kt和A ,而in Kt和in At的系数才是求值函数 的最优解所关注的。将（21）重写为： TOC o 1-5 h z Vt（Kt , A 尸Po + 艮 inKt +PAin A（22）其中由并不依赖于E和A,而PkF-（1 +e-K ）,国三（1口），（1+e邳k ）+e用aH。（e）为证明原先的猜想是正确的，

49、应该使（22）中的系数等于Pk ,即瓦=a（1+e-印k ）,求解艮:Pk =ct/（1-ae 夕）（23）同时使（22）中in A的系数等于Pa的系数：PA=（1-a）（1+e-K re-AA?（24）将Pk的表达式及方程(23)代入(24)得：:a = 1 -，速二/ 1 T.e ； -e-;-A a合并同类项化简得：-a 1 -e-：A = 1 y , 1 - : e-?最终可得到： TOC o 1-5 h z :a = 1 - ： / (口 - ： eRPAe 矛，(25)(f)将Pk值代入C/Y和lt中，将(23)代入(15): HYPERLINK l bookmark90 o Cu

50、rrent Document G _1 I匕 1 十旌 p/( 1 - ( 1 - aep + aep)/(l 一 lie )化简得：Ct/Yt=1_ae$(26)在n=0的假定下，这与本模型的竞争解是相同的。 同理，将方程(23)代入(18)可得劳动供给量：/ =f (1 - a) + 6/ 1 + (ae-p/(l -ae-p)简化为：1t =(1o(y (1-a )+b(1-ae，,(27)在n =0的假定下，这里劳动供给的表达式与本模型的竞争解是相同的。假设技术不服从1n A =A+gt+从和1n A =A+gt+A =R“A十名a, t , 10给定，而是由ut =1nct+b(1

51、1t尸/(1 )，b0,尸0给定(参见习题4.4)。(a)求与旦=”类似，且工资给定时将当期闲暇和消费联系起来的一阶条件。 1 - 1t b(b)在对模型做了这种修改后，储蓄率s是否仍然不变？(c)人均闲暇(1,l )是否仍然不变？答：(a)家庭增加在t期的劳动供给 出，将增加的收入用于增加当期的消费。家庭的效 用函数和瞬时效用函数分别为：r = TOC o 1-5 h z 1011)1 -Ut =lnct +b(1 -lt p/(1-Y)(2)由(1)和(2)知道在t期工作的负边际效用为：-U /lt =e-p(Nt/H 川lt 0(3)人均劳动供给出的增加带来的效用成本为：e-J Nt/

52、H b 1 -lt - . l由于这一变化导致消费增加四出，从而产生的效用收益为：e_：t Nt / H 1/g wtLl如果家庭行为是最优的，这一边际变化导致预期的终生效用不变。因此效用成本一定等于效用收益：化简得:Ct1TWtb(4)(4)式表明当前闲暇和当前消费决定了工资。(b)对于上述变化，储蓄率保持不变。当 前消费和预期 的未来消 费关系为:1/ G =eEt (1 +rt+yct+L此式不受瞬时效用函数形式变化的影响。剩下的变化依赖于柯布一道格拉斯生产函数和100%的折旧率的设定，而不依赖于效用如何对闲暇作出变化。因此?=渥母仍然成立。(c)人均闲暇仍然保持不变。(4)式中a是人均

53、消费，可以写为：Ct三Ct/Nt=(1?Y/Nt ,其中储蓄率？保持不变。在(4)式两边取对数并将上式代入，可得：ln (1 -? ； / Nt l-/ln (1 -lt )=ln wt -ln b(5)因为生产函数是柯布一道格拉斯生产函数，因此产出中劳动的份额为(1-a),可得：wtltNt =(1- Y ,上式中用到了 lt三ltNt，总的劳动供给为人均劳动供给lt乘以人口数Nt。上式整理为 wt =(1 一ot Y / lt Nt。将上式代入(5)中：ln(1_?)十ln YnNt _ln(1_lt)=ln(1 _口)十ln Yn lt_ln Ntn b消掉相同项并整理得：ln lt -

54、Yln(1t )=ln (1 -a )-ln(1 一？ j-ln b(6)在(6)式两边取指数，得：(14 厂 6(1-3)(7)式潜在的定义了作为支、b和？的函数的人均闲暇。因此人均闲暇保持不变。4.14(a)若At始终为0,且lnYt根据：ln Y =otln+otlnY ,+(1 -a )fln A 书n l?+ln Nt )=aln ?-Kxln Y、*1jA +gt)+(1 -a%1 *ln?+N +nt)发生演化，那么，lnY最终会达到什么路径？(提示：注意可以重写为：lnYt -(n +g J =Q +8 nY工-(n +g (t -1 )1+(1 -a) A其中 Q 三 ln

55、?1 - : A ln I? N?)、工(n+g )(b)将Y定义为lnYt与(a)部分所得路径之差，请推导Yt =ulnY+(1- )A。答：(a)对Y =KP(ALt )t两边同时取对数，得：lnY =aln Kt +(1 y ln A +ln Lt)(1)从(4.5 )部分的模型中可以看出劳动供给量和储蓄率是不变的，因此有：Lt =lNt和Kt =?Y，所以式(1)可以写为：.二温 + Mn% + (l-a)(ln4i + In/ +1喇)利用技术进步和人口增长方程式，即ln A =A+gt+X和lnNt =N+nt ,将其代入(2)可以得出：1岗十odn匕/ +11-a)。十十(1-*

56、4 +(13血+寿十间 (3)下面求解在没有技术冲击的情况下的产出对数路径。在(3)两边去掉(n+g X ,得到：1*-5 +客”二编-人+皿”十儿一在(4)式右边同时加和减去 c(n+g ),得到：hFr - (fi +g)t fidns + (1+hJ 4-.V -a(rt +g) +ft lnl,_L - (n +g)(t -1) + 1 -ut).-lr定义 Q =aln ?R1 -a A +lnl?+N? J-a(n+g 型方程(5)可以简化为:Ini； - (n + g)t - Q a Inl； - (n + g) (f - I) + (1 -a)儿(6)在均衡增长路径上没有技术冲

57、击的情况下，At =0。此外，产出增长率为n+g,取对数形式：ln Yt _ln Y, =n+g ,或者lnY=lnYt_(n+g),将上式对数形式代入(6)中，可得：lnYt -；n g t =Q 一 |lnYt Tn g j n g t -1 =Q - lnY ；n g t进一步简化可得：lnY -(n+g pt(1-a )=Q最终为：lnY*=Q/(1 -a )+(n+g )t(7)(7)式给出了 lnYJ的表达式，如果没有任何的技术冲击，则产出的对数路径将会稳定 下来。(b)定义Yt=lnY -lnYt*,其中lnY”是(a)部分的路径。因此 Yt给出了实际对数产出与不存在技术冲击的情

58、况下的差别。将(7)代入Yt=lnYt -lnY*,得：Yt =lnY -Q/ 1 - : - n g t因为(8)式在各个时期都成立，所以可以写出下式：YtA =lnY-Q/ 1 - -ng t -1在(9)两边同时乘以 a并且求解alnYj得：otlnY =aY-+a/(1 -3 Q +a(n +g (t -1 )将(10)代入(3),然后将结果再代入(8)得： 工=ttlnJ + d 1； _ 1 + cx/( 1 - a)Q+at(N +g) (f - 1) +(1 q ) -4 + gt + Af + InZ + A + nt Q/(1 q ) ( n + g) t化简(11)可得：

59、+ g)f + ( 1 - a)(n A g)t - (n +g)t aYt_ + (1 -a)At整理(12)最终得出：Y =： Yt 二 1一二)At(13)式与教材中的(4.40) ( Y =o(Yt+(1口 *)式相同。4.15资本运动的对数线性方程的推导。考虑资本的运动方程Kt + =Kt +KF（A Lt 尸Ct Gt -$Kt。（a） （1）证明：In Kt+/ln & （令 A、L、g 和 G,保持不变）是（1+q+Kt / Kt平）。（2）证明这意味着ln Kt + /ln Kt ,均衡增长路径值为（1 +r* yen*。-nVjPVji（b）证明：, ,其中九三（1+r*y

60、en由，三（1口 犷*+5 y（oten由），兀=r*+5 G/Y，/（aen由）；（G/Y，表示无冲击时，均衡增长路径上G和丫的比值。（提示：由于生产函数是柯布一道格拉斯形式的，因而Y* =（r*）K*/a。在均衡增长路径上，Kt卅=en由Kt ,这意味着C =Y -G -6K _（en也-1 卜。）（c）禾1J用（b）的结果以及方程 Ct |_aCK Kt+aCAAt+otCGGt_Lt _ o（CK Kt+otLAAt +otLGGt 来 TOC o 1-5 h z 推 导 Kt + LbKKKt+b A +bKGGt其 中：b=九+，建+(1九% % )%k,bKA 4f1+aLA)*