立体几何题库10

1、立体几何题库(10) TOC o 1-5 h z 310. 平面a内有一个半圆， 直径为AB,过A作S2平面a ,在半圆上任取一点M连SMSB且N H分别是A在SM SB上的射影.(1)求证：NHL SB.(2)这个图形中有多少个线面垂 直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？解析：此题主要考查直线与直线，直线与平面的垂直关系及论证，空间想象力解(1)连AM BMAB为已知圆的直径，如图所示 .AM! BM,SA，平面 a, MB a,.SA，MB. AMn SA= A, . BML平面 SAM.AN 平面 SAM.BM! AN. AN SMT N,

2、 BMP SM= M,.AN,平面 SMB.-. Ahl SB于H,且NH是AH在平面SMB勺射影.-.NH SB.(2)由(1)知，SA1平面 AMB BML平面 SAM.ANL平面 SMB. SB AH且 SB HN.SB,平面 ANH.图中共有4个线面垂直关系(3) . SAI平面 AMB A SAB A SAM均为直角三角形 BML平面SAM A BMA A BMS匀为直角三角形. AN，平面SMB.，A ANS A ANM A ANH匀为直角三角形.SB，平面 AHN. ，ASHA A BHA A SHN匀为直角三角形综上所述，图中共有 10个直角三角形.(4)由 SA，平面 AM兴

3、口 ： SA! AM SAL AB, SAI BM由 BML平面 SAM: BML AM BM1SM BML AN;由 AN!平面 SMB: AN1 SM AN SB, AN! NH;SB,平面 AH附口 ： SB AH, SB HN;综上所述，图中有 11对互相垂直的直线.1如图，在棱长为 a的正万体 AC中，M是CC的中点，点 E在AD上，且 AE= AD, F1在AB上，且 AF= - AB,求点B到平面 MEF的距离.D1Ai解法一：设AC与BD交于O点，EF与AC交于R点，由于EF/ BD所以将B点到面MEF的距 离转化为O点到面MEF勺距离，面 MRC_面MEF而MR是交线，所以作

4、 OHL MR即OHL面 MEF OH即为所求. OH- MR= OR MC.OH=.118a59解法二：考察三棱锥 B MEF由Vb-mef= Vm-bef可彳导h.点评求点面的距离一般有三种方法: 利用垂直面;转化为线面距离再用垂直面;当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离正方体ABCD-ABCD的棱长为a,求AC和平面ABC间的距离.解法1 如图所示，AG/平面ABC,又平面BBDD，平面ABC.故若过。作OE，OB于E,则OE，平面ABC, OE为所求的距离由 OE- OB=OB - OO,可得：OE= 3、 3解法2:转化为求 C到平面ABC的距离，也就是求三棱锥 CABC的高

5、h.Ci ABC = VA B1CC1，可倚解法3 因平面ABC/平面GDA,它们间的距离即为所求，连BD,分别交BQ DO与F、G（图中未画出）。易证BD垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得3aFG=a .3点评（1）求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.已知：“03= CD EA!” , EBB,求证：CD!AB.今 CDJ_EA6Ud证明i EE_rt平面 EAB i=CD_LABBug产皿团AB二平-尚目阳EAflEB=E314.求证：两条平行线和同一条平面

6、所成的角相等已知：all b, an “ = Ai,b n 3 = B, Z 0八Z 0 2分别是a、b与“所成的角.如图，求证: Z 0 1= Z 0 2.证：在a、b上分别取点 A B.如图，且 AA=BB,连结 AB和AiBi.AABB，四边形AABB是平行四边形.AB/ A1B1又 AiB a.AB/ a .设 AAaa 于 Aa, BBL a 于 B,贝U AA=BB在 RtAAAAa与 Rt BB1B2 中 AA 2= BB, AA=BBi .Rt A AAARtA BBB2 / AAA2=/ BBB2即 Z 0 1 = Z 0 2.315.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，

7、如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线 已知：/ ABC a ,P a , / PBA= / PBC,PQL a , QC a ,如图.求证：/ QBAf / QBC证：PR! AB于 R, PS, BC于 S.则：/ PRB= / PSB= 90 . PB= pb.z pbr= / PBS. Rt A PR军 Rt A PSBPR= PS点Q是点P在平面a上的射影.QR= qs又 qrl ab, qsl bc./ abq= / cbq如图，E、F分别是正方体的面 ADDAi,面BCCB的中心，则四边形 BFDE在该正方体 的面上的射影可能是（要求：把

8、可能的图的序号都填上）解四边形BFDE在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中点，四边形的投影图形为，在左右侧面上，E、F的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为，在前后侧面上四边形投影图形也为.故应填.如图，AiBCiABC是直三棱柱，/ BCA= 90，点 D, Fi分别是 AiBi, AiCi的中点，若BC= CA= CC,则BD与AF所成角的余弦值是（）A 30A.103015D.*解 连DiFi,则DFAiG,又BdCA 所以BD在平面 ACGAi内的射影为 CF,设AC= 2a, 则 BC= CC=2a.取 BC的中点 E,连 EFi,贝U EF/

9、BD.CFi. cos 0 i = cos / EFiC=EFicos e 2= cos/AFiC=（石a）2 ga）： （2a）2 : 32 5a 5a 5八 八八.53.30,应选A. cos 0 = cos 0 i - cos 0 2= 一=,65 i0(i)如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S在底面白射影 O在A ABC内，那么 O是A ABC白()A.垂心 B. 重心 C. 外心 D.(2)设P是A ABC所在平面a外一点，若 面a内的射影是A ABC()A.内心 B. 外心 C. 垂心 D.解(i)利用三垂线定理和三角形全等可证明 的内心，因此

10、选 D.内心PA, PB, P*平面a所成的角都相等，那么 P在平重心O到A ABC的三边的距离相等， 因而O是A ABC(2)如图所示，作 POL平面a于 O,连 OA OB OC那么/ PAO / PBO / PCO别是 PAPB PC与平面a所成的角，且已知它们都相等. . Rt A PAW Rt A PB8 Rt A PCO.OA= OB= OC，应选B.说明 三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握已知ABC比边长为4的正方形，E、F分别是 AB AD的中点，GCL平面 ABCQ且GC =2,求点B到平面EFG的距离.解析：注意到直线BD/平面EFG根据直线和平

11、面的距离在BO中点O的距离等于B到平面EFG的距离.解连结AC BD,设交于O, .E, F分别是AR AD的中点.EF/ BD.BD/平面 EFG 设 EFA AC= M.则M为OA的中点.又 AB= 4 .1. AC= 4j2, MO= 1 AC= & ,MC= 3 AC= 32 44. GCL平面 ABCD.GCLCA GCL EF又 EF, AC GOH AC= C.EF，平面 GCM.过 O作 OHL GM H,则 OHL EF.又 OHL GM故OHL平面EFG.在 RtAGCMfr, GM= m GC2 CM 2 = （3万）2 = V22 .又 0也 GM.1, sin /GM

12、&G=sin ZHMO= 0H TGMOH= x2 ,2 = 2、1112211，B点到平面GEF的距离为2 .1111说明本题解法甚多，学习两面垂直及简单几何体后，可用两面垂直的性质求解或者用“等体积法”求解.320.已知两条异面直线 a,b所成的角为它们的公垂线段AA的长度为d,在直线a、b上分别取点 E、F,设 ae= m af= n.求证：ef=4降2n2d22mncos解过A作a / a. AAa,.AiAX a，AAb,a n b= A.AiA垂直a、b所确定的平面a .a/a，a、a能确定平面3 ,在3内作 EH/ AA,交a于H.a/a ,AiAME为平行四边形.AiA= EH

13、= d,AH = AiE= m AiA._L aEH_L a .FH a,Ehl FH.在 RtAFHE中，EF=4EH2 FH 2 = VdFh. a/ / a a与b的夹角为0即/ HA已 0 ,此时 AH= m,AF= n.由余弦定理得 FH 2= m+n2-2mncos 0222EF= m n d 2mncos当F（或E）在A（或A）的另一侧时，同理可得EF= Jm2 n2 d2 2mncos( ) = Jm2 n2 d2 2mncos综上所述，EF= , m2 n2 d2 2mncos321.如图，ABCDF口 ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB上的一 点

14、，且有 AM： FN= AC： BF,求证：MM平面 CBE.解析：欲证MM平面CBE当然还是需要证明 MNff行于平面 CBE内的一条直线才行.题目上 所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通， 才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化 .证：连AN并延长交BE的延长线于 P. BE / AF,ABNW A FNA. FN= AN 则 FN = ANNB NP FN NB AN NP即 FN= AN .FB AP又 AM = AC, AM = FNFN BF AC BFAM AN . .AC APMN / CP CP 平面 CBE.MN / 平面 CBE.一直线

15、分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行 已知：a A 3 = a,l / a ,l / 3 .求证：l / a.解析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质.证明：过l作平面交a于b. l / a ,由性质定理知l / b.过l作平面交3于c. l / 3 ,由性质定理知l / c.b / c,显然 c 3 . -1 b / 3 .又 b a , a A 3 =a,b a.又 l / b.l / a.评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用如图，在正四棱锥 SABCM, P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SP：

16、PC= 1 : 2, SQ： SB= 2 ： 3, SR： RD= 2：1.求证：SA/平面 PQR.解析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQ附找一条直线与AS平行即可.证：连AG BD设交于 0,连SQ 连RQ交SO于M 取SC中点N,连ON那么 ON/ SA.SQ _ SR _ 2 -SB SD 3RQ/ BD，也=2而变=2S0 3 SN 3. .也=空，PM/ ON SO SN. SA/ ON.，SA/ PM,PM 平面 PQRSA /平面 PQR.评析：利用平几中的平行线截比例线段定理.三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化 证明：过平面上一点而与这平

17、面的一条平行线平行的直线，在这平面上证明 如图，设直线 a /平面a ,点 AC a ,A 直线b,b / a,欲证b a .事实上，: b / a, 可确定平面3, 3与a有公共点 A,a , B交于过A的直线c,=a/ a ,，a/c,从而在3上有三条直线，其中 b、c均过点A且都与a平行.于是b、c重合，即b a .AE： AD=S是空间四边形 ABCM对角线BD上任意一点，E、F分别在AR CD上,CF： CD BE与AS相交于 R, BF与SC相交于 Q.求证：EF/ RQ.ACS.而F且BEF所在平证 在A ADC中，因 AE： AD= CF： CD 故 EF/ AC,而 AC 平

18、面 ACS 故 EF/ R/平面 ACS平面RQEF故EF/ RQ（线面平行性质定理）.已知正方体 ABCD-A B C D中，面对角线 AB、BC上分别有两点E= C F 求证：EFT面 AC.解析：如图，欲证EF/平面AC,可证与平面 AC内的一条直线平行，也可以证明面与平面AC平行.证法1 过E、F分别做AB BC的垂线 EM FN交AB BC于M N,连接MN. BB 平面 AC BB AB, BB BC.EAB, FN BC .EM/ FN, AE57 = BC , B E= C F.AE= BF又/ B AB= Z C BC= 45.Rt AAME2 Rt A BNF.EM= FN

19、四边形MNFE平行四边形.EF/ MN MN 平面 AC.EF/平面 AC证法2 过E作EG/ AB交BB于G,连GF,BE BG-=BA B B. B E= CF, BA= CB. C-F = BGFG/ B C / BCC B B B又 EGA FG= G,ABA BC= B平面EFG/平面AC 又EF 平面EFG.EF/平面 AC(1)AB327.如图，四边形EFG的四面体A-BCD勺一个截面，若截面为平行四边形，求证:/ 平面 EFGH (2)CD / 平面 EFGH证明：(1) .EFGH平行四边形，EF/ HGHG 平面 ABDEF/平面 ABD.EF 平面 ABC平面 ABDH平

20、面 ABC= AB. .EF/AB, ，AB/平面 EFGH.(2)同理可证：CD/ EHCD/平面 EFGH.评析：由线线平行线面平行线线平行.328.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交已知：a / b,a n a = A,求证：b和a相交.证明：假设b a或b / a右 b a , .1 b / a, a/ a .这与an a = A矛盾，b a不成立.若b/ a ,设过a、b的平面与a交于 c.b / a ,. b / c,又 a / b a / ca / a这与an a = A矛盾. b/ a不成立.，b与a相交.那么它们的交线和这条直线329.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条, 平行.已知：a/ b,a a , b 3 , a n 3 = c.求证：ca b、小mb 证； 卜=匚 卜=bu B a n 0 -c ”匕 JJ330.在下列命题中，真命题是（）A.若直线m n都平行平面a ,则 m/ n;B.设a l 3是直二面角，若直线 ml ,则ml