抽象函数的周期性与对称性(共6页)

1、PAGE PAGE 7抽象(chuxing)函数的周期性与对称性一、从几道错题说起(shu q)：与抽象函数有关(yugun)的题目在各种试卷上时有出现，但由于抽象函数的周期性与对称性之间的关系比较复杂，也经常出现各种错误。例如：错题1（2006年南京市高三第一次模拟考试第14题）设周期为4的奇函数的定义域为R，且当，则的值为 。 分析：本题错误比较明显。 eq oac(,1)又 eq oac(,2) eq oac(,1)与 eq oac(,2)矛盾。错题2（2006年高中三年级总复习试卷 数学A卷（江苏卷）第11题）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)+f(x+2)=1，若当时，f(

2、x)=2-x则f(7.5)= ( ) A0.5 B -0.5 C 1.5 D -1.5学生主要有下列两种解法：解法一： 由题意，得： 选C解法二：由法一知T=4，故 在中令则有 选A两种解法均步步有据，问题出在哪里呢？原因在于题目条件之间有冲突！ 分析： eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,1)与 eq oac(,2)矛盾(modn)。事实上，由及这两个条件即能完全(wnqun)确定函数，这时“f(x)是偶函数”要么(yo me)重复，要么有矛盾。注：命题错误原因在于对所蕴含的信息认识不足。可以用下述方法更正：1）去掉“偶函数”这个条件 2）将“”改为“”，等等。错题3

3、（2005年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）第12题）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A2B3C4D5 所给标准答案是D。事实上，这条题目设计有问题，解答也是错误的。错解：是定义在R上的奇函数， 又是以3为周期的函数， ， 由T=3可知，对 方程在区间(0，6）内解的个数的最小值是5。错因：未能根据题目条件，挖掘出其中隐藏的函数性质。事实上，定义在R上以3为周期的函数图象关于点（0，0）对称，则它必关于点（对称，且对称中心必在函数的图象上。正解： 取则， 再结合上述错解部分的内容可知(k zh)，方程在区间(q ji

4、n)（0，6）内解的个数至少(zhsho)有7个。评注：抽象函数的研究是中学数学的一大难点，往往难以入手或顾此失彼。理解并掌握一些与函数图象的对称性、周期性有关的重要结论，在推导结论的过程中能培养、提高学生的抽象思维能力，同时能使学生在分析问题时高屋建瓴，对解题是很有好处的。二、与函数的周期性及图象对称性有关的几个结论： 设函数定义域是，则有以下结论：（1）对都有关于直线对称。（2）对都有关于点对称。（3）对都有关于点对称。（4）对都有 即：若图象关于直线x=a,x=b(ab)对称，则是的周期函数。 (5) 对都有即：若周期为T的函数图象关于直线x=a对称，则的图象关于直线对称。也就是说，周期

5、为T的函数图象关于直线x=a对称，则图象在一个周期内有两条不同的对称轴，且相邻两条对称轴间的距离是。（6）对都有 即：若图象(t xin)关于点（a,0）,(b,0)(ab)对称(duchn)，则是的周期函数(zhu q hn sh)。 (7) 对都有 即：若周期为T的函数图象关于点(a,o)对称，则的图象关于点对称。由此可知, 若周期为T的函数图象关于点（a,0）对称，则图象在一个周期内有两个对称中心，且相邻两个对称中心间的距离为。（8）对都有 即：若图象关于直线x=a及点（b,0）(ab)对称，则是的周期函数。注：（5）是（4）的偏逆命题，二者都真；（7）是（6）的偏逆命题，二者都真。但命

6、题（8）的偏逆命题是假命题，例如：函数f(x)=tanx是周期函数，且有对称中心，但该函数没有对称轴。三、应用举例：例1： 设是R 上的奇函数, , 当时, ,试画出函数(hnsh)f(x)的简图.解: , ,是以4 为周期(zhuq)的周期函数 又, 的图象关于(guny)直线x=1对称. 根据当时, 以及上述性质,可画出f(x)的简图如下：xy10例2 已知偶函数的图象关于直线x = 1对称,且, 则 14,15时,求的解析式为.分析：由函数的图象关于直线x=0及x = 1对称可知，是以2 为周期的周期函数，且直线x=n是其图象的对称轴，于是只要知在长度为1的任一区间上的解析式可确定在R上的解析式。解:由 得是以2 为周期的周期函数当又为偶函数, ，即当x14,15时, x-184,3，的周期为2， x14,15 时, 例3：已知对一切(yqi)xR 都有, ,且x =0 是方程(fngchng) = 0的一个(y )根,问方程= 0 在区间1000,1000 上至少有几个根?解:在区间(0,10 上,方程f (x) = 0 至少有两个根,又由函数的对称性及周期的关系知是以10为周期的周期函数,且在每个周期上至少有两个根, 方程 = 0 在区间1000,1000 上至少有401 个根内容总结（1）抽象函数的周期性与对称性一、从几道错题