高三函数的周期性与对称性课件

1、函数的周期性与对称性 对称性的几个结论若f（x+a）f（bx），则函数f（x）的图象关于直线x 对称，特别地，若f（a+x）f（ax），函数f（x）的图象关于直线xa对称；若有f（a+x）f（bx），则函数f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称，特别地，若f（a+x）f（ax），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.周期性的几个结论若f（x+a）f（x+b）（ab），则f（x）是周期函数，ba是它的一个周期；若f（x+a）f（x）（a0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期；若f（x+a） （a0，且f（x）0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期.对称轴对称中心周期xoy

2、：若函数 的图象关于直线 对称，则 为周期函数，且命题1：若函数 的图象关于点 对称，则 为周期函数，且命题2：若函数 的图象关于直线 及点 对称，则 为周期函数，且命题3（ 这里的周期不一定是最小正周期 ）已知函数 是定义在R上的偶函数，且满足 ， 当 时， ，则 。练习已知 是定义在R上的偶函数，其图象关于直线 对称，当 时， ，则 时 = 。 (A) (B) (C) (D)D【例1】已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中:若f（x2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x2对称；若f（x+2）f（x2），则函数f（x）的图象关于原点对称；函数yf（2+x）与函数yf（2x）的图象关

3、于直线x2对称；函数yf（x2）与函数yf（2x）的图象关于直线x2对称.其中正确的命题序号是 .【解析】是错误的，由于f（x2）是偶函数得f（x2）f（x2），所以f（x）的图象关于直线x2对称；是错误的，由f（x+2）f（x2）得f（x+4）f（x），进而得f（x+8）f（x），所以f（x）是周期为8的周期函数是错误的，在第一个函数中，用x代x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；是正确的，令x2t，则2xt，函数yf（t)与yf（t）的图象关于直线t0对称，即函数yf（x2）与yf（2x）的图象关于直线x2对称.【例2】 (2005年福建) f（x）是定义在R上的以

4、3为周期的奇函数，且f（2）0，则方程f（x）0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 ( )A2 B3 C4 D5【解析】f（x）为奇函数，f（0）0，又函数f（x）以3为周期，且f（2）0，f（2）0，f（1）0，f（4）0，f（3）0，f（5）0，在区间（0，6）内的解有1，2，3， 4，5.故选D.【例3】 已知函数f（x）的定义域为xxR且x1，f（x+1）为奇函数，当x1时，f（x）2x2x+1，则当x1时，f（x）的递减区间是 （ ）A ，+） B（1， C ，+） D（1， 【解析】 由f（x+1）为奇函数得f（x+1）f（x+1），f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，又由已

5、知可画出f（x）在（，1）上的图象，再根据中心对称画出f（x）在（1，+）上的图象，由图象易知，f（x）在 ，+）上单调递减，故应选C.【例4】 (2005年广东)对函数f（x）， 当x（，）时，f（2x）f（2+x），f（7x）f（7+x），在闭区间0,7上，只有f（1）f（3）0.（1）试判断函数yf（x）的奇偶性；（2）试求方程f（x）0在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论.【解】 （1）由已知得f（0）0，f（x）不是奇函数，又由f（2x）f（2+x），得函数yf（x）的对称轴为x2，f（1）f（5）0，f（1）f（1），f（x）不是偶函数.故函数yf（x）是非奇非偶函数；(2)由f（4x）f（14x） f（x）f（x+10），从而知yf（x）的周期是10.又f（3）f（1）0，f（11）f（13）f（7）f（9）0，故f（x）在0，10和10，0上均有两个解，从而可知函数yf（x）在0，2005上有402个解，在上2005，0有400个解，所以函数yf（x）