恒定电流的电场和磁场-课件

1、第三章 恒定电流的电场和磁场 3.1 恒定电流的电场 3.2 磁感应强度 3.3 恒定磁场的基本方程 3.4 矢量磁位 3.5 磁偶极子 3.6 磁介质中的场方程 3.7 恒定磁场的边界条件 3.8 标量磁位 3.9 互感和自感 3.10 磁场能量 3.11 磁场力 基本方程E 的旋度边值问题边界条件电 位一般解法电导与接地电阻特殊解(静电比拟)恒定电流的电场知识结构基本物理量 J、 E欧姆定律J 的散度磁矢位（A）边值问题解析法数值法有限差分法有限元法分离变量法镜像法电感的计算磁场能量及力磁路及其计算基本实验定律 (安培力定律）磁感应强度（B）(毕奥-萨伐尔定律)H 的旋度基本方程B 的散度

2、分界面边界条件磁位( )恒定磁场知识结构3.1 恒定电流的电场3.1.1 电流密度 I、电流的定义：单位时间内通过某一横截面的电量。三种电流：传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液 中的离子运动形成的电流。运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中 运动形成的电流。位移电流随时间变化的电场产生的假想电流。II、电流密度的定义：与正电荷运动方向相垂直的单位面积上的电流强度。任意面积S上的电流强度I： 图 3-1 电流密度 (A/m3)IdIdSIII、面电流密度：图 3-2 面电流密度 nIV、 的另一表达式：设电荷体密度为，运动速度为v，则：注： 是垂直于 dl，且通过 dl

3、与曲面相切的单位矢量。ndIvvdtds3.1.2 电荷守恒定律 1、电荷守恒定律:单位时间净流出封闭面的电量等于单位时间内封闭面内减少的电量。（注：指电荷量的代数和守恒）要使这个积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零。散度定律-电流的“连续性方程”所以：（电流的“连续性方程”微分式）意义：空间中某点电流密度的散度，等于这点电荷密度的减小率。2、恒定电流场的电流连续性方程：恒定电流场的电流不随时间变化：所以：（恒定电流场方程）（积分式）3.1.3 欧姆定律的微分形式 U由欧姆定律：由电阻得：又由电场强度和电势的关系则：对于线性各向同性的导体，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比式中

4、称为电导率，其单位为 S/m 。 值愈大表明导电能力愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。（ 3-11 ）电导率为无限大的导体称为理想导电体。上式又称为欧姆定律 的微分形式。注意：欧姆定律并不像高斯那样是电磁学的普遍定律，运流电流就不遵从欧姆定律材 料 电导率/(S/m) 铁(99.98%) 107 黄铜 1.46107 铝 3.54107 金 3.10107 铅 4.55107 铜 5.80107 银 6.20107 硅 1.5610-3 表 3-1 常用材料的电导率 电源 在外源中一定存在非静电力作用，使正电荷不断地移向正极板 P ，负电荷不断地移向负极板 N。极板上的电荷在外

5、源中形成电场 E 。E导电媒质PNE外 源 显然，由极板上电荷产生的电场力阻止正电荷继续向正极板移动，一直到极板电荷产生的电场力等于外源中的非静电力时，外源的电荷运动方才停止，极板上的电荷也就保持恒定。开路情况下外源内部的作用过程。电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。非库仑场非静电力图 3-3 电动势 非静电力：化学力、洛仑兹力一切非静电引起的力的总称因此，对闭合环路积分总场强：电源电动势与局外场强保守场 = 0电动势所以：3.1.4 焦耳定律 在导体中，沿电流线方向取一长度为l、截面为S的体积元，该体积元内消耗的功率由公式 P=UI 得： J 与 E 之关系其极限值：或：（焦耳定律的

6、微分式）注：焦耳定律不适应于运流电流。导体内任一点的热功率密度3.1.5 恒定电流场的基本方程 结论： 恒定电场是无源无旋场。积分形式微分形式构成方程由以上结论可引入位函数：均匀导体内部(为常数)，有：3.1.6 恒定电流场的边界条件 图 3-4 边界条件 说明：分界面上 J 的法向分量连续。由得所以有：即：12J1J2即或说明：分界面上 E的切向分量连续。导体分界面上的电荷密度为：所以有：由得即或式中，Jn=J1n=J2n, 当 时， 分界面上的面电荷密度为零。 （折射定律）由得若1，则20结论：在理想导体表面上，和 E近似的都垂直于分界面。区别 例 3-1 设同轴线的内导体半径为a, 外导

7、体的内半径为b，内、 外导体间填充电导率为的导电媒质，如图 3-5 所示，求同轴线单位长度的漏电电导。图 3-5 同轴线横截面 漏电流的方向是沿半径方向从内导体到外导体，如令沿轴向方向单位长度（L1）从内导体流向外导体的电流为I，则在媒质内（ a r a)的球面流出的总电流为I，则欧姆定律的微分形式3.2 磁 感 应 强 度 导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，称为恒定磁场。 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。基本要求 深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念。掌握恒定磁场

8、的基本方程和分界面边界条件。了解磁位及其边值问题。熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方法。一、安培定律1、两个电流元间的相互作用力图 3-8 安培定律 安培定律的微分形式安培定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律。I1dl1对I2dl2的作用力为：式中：2、两个电流环间的相互作用力在回路C1、C2上分别对上式积分得：安培定律的积分形式二、毕奥萨伐尔定律（Biot-Savart Law）1、磁场的定义：磁力是通过磁场传递的。电流或磁铁在其周围空间会激发磁场。磁场对处于其中的运动电荷（电流）或磁体会产生力的作用。电场力定义：磁感应强度力 = 受力电荷 电场强度力 = 受力电流 磁感应强

9、度磁场力单位 T（Wb/m2）2、毕奥萨伐尔定律毕奥沙伐定律 适用于无限大均匀媒质体分布的电流J的磁场：面分布的电流Js的磁场：3、磁场力：电流元在外磁场中受力：称为洛仑兹力公式。 以速度v运动的点电荷q，其在外磁场B中受的力：设在单位体积内载流子数目为n，v是平均漂移速度，Q为每个载流子的电荷，导线的横截面为da，则 In(dav)Q作用力为：如果空间还存在外电场 ，则电荷q受到的力还要加上电场力： 例 3 - 4 求载流I的有限长直导线(参见图 3 - 9)外任一点的磁场。 图 3-9 例 3 - 4 用图 解： 取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标中计算。 从对称关系能够

10、看出磁场与坐标无关。不失一般性，将场点取在 =0， 即场点坐标为(r, 0, z)， 源点坐标为(0，0，z)。 所以 式中： 对于无限长直导线(l)，1=/2, 2=-/2，其产生的磁场为 3.3 恒定磁场的基本方程 3.3.1 磁通连续性原理（恒定磁场的散度） 1、磁通量：指磁感应强度在有向曲面上的通量。简称磁通。如S是一个闭曲面， 则 单位：Wb 2、磁通连续性原理：由对场点有：所以：P由矢量恒定式 得：由梯度场重要性质 可得： （积分式）使用散度定理得： （微分式）关于恒定磁场散度的讨论: 恒定磁场的散度处处为零，说明 恒定磁场是无源场，不存在磁力线的扩散源和汇集源。 由磁通的连续性定

11、律可知：磁力线是连续的。 恒定磁场的散度恒为零，联系旋度场的重要性质： 可推知:磁感应强度矢量B可用一矢量函数的旋度来表示。3.2.2 安培环路定律（恒定磁场的旋度） 以下内容为研究在C产生的恒定磁场中沿闭合曲线C上的B 的环量：沿积分路径C向左移动dl相当于C向右移动-dlPPP(C和C相交链)(C和C不交链)穿过积分回路C的电流是几个电流时： 根据斯托克斯定理，可以导出安培环路定律的微分形式： 积分式由于 （P48 3.2）所以因积分区域S是任意的， 因而有 （微分式）对恒定磁场旋度的讨论： 恒定磁场是有旋场，电流为磁场的旋涡源。 安培环路定律中，电流为回路C所围电流的代数和。CCC和C相

12、交链I 空间任意点磁场的旋度只与该点电流密度有关小结： 无源场，磁力线无头无尾且不相交。 有旋场，电流是磁场的旋涡源，磁力线构成闭合回路。图3.2.5 一对反向电流传输线图3.2.6 一对同向电流传输线图3.2.7 两对反相电流传输线图3.2.8 两对反向电流传输线 例3-5 半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。 解: 在圆柱坐标系中计算，取导体中轴线和 z 轴重合，由对称性可知，磁场与 z 和 无关，只是 r 的函数，且只有 分量，即磁场是圆心在z轴上的圆。沿磁感应线取半径为 r 的积分路径C，依安培环路定律得在导线内电流均匀分布， 导线外电流为零， arz当ra

13、时，包围电流为Ir2/a2。 所以当ra时， arz写成矢量形式为 当ra时， 积分回路包围的电流为I；arz3.4 矢 量 磁 位 式中：A称为恒定磁场的矢量磁位。 一、 矢 量 磁 位的引入 引入矢量磁位的意义：引入辅助函数，可通过间接求解方法求解空间磁场分布，简化电磁问题。二、 库仑规范要求：B与A间满足一一对应关系。 矢量位A不是唯一确定的，它加上任意一个标量的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即：1、矢量位的任意性若： 则对于 有：而： 上式表明：A和A具有不同的散度，这意味着满足条件 的A有无限多个。2、库仑规范条件 必须引入新的限定条件，对A取值进行限定。这种新引入的限定条件称为规范

14、条件。 由亥姆霍兹定律可知，矢量场的性质由其散度和旋度决定，对于矢量磁位函数A，其旋度值已确定（等于B），必须要引入限定条件对其散度值进行限定。在恒定磁场中，一般采取库仑规范条件，即令：注意：规范条件是人为引入的限定条件。三、矢量磁位的解使用矢量恒等式 （磁矢位的泊松方程）对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即： 设在直角坐标系中，有将磁矢位的泊松方程展开这样可得各分量方程对照静电场中的泊松方程的解：2.3 旋度面电流的磁矢量位：写成矢量的形式为：线电流的磁矢量位：上面的公式中，均假定电流分布在有限区域，磁矢位的零点取在无穷远处。磁通的计算也可以通过磁矢位表示： 对矢量磁位的说明：

15、 矢量磁位A的方向与电流J的方向相同。 引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算。 例 3 - 6 求长度为l 的载流直导线的磁矢位。图 3-11 直导线磁矢位 解 :当lz时，有 上式中，若再取lr, 则有 当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点， 就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0处为磁矢位的零点时，可以得出 从上式， 用圆柱坐标的旋度公式，可求出 例 3 7 用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。 解： r a ra 从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量，而且它只是坐标r的函数，即 设在导线内磁位是A1, 导线外磁位是A2， ra时， 考虑到磁位只是 r 的函数，以上两个偏微分方

16、程就化为常微分方程。对其积分可以得出其中C1、C2、C3、C4是待定常数，由于r=0处磁矢位不应是无穷大，所以可以定出C1 0。其余三个常数暂时不考虑，将磁矢位代入公式可以求出导线内、 外的磁场分别为 导体外部的磁感应强度为 3.5 磁 偶 极 子电流环半径为a 、电流为 I 、位于xoy平面上，中心与原点重合。 由于轴对称，A与 无关。为了计算方便起见，取所求的场点位于xoz 平面，即 = 0平面内。一、电流环在空间区域中的场强：在环上对称选取（a,/2,）和（a,/2,-）两段电流元,其在场点P处合成的矢量位与ey平行。由3-44式：其中：所以：当：r a 时:由公式：所以 其中：m=Ia

17、2=IS令： m=IS为载流回路的磁矩，其方向为环路法线方向相同。一般表达式：二、球坐标系中磁场强度表达式：位于点 r的磁矩为m的磁偶极子，在点 r 处产生的磁矢位为 位于外磁场B中的磁偶极子m，会受到外磁场的作用力及其力矩。 这里仅仅给出作用力及力矩的公式。 作用力为 力矩为 3.6 磁介质中的场方程 3.6.1 磁化强度 m=IdSdS1、分子电流及磁矩电子绕核运动，形成分子电流。分子电流将产生微观磁场。分子电流的磁特性可用分子磁矩表示：式中：I 为电子运动形成的微观电流： dS为分子电流所围面元。2、介质的磁化 无外磁场作用时，介质对外不显磁性： 在外磁场作用下，分子磁矩取向与外加磁场趋

18、于一致，宏观表现出磁特性，这一过程称为磁化。式中：m是分子磁矩，M 的单位是A/m(安培/米)。3、磁化强度 为定量描述介质磁化程度的强弱，引入磁化强度M。 介质的磁化强度M，等于单位体积内的分子磁矩之和。 如果体积元V内， 每一个分子磁矩都为m， 单位体积内分子数是N， 则磁化强度为 ：3.6.2 磁化电流 图 3 -13 磁化介质的场 定义：介质被磁化后，在介质内部和表面会出现附加电流，这种电流称磁化电流。磁化电流强度的计算： 设磁介质 r 处体积元V 内的磁偶极矩为M V ，则在 r 处产生的磁矢量位：全部磁介质在r处产生的磁矢位为： o应用矢量恒等式： (A1.5)再用恒等式: (A1

19、.14)等效体电流密度Jm等效面电流密度Jms 磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。 有磁介质存在时，场中的 B 是自由电流和磁化电流共同作用的结果。磁化电流仍然遵循电流守恒定律。均匀磁介质内部不存在磁化电流磁化电流体密度：磁化电流面密度：对介质磁化问题的讨论：磁偶极子与电偶极子对比模 型极化与磁化电场与磁场电偶极子磁偶极子l 例 3 - 7 半径为a、高为L的磁化介质柱(如图 3 -15 所示)，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流JmS。 图 3 15 例 3 - 7用图 解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合， 磁介质的下底面位于z=0处，

20、上底面位于z=L处。此时， ，由式(3 -52)得磁化电流为 在界面z=0上，在界面z=L上，在界面r=a上，3.6.3 磁场强度 式中： Jm为磁化电流密度；Im为磁化电流强度。有磁介质时安培环路定律的修正式： 代入Jm得:移项得:(微分式) 定义: 磁场强度(A/m)安培环路定律:(积分式)图b H 的分布与磁介质有关思考图b 中三条环路上的 H 相等吗？环量相等吗？图a 中环路 L 上任一点的 H 与 I3 有关吗？有磁介质存在时，重答上问。图a H 与I 成右螺旋关系3.6.4 磁导率 对于大多数媒质，磁化强度 M 与磁场强度 H 成正比，即:式中比例常数 m 称为磁化率。磁化率可以是

21、正或负实数。 考虑到 ，则由上式求得抗磁物质: 水、金属铜、碳(C)和大多数有机物和生物组织。令则(式中 称为磁导率)相对磁导率 r 定义为:(H/m) 铁磁材料的 B 和 H 的关系是非线性的，并且B不是H的单值函数， 会出现磁滞现象，其磁化率 m的变化范围很大，可以达到106量级。 3.6.5 磁介质中恒定磁场基本方程 基本方程本构方程（磁通连续原理）（安培环路定律）恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场的旋涡源磁矢位 A 及泊松方程由 A 磁矢位 Wb/m（韦伯/米）。由（矢量）泊松方程 （矢量）拉普拉斯方程 当 J= 0 时取库仑规范（Coulombs gauge)矢量恒等式： 例

22、3 8 同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图 3 - 16 所示。设内、外导体分别流过反向的电流I， 两导体之间介质的磁导率为，求各区域的H、B、M。 图 3-16 同轴线示意图 cab 解： 以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质)一般取其磁导率为0。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化， 该磁场只有分量，且其大小只是 r 的函数。分别在各区域使用介质中的安培环路定律 ，求出各区的磁场强度 ， 然后由 求出 和 。当ra时， 电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培环路定律得考虑这一区域的磁导率为0，可得 (r a) (r a) 当arb时，与积分回路

23、交链的电流为I，该区磁导率为，(arb) (arb) (arb) 可得 cab 当bc时，这一区域的 为零。 cab3.7 恒定磁场的边界条件 图 3-17 Bn的边界条件 由得即或1. B 的边界条件B112B2l12n说明：分界面上 B的法向分量连续。由得2. H 的边界条件b1H1H22若界面上电流可看成面电流，则：即于是有：b1H1H22即说明：分界面上 H的切向分量不连续。若界面上无电流，则：或静电场和恒定电流的场比较由所以：若1 2 ，则20结论：在铁磁性材料（1 0）与空气的分界面上，空气中的B垂直于分界面。3.折射定律条件：媒质均匀、各向同性，分界面 J=0又：2113.8 标

24、 量 磁 位标量磁位 ; 单位：A（安培）磁标位m 仅适合于无自由电流区域;等磁位面（线)方程为m=常数，等磁位面（线）与磁场强度 H 线垂直;式中的负号是为了与静电位对应而人为加入的。由（3.60）式：在无电荷区域 J = 0，则：均匀介质中， 由式(3 - 60) 、(3 - 61)和(3 - 72)可得：磁场的边界条件用磁标位表示时，为： 用微分方程求磁标位时，也同静电位一样，是求拉普拉斯方程的解。磁标位主要用来计算永磁体的磁场。 对非均匀介质，在无源区(J=0)，引入磁荷的概念后，磁标位满足泊松方程，即式中： 3.9 互 感 和 自 感 1.电感的定义当曲面固定不变时，磁通与磁感应强度

25、B成正比：由环路定律当环路C不变时，磁感应强度B与电流强度I 成正比： 如果回路由N匝导线绕成，则总磁通量是各匝的磁通之和。称磁链，用表示。对于密绕线圈，有=N。 在线性磁介质中，穿过任意回路的磁通量与回路电流成正比。 电感：穿过某电流回路的磁通量与回路中电流强度之比称电感（电感系数），用L表示，即：H（亨利）2.自感： 若某回路C载流为I，其产生的磁场穿过回路C自身所形成的磁链为 ，则定义回路C的自感系数为：H（亨利） 自感的大小决定于回路的尺寸、形状 以及介质的磁导率。 若回路导线直径较粗，则：L=Li+Le式中： Li为回路内自感，由导体内部磁场与部分电流交链而成。 Le为回路外自感，由

26、导体外部磁场与回路交链而成。关于回路自感的讨论：3.互感： 互感是一个回路电流与其在另一个回路所产生的磁链之比，它与两个回路的几何尺寸，相对位置及周围媒质有关。C2C1 C1与C2的互感：C2与C1 的互感：4.诺伊曼公式： （简单互感间的计算公式）条件：导线直径远小于回路的尺寸及两回路间的最近距离。设回路 C1 通以电流 I1，则空间任意点的磁矢位为：C2C1穿过回路 C2 的磁通为：C1 与C2的互感为：-诺伊曼公式由上式知：4.外自感的诺伊曼表达式： 设电流 I 集中在导线的轴线 C1上，磁通穿过外表面轮廓 C2 所限定的面积。 C1C2电流 I 在 C2 上产生的磁矢位为:与 C2 交

27、链的磁通为:外自感例 3 - 9 求半径为 a 的无限长平行双导线(如图 3 - 21所示)单位长外自感。 图 3-21 平行双导线 解：设导线中电流为I，由无限长导线的磁场公式，可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为(例3-4P55): 磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为: 所以单位长外自感为: 例： 试求图示长为 l 的同轴电缆的自感 L。解: 1. 内导体的内自感Li1（01） 磁通匝数内自感因此，图3.7.2 同轴电缆截面与后面用能量法求的结果相同2. 外导体内自感Li2（ 2 3） 3. 外自感L0（ 1 2） 总自感略 媒质为线性。 系统能量仅与系统的最终状态

28、有关，与能 量的建立过程无关。假设：1、 恒定磁场中的能量（Magnetic Energy）自有能互有能 磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）。3.10 磁场能量 电流增大过程中, 外源必须克服回路的感应电动势做功, i1 从 0 I1过程中，外源所做的功：推导磁场能量表达式（1）i1 从 0 I1, i2=0dt 时间内，产生di1增量，l1、l2中的感应电动势为即（2）I1不变，i2 从 0 I2：若要继续充电, 外源必须克服回路的感应电动势做功I1不变，i2 从 0 I2过程中，外源所做的功 即dt 时间内，产生di2，l1、l2中的感应电动势为电源对整个电流回路系统所作的总功为: 上式

29、若采用磁通来表示，则有：即：推广到N个电流回路系统， 其磁能为: 式中： 其中:ji 是回路 j 在回路 i 上的磁通， i是回路的总磁通.2、 磁场能量的分布及磁能密度若将i用磁矢位表示： 对于分布电流，用Iidli=JdV代入上式，得 由P60(3-45):将H=J代入上式，得: 注意，上式中当积分区域V趋于无穷时，面积分项为零(理由同静电场能量里的类似)。于是得到 磁场能量密度为 (A1.7) 例 3 - 10 求无限长圆柱导体单位长度的内自感。 解：设导体半径为a，通过的电流为I，则距离轴心r处的磁感应强度为 单位长度的磁场能量为 单位长度的内自感为 3.11 磁 场 力 电源提供的能量 = 磁场能量的增量 + 磁场力所做的功 n 个载流回路中， 当仅有一个广义坐标发生位移r ，系统的功能守恒是：虚位移法（Method of False Displacement )写成矢量形式，有：1. 磁链不变 磁链不变时，回路中的感应电势为零，电源不作功，即： 2. 电流不变 回路的电流不变时，各回路的磁链要发