化工数学：2.3 水平数不同的正交试验设计

1、2.3 水平数不同的正交试验设计我们在前面两节介绍的多因素试验中，各因素的水平数都是相同的。但在实际的问题中，特别是实际的化学与化工试验中，各因子的水平数不一定相同，即有的因子的水平多一些，有的水平少一些，但又要在同一试验中考察，这就是水平数不同的正交试验设计问题，又称混合水平的正交试验设计问题。从表2-11可以看出，例2-6中因子A是4水平的，另外3个因子都是2水平的。试验指标是产量，数值越大越好。对这样一个水平数不同的正交试验，该怎样进行试验设计呢？2.3 水平数不同的正交试验设计介绍两种主要的方法： （ 1）直接利用混合水平的正交表安排试验；（2）拟水平法，即把水平不同的问题化成水平数相

2、同的问题来处理。（1）混合水平正交表及其用法混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等正交表。这种正交表有好多种，比如L8（4124）就是一个混合水平的正交表，如表2-12所示。 表2-12 正交表L8（4124）列号试验号12345111111212222321122422211531212632121741221842112 混合水平正交表的特点这张L8（4124）表有8行，5列，表示用这张表要做8次试验，最多可安排5个因子，其中一个是4水平的（第1列），4个是2水平的（第2列到第5列）。L8（4124）正交表有两个重要特点（1）每一列中不同数字出现的次数是相同的，例如，第1列中有4个数字

3、1，2，3，4，它们各出现2次；第2列到第5列中，都只有两个数字1，2，它们各出现4次。（2）每两列各种不同的水平搭配出现的次数是相同的。但要注意一点：每两列不同水平的搭配的个数是不完全相同的。由这两点可以看出，用这张表安排混合水平的 试验时，每个因子的各水平之间的搭配也是均衡的。 用混合水平正交表求解例2-6由表2-11可以看出，例2-6中有4个因子，1个因子A是4水平的，另外3个因子都是2水平的。正好可以选用混合正交表L8（4124）。表头设计如表2-13。 表2-13 表头设计因子ABCD列号12345 混合水平正交试验设计及结果分析 表2-14 正交试验及结果分析列号试验号12345试

4、验指标（产量）/kg减去200111111195-521222220553211222202042221122525531212210106321212151574122118510K10102020K245353525K325K4-25 混合水平正交试验设计及结果分析 表2-14 正交试验及结果分析列号试验号ABCD5试验指标（产量）/kg减去2001234k102.55.05.0k222.58.86.36.3k312.5k4-12.5极 差35.06.31.31.3优方案A2B2C2D2 混合水平正交试验设计及结果分析 混合水平正交试验结果分析计算的方法和水平相同

5、的正交表基本相同，但是要特别注意，由于各因素的水平数不完全相等，各水平出现的次数也不完全相等，因此计算各因子各水平的平均值k1、k2 、k3 、k4时和水平相同的正交表有所不同。（2）拟水平法对水平数不同的正交试验问题，如无合适的混合水平正交表可选择，可以将水平数较少的因子虚拟一些水平，使之排在正交表的多水平列上，这种方法称为拟水平法。应该指出，采用拟水平法的试验，正交表的均衡搭配性质会遭到部分破坏。它的好处是可以不采用大的正交表，从而减少试验次数。（2）拟水平法例2-7 今有一化工试验，试验指标只有一个，它的数值越小越好。这个试验有四个因子A、B、C和D，其中因子C是2水平的，其余3个因子都

6、是3水平的。具体的因子和水平表如表2-15所示。 表2-15 因子和水平列表 因子水平ABCD135015606522505807533001085（2）拟水平法例2-7这种情况没有合适的混合水平正交表，因此不能用例2-6的方法解决。假若因素C也有3个水平，那么这个问题就变成4因子3水平的问题，就可以选正交表L9（34）来安排试验。 如何将C变成3水平的因子呢？我们是从第1、第2两个水平中选一个水平让它重复一次作为第3水平，这就叫虚拟水平。取哪个水平作为第3水平呢？一般都是要根据实际经验，选取一个较好的水平。 拟水平法正交试验设计及结果分析 表2-16 L9（34）正交表及结果分析列号试验号A

7、BCD试验指标11111145212222363133231242122315522321406231121573132210832113593322147K1937065132K2708116061K3627432 拟水平法正交试验设计及结果分析 表2-16 拟水平法正交试验及结果分析列号试验号ABCD5试验指标1234k131.023.321.744.0越小越好k223.327.026.720.3k320.724.710.7极 差10.33.75.033.3优方案A3B1C1D3 拟水平法正交试验设计及结果分析 注意：因子C的“第3水平”实际上就是第2水平，我们把2-15正交表中第3列的C

8、因子的水平安排又重写一次，两边用虚线标出，对应地列在右边，这一列是真正的水平安排。由于这一列没有第3水平，因此在求和时实质上是没有K3，只出现和。又因为这里C的第2水平共出现6次，因此平均值k2是2除以6；C的第1水平出现3次，因此平均值k1是除以3， 拟水平法的特点 可以看出，拟水平法是将水平少的因素归入水平多的正交表中的一种处理方法，在没有合适的混合水平的正交表可用时，拟水平法是一种比较好的处理多因素混合水平试验的方法。这种方法不仅可以对一个因素虚拟水平，也可以对多个因素虚拟水平。虚拟水平后的正交表对所有因素来说不具有均衡搭配的性质，但具有部分均衡搭配的性质，所以拟水平法仍然保留着正交表的

9、优点。例2-8 提高某产品质量的试验 为提高某产品的质量，要对生产该产品的原料进行配方试验，要检验3项指标：抗压强度、落锤强度和裂纹度，前两个指标越大越好，第3个指标越小越好。根据以往的经验，配方中有3个重要因子，它们各有3个水平，具体数据如表2-17所示。 表2-17 试验的因子和水平 因子水平ABC水份（%）粒度（%）碱度1841.12961.33781.52.4 多指标的分析方法 我们在前面介绍的正交试验中，考察指标均为单一的，但在实际的问题中，特别是实际的化学与化工试验中，多指标的问题是大量存在的，多指标的试验分析比单指标要复杂一些。 选L9（34）水平表进行试验设计 表2-18 L9

10、（34）正交表及结果分析列号试验号ABC抗压强度（kg/个）落锤强度（0.5m/次）裂纹度111111.51.1321224.53.64313311.04.6442127.01.1352238.01.62623118.515.1073139.01.1383218.04.62933213.420.21 结果分析 表2-18 L9（34）正交表及结果分析列号试验号ABC抗压强度（kg/个）落锤强度（0.5m/次）裂纹度抗压强度K127.027.538.011.51.13K233.520.524.94.53.64K330.442.928.011.04.64k19.09.212.77.01.13k21

11、1.26.88.38.01.62k310.114.39.318.515.10极差2.27.54.49.01.13优方案A2B3C18.04.62裂纹度K11195落锤强度K19.33.320.8K2588K217.89.824.9K3659K325.939.97.3k13.73.01.7k13.11.16.9k21.72.72.7k25.93.38.3k32.01.73.0k38.613.32.4极差2.01.31.3极差5.512.25.9优方案A2B3C1优方案A3B3C2（1)综合平衡法用图示的方法和结果分析表相结合，先分别考察每个因子对各指标的影响，然后进行分析比较。先从对指标影响较大

12、的主要因子开始进行分析。各因子之间需要进行综合平衡，确定对主要因子来说是最好的水平，兼顾考虑次要因子，从而得出最好的试验方案，这种方法就叫综合平衡法。(2)综合评分法对多指标的问题，要做到真正好的综合平衡，有时是很困难的，这正是综合平衡法的缺点。而综合评分法在一定意义上来讲，可以克服综合平衡法的缺点。例2-9 关于综合评分法 某厂生产一种化工产品，需要检验两个指标：核酸纯度和回收率，这两个指标都是越大越好。根据以往的经验，有影响的因子有4个，各有3个水平，具体数据如表2-18所示。 表2-19 试验的因子和水平 因子水平ABCD时间/h 加料中核酸含量PH值加水量1257.55.01：6259

13、9.06.01：4316.09.01：2 选L9（34）水平表进行试验设计 表2-20 L9（34）正交表及结果分析列号试验号ABCD纯度回收率综合评分1111117.530.0110.02122212.041.289.2313336.060.084.0421238.024.256.2522314.551.069.0623124.058.474.4731328.531.065.0832137.020.548.5933234.573.591.5K1273.2221.2222.9260.5K2196.6206.7236.9228.6K3205.0249.9218.9188.7k191.173.77

14、4.386.8k265.568.979.076.2k368.383.972.762.9极 差25.614.46.323.9优方案A1B3C2D1综合评分法综合评分法就是根据各个指标的重要性的不同，按照得出的试验结果综合分析，给每一个试验评出一个分数，作为这个试验的总指标，根据这个总指标（分数），利用直观分析法作进一步的分析，从而选出较好的试验方案。综合评分法的关键是如何评分。综合评分法以这个试验为例。在这个试验中，两个指标的重要性是不同的，根据实践经验知道，纯度的重要性比回收率的重要性大。这时需要化成数量来看，从实际分析，可认为纯度是回收率的4倍，也就是说，论重要性若将回收率看成1，纯度就是4

15、，这个4和1分别叫两个指标的权。按这个权给出每个试验的总分为：总分=4纯度+1回收率。按照这个算式，算出每个试验的综合评分，列在正交表最右边，就可以用直观分析法作进一步的分析。综合评分法是将多指标的问题，通过加权计算总分的方法化成一个指标的问题，这样对结果的分析计算都比较方便、简单。但是如何合理地评分，也就是如何合理地确定各个指标的权，是最关键的问题，也是最困难的问题，这一点只能依据专业知识和实际经验来解决，单纯从数学上是无法解决的。总结：正交试验设计，关键在于根据试验的目的，确定试验要考察的因素，进一步确定每个因素变化的水平。根据试验要求来最终确定正交表。试验费用昂贵的，可取试验次数少的正交

16、表，要求试验精度高的，可取试验次数多的正交表。已知因子间交互作用小的，可不用考虑交互作用，减少试验次数。分析试验结果，得到合理的结论和更多的信息。原则：具体情况具体分析，灵活运用。试验为什么要设计？ 试验设计一般分三个阶段：（1）试验：首先要明确试验的目的和要求；其次是合理选择试验考察的指标和影响因素（即因子）；最后确定试验中影响因素的具体条件（即因子的水平）。（2）设计：根据因子及因子的水平，确定试验方案；决定试验的顺序，试验的方法，测量的点数以及重复的次数等。（3）分析：对试验所得到的数据进行整理，制成易于计算的表格，建立假设，计算分析用的各种统计量；确定显著性水平进行检验，得出结论。线性

17、代数概率论与数理统计 研究在CO2和H2O存在下，由CO与H2合成甲醇的反应。（1） 写出反应的原子矩阵形式；（2） 求原子矩阵的秩（3） 确定反应a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套计量系数，即确定一组完整的独立反应组。引例 ？ ？化学与化工研究过程 找到隐藏在化工现象背后的规律，从而建立一个能够正确地反映所研究对象或过程的数学模型。数学模型化过程分析法经验法 在高等数学的研究中对单个的数或单个的数学模型研究的较多，而在化学与化工问题中，经常遇到将许多个数或许多个数学模型作为一组来研究的情况。若将众多的数或关系式用展开式来描述，则很繁琐，所以需要用简便的形式来

18、进行表达或运算。 线性代数就是适合这种要求的一种方便的数学方法。第三部分 线 性 代 数第一章 n阶行列式第二章 矩阵及其运算第三章 n维向量第四章 特征值和特征向量第五章 线性空间线性代数的学习内容向量组与线性方程组 行列式矩阵方阵的特征值和特征向量线性空间 第二章克莱姆法则 线性方程组 矩阵的初等变换矩阵的秩向量组的线性相关性 向量组的秩线性方程组的解的结构 维数、基与坐标 线性变换 第一章第三章第四章第五章线性代数的特点：线性代数的特点四多概念多定理多符号多运算规律多两交联内容相互纵横交错知识前后紧密联系第一章 n阶行列式第一节 二阶和三阶行列式第二节 n阶行列式定义及性质第三节 n阶行

19、列式的计算第四节 克莱姆法则求解含有 n 个未知数 的 n 个线性方程的方程组：线性代数 第一章 n阶行列式 引例二元线性方程组 其中 为常数， 为未知量。 用中学学过的加减消元法可得结论：当 时，方程组有唯一组解： 线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式第1节 二阶和三阶行列式定义 四个数排成二行二列的方形数表，加上记号“| |”，表示一个二阶行列式 ，其值为 ，即 其中 称为行列式的元素。元素 的脚标 表示第 行， 表示第 列，即 表示行列式中位于第 行第 列的元素。线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式二阶行列式由二阶行列式的定义，可将前述二元线性方程组的

20、解写为： 线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式称 D= 为线性方程组（1）的系数行列式。 上述结论还可简记为：当二元方程组（1）的系数行列式 时，方程组有唯一解 。 其中 为系数行列式 的第 列换为常数列 ，其余列不动而得到的行列式。定义九个数排成三行三列的方形数表，加上记号“| |”，表示一个三阶行列式： 线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式三阶行列式值的计算可按图示“对角线法则”来记忆。三阶行列式三元线性方程组： 线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式当系数行列式 时，方程组（2）有唯一解上述结论仍可简记为 ，其中 为系数行 列式， 为

21、的第 列换为常数列 ，其余列不动而得 到的行列式。性质1将行列式的行列互换，行列式值不变。即线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式称这两个行列式互为转置行列式。 行列式行列互换（将行列式行依次改为列）称为行列式转置。 性质2行列式任意两行（列）互换，行列式值反号。 推论若行列式两行（列）相同，则行列式值为零。三阶行列式性质：性质3行列式某一行有公因子 ，则 可提到行列式号外。即线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式推论1行列式有一行（列）元素均为0，则行列式值为0。 推论2行列式有二行（列）元素成比例，则行列式值为0。三阶行列式性质：性质4行列式某一行（列）的元

22、素可以表示成两项之和，则该行列式可写成两个行列式之和。线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式性质5将行列式一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式值不变。定义 三阶行列式中划去元素 所在的第 行与第 列的元素，其余的元素按原来的次序构成一个二阶行列式，称为元素 的余子式，记作 ，令 ，称 为元素 的代数余子式。 定理1三阶行列式值等于其任一行（或列）的元素与其代数余子式乘积之和。即：线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式余子式和代数余子式例1求上三角行列式线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式例2求例3求=a11a22a33=16-50+36=

23、2=a3+3a2线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质第2节 n阶行列式定义与性质引例：用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？P3=321=3！把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？Pn=n（n-1）（n-2）32 1=n！定义1由自然数 组成的一个有序数组称为一个n 阶排列，也叫做这n个元素的全排列。 一般地说一个 n 阶排列可用 表示。所有的 n 阶排列的总数为 n！个。 定义2在 n 阶排列 中，如果 就称 为该排列的一个逆序，排列中逆序的总个数称为该排列的逆序数，记作 排列 具有自然顺序，即逆序数为0，称之为自然排列。 定义3逆序数为奇数

24、的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质全排列及其逆序数例1 计算排列32514的逆序数并指出排列的奇偶性。线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质解：在排列32514中，3排在首位，逆序数总为0；2的前面比2大的数有一个（3），故逆序数为1；5是最大的数，逆序数总为0；1的前面比1大的数有三个（3、2、5），故逆序数为3；4的前面比4大的数有一个（5），故逆序数为1；于是排列的逆序数为：=0+1+0+3+1=5所以该排列为奇排列。 在一个排列中，把其中两个数的位置互换，其余数位置不动，这样的变换称为对换。 如

25、 定理1任一排列经一次对换，必改变其奇偶性。 推论1 在所有 n 阶排列中 ，奇排列、偶排列各占一半，均为 。 推论2 任一 n 阶排列均可以通过若干次对换变为自然排列，并且所做的对换次数的奇偶数与这个排列的奇偶性一致。线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质对换线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质三阶行列式（1）式的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列。因此，（1）式中的任意项除正负号外可以写成a1j1 a2j2 a3j3，第一个下标称为行标，而第二个下标称为列标。（2）各项的正负号与列标的排列对照：带正号的三项列标排列是：12

26、3，231，312；偶排列带负号的三项列标排列是：132，213，321；奇排列。所以各项所带的正负号可以表示为(-1)(j1 j2 j3)（1）定义 三阶行列式中划去元素 所在的第 行与第 列的元素，其余的元素按原来的次序构成一个二阶行列式，称为元素 的余子式，记作 ，令 ，称 为元素 的代数余子式。 定理1三阶行列式值等于其任一行（或列）的元素与其代数余子式乘积之和。即：线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式余子式和代数余子式定义由 个数排成 行， 列的数表，加符号“| |”，称为 阶行列式，它的值为所有取自不同行、不同列的 个元素乘积 的代数和，每项的符号由 决定， 即： 规定一阶行列式 。 阶行列式的完全展开式中含有 项。所带符号一半为正，一半为负。 例2 在五阶行列式中，决定 这项前面所带的符号。线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质n阶行列式例3计算上三角行列式 之值。 进一步考虑线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与