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1、1第五章 椭圆型方程的差分方法 (一) Poisson方程（二）差分格式的性质（三）边界条件的处理（四）变系数方程（五）双调和方程（六）特征值问题2(一) Poisson方程区域以及边界离散4内点边界点 返回5 返回1.五点差分格式利用Taylor级数展开有则8 由于上差分方程中只出现u在(i,j)及其四个临点上的值, 故称为五点差分格式Possion方程第一边值问题的差分逼近为改写为代数方程, 仅考虑解：11 先仅下标 j 小的未知量放前面, 相同的 j 的再按 i 从小到大顺利排列11按自然顺序排列网点(i,j)按自然顺序排列网点(i,j)定义向量于是差分方程为:12分析系数矩阵H对于第一

2、个结点(1,1), 未知节点分析系数矩阵H对于第二个结点(2,1), 分析系数矩阵H对于前I个结点, 系数矩阵H为 五点差分格式等价于B,I为I维方阵, H为I*J维方阵对于第一个结点, 即例：17同理, 对于另外三个结点, 分别有联立, 有线性代数方程组18计算机实现五点差分格式的系数矩阵算法程序返回19五点差分格式的系数矩阵对possion方程第一边值问题建立五点差分格式将双下标数列ui,j按自然顺序排成单下标uk,那么20这样有代数方程组Hu=g, 其中21这样有代数方程组Hu=g, 其中H是稀疏矩阵, 每一行最多5个数不为0H是对角占优矩阵H是对称正定课堂练习23 微分方程差分格式真解u=u(x,y)真解u=un实用性分析 相容性收敛性 稳定性椭圆型方程收敛性分析区别于双曲与抛物方程对于双曲与抛物方程：24 相容性所以五点差分格式是相容的.2.九点差分格式27四阶精度3 极坐标形式的差分格式若求解域是圆环、环形域或扇形域，则采用极坐标是方便的，此时Poisson方程形如任意点用中心差商公式分别取等步长下面用有限体积法获得在点 的差分方程用r乘方程上积分并对得到的方程在用中心差商代替上面的微商，并用 除得利用中

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