概率论与数理统计(第四版)-4~6章习题答案

1、第四章4设XN(O,1)求下列概率:2,5);(3)P(|X|L68)；(4)P-0.36X0.64)|解|(1)P(X2,5)=1-(D(2.5)=1-0.9938=0.0062(3)?(|X|L68)=P(L68X1,68)=-1.68)以一L68)=2P(1X8)-1=2x0.9535-1=09070P(-0.36MX40.64)=0(0.64)-0(-036)=孰0.64)十以0.361=0,7389+0.64061=0379S4.瑕X-N(l,2-卜求下列概率:P(X2.2);(2)P(-1.6X5,8)iP(|X|4,56)制(1)P(X20=图。4)=fl.7527581(2)尸

2、(一L6MX5,8)=注二)_我)=R2.4)里一1工)=叱2.4)1+5L3)=0.8950(3)F|，|4.56)=1-.P(|X|1.2)=1-P(X-100|1.2)= 1-P(X-1000,62) = l-r(-22)=1-4*(-2)=1-4*(2)1-0(2)=1-IL99H(1-0.99-：)-0.0456.4.4测量到某一目标的距离时发生的随机误差X(米)具有概率密度：八刈=求在三次测量中至少有一次误40724差的绝对值不超过30米的概率.NQ0,40、在一次测1量中误差的绝对值不超过30米的概率为；PX30)=珠”三产)=(0.25)-Q(-1.25)=吨25)-1+1,2

3、5)=0.4931设F表示在三次独立测量中事件|X|3G出现的次数,则F-6(3,0.4931)工所求的概率为；P(Y1)=1_7；(0,4931)%1-0.4931只=1-0,1302=0,86984-5设随机变量X-N（%，卜求:随机变量Y=ex的概率密度.解：由题意；三FKe;一g&y+an也3且广。所以：,WU时,小。，）二。；1(Jm-A)户0时，4(力=71(闲)|(如)|=-=一e+A（n=辰0.4用设（%crb，求F = |x|的概率密度、数学期望与方差.y,耳G)=P(F=|X|r当 F，o.2(y)=azcr:i$0工cr)(2)(Z:)=(XY)=E(X)E(F)=为/K

4、(X2)=D(X)E(X)Z=t)+/AF(F=)=P(F)+(F)1=er%+zr2EX2Y)=V)=(X=16TD%2530”用町=1区求*与F的密度函数|解I&ax=VV=4,crr=4DY=V25=5cov（x,y）广XT=_b，bv二/（2）二2-4 5V1-O.6=211f 启 eG-oy工业式工-0石-016-0丫16/3个I/165025J32万设二维随机变量（M,刃服从二维正态分布:1-!+2_）小M=:射2ab求：（其】3落在椭2_匕=炉内的概率.a b麟刊（工4g斗+鸟(X)+D(y)=Si_)=k15两台机床分别加工生产轴和轴衬.设随机变量N蛔)表示轴直径，随机变量*鼠

5、表示轴的内径，已知XA(50,0.32),FeN(52,0.4,),显然X与Y是独立的，若轴衬的内径与轴的直径之差在卜3(imn)之间,则轴与轴衬可以配套使用*求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率.”：由题意：Y-X-.(52+(-1)x50,0.2+(-lfx0.4-)即:F-X - N(2r 0.5 )-_1-2.二 P(1F-A3) = P( 0-5Y-X2 3-2三三)0.5031-23-2=文标)取万R=巩2)-文-2)vi?U.S=2力(2)-1=2x09972-1=0.9544.447设/占八X押互独立证明13标z=3)rti-1HIft1E=E(工)，工成工)=“=(i3-jt

6、jflU0)=以工玛)=二皿匕)=上内/=1-17ft4JB设随机变量KKZ相互独立,都服从标准正态分布NQ1),求:随机变量函数u = x-十广-3-Z3的概率密度.数学期望与方差.由题意:1 -421一士人(x)=-154VnJT+Jf人43心=7在2，(nr)对于任意的实数h,%3=F(ru)=p(x2+r2+z-w) 0.u 0.u (JCj)+Z(Fi+Z(Z3)=6.1)直接求力利用函数的期望，方差求法.4.19已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从P(0.2),求这本书的印刷错误总数不多于70的概率.皖设片表示每页中的印刷错误的个数，f=L2,A,300E(Xi)=D(Xi

7、)=0.2由列维定理知，所求的概率3/匕7。V E-1、y-60”=P,-GO)7300 x0.2“300y0.21.29 =.29)=0.90158O)=1-P(K80)=1-08080=1工一沙因m=10000克分大，由棣莫弗盘普拉斯中心极限定理:I ” 叩 近似服从标准正态分布N(M)yw p)则:p(a)-p| 耿0.01x100Jr(i-p)_ 0.01x100)-(- / )包 j1-共 f) = 2年)-1Jp(l-p) J*p) Jp(l-p)2.Jmi-m 2例2A1 = 2 X 09772-1 = 0.9544.4,21为了确定事件力的概率，进行了10000次重复独立试验.

8、利用棣莫弗-拉普拄斯定理估计：用事件d在10000次试验中发生的频率作为事件.4的概率近似值时，误差小于瓦01的概氧度设事件在每次试验中发生的概率为人在总次试骏中发生了X：次，则X风灯,力,旦E(X.)二rtpJ)(XC=(1-p).因此，所求事件的概率为P(|匚)-户|设外线总数为，时，满足要求.由中心极限定理，有p(o小+“打).郊2。$(J200To_0475)171000475)Y党卜一34)n10=|能-09994)=0.9gr10)打一10“一=0.9006,二；一田L28,工野之14.4.23抽样检查产品质量时，若发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受。应该检查多少产品时，可

9、使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到09叵设检查产品的个数为力时，满足要求.并设X为打个产品中发现的次品个数,p=O,l,二 P（10 岂 X =在3而）iJ。飞03nzO/i时】（3yftt）=10.1n-I0,y-口3-I28,二依146第五章5.1设抽样得到样本观测值如下:15824.2,14.5,174,13220,8,17.9,19.1,21018s16.4,22.6D计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的观测值。度样本均值二=3去巧=1a4512=1样本方差一二二-光（勺一元丫=10.775511w110样本二阶中心矩a-=2；区一元丁=9s7512厘设总体*N卜。,与)

10、(3,6) 0(-2.4)=0.9916一-工X-40X-4G.21由n=64*.；=N(0*1)5/80.6259P 花4。|二1.6)一以一L6)=0.8904(3) O P(X-405(1)若已知7=2,求Pjxfi 0.5设总体Xy(cr)从总体中抽取容量为片16的样本,(2)若0未知，样本方差5工=5J3,求P(|/i-x|0-5)小。*3J0,S；=P1)=0,6826,)0= 7533/16一，(15)二P仔一)0.866)=1-2P(r066)课本5.11设总体X-)抽取容量为20的样本,/20、(1)已知外求产43.6VG415。4Vi-lJ(H F一,(2)未知必求?46.

11、8M汇匡一叩154.4L解N 区-方z ZJ(20)1-1F43,6 二(正-gf 150,4jI mT? 乂43*6名方汇(区 -/1)*芸乂150,4L H上=即。”* 37.6) = 0.95-0.010.94=/丸上-时M傅E-1154.4/46f3为国可 上 rJ|10J=R1L7* 3&6)= 0900.005 = 0.8951%(20)=103Xftoi(2O) = 3 7工=0.95?%=0 01二 一376 a片/19) = 117若侬(19) =38.6_Lx154.4g65高堂22222设总枷N&U了）抽取容量内=40及啊=50的两个样本求两个样本均值之差的绝对值小于0.

12、7的概率口0一下卜（X二四）（无一产） （下一1）禺（0,。/（元一，|0J）0.79班(1) P(0X-F8);(2) P=PHML0999=6(1.0999)8-1,0999)殖0近J=2,1.0999)-1=0*7286设XN（5O6）,F浮（46,4=）.从总体K与F中分别抽取容量为名=10与理？=8的样本,求*8.285/=P(-1.69rL69)=0(1.69)里一L69)=2以1.69)-1=2x0.9545-1=0.9094F =S：L F(%7)8.28 =P S- SU V -=PF3,68)=1-0,05=0,95第六章2.设总体服从几何分布：玫X=x=p(lp)i.x=

13、LX3A如果取得样本观测值求参勤的最大似然估计解似然函数:Lp)=2。一P)3=pn(lp)二加上(p)=，出尸+，9n)lu(l-p)Si=L令 UhL _n dP pn一 =CL得p的极大似然估计值为i=i1上14.设总体X服从拉普拉斯分布二八时乃二白=,*0.如果取得样本观测值为怎?,A，工,求参数e的矩估计值与最大似然估计值.刷(1)矩估计法E=点匚比/鼠=()1r4，上1r+g5-OEfX)-JnN&(fx=JX，9dx=02r*f)可讣)=2wi=i得参数一的矩估计值e=为(2)最大似然估计法似然函数3=西儿而冷InL(9)=执仙24加&)X|8T2。d0参数的最大似然估计值为。=

14、工工|71i=l5.设总体X服从伽玛分布:0,*oa0.如果取得样本观测值为阳,电,A/求寥数便及后的矩估计值;（2）已知仪=%,求参数B的最大似然估计值.I解（1）矩估计法0（*）=嬴/3羟3）r（cr+l）_trr（r）_a二0。*rQ）户一了a E令后（*）=*=.a = fiX0E（X1）=皿-土，-华公品r（a）=看广3尸，/）r（a+2）（H+l）r（a）依&+1）=仆），=r，=令2X2）=工大？=今工九7p将代入（2）,得。，s的矩估计值为AItXX城E.Inx17和g- X入，-F万狷一”（2）最大似然估计法“力岛蜡一5=品加小丁加In，一加1口（4）一万工七十（，1）光山马

15、I=1加工（向篦名而一TM_汇巧=o 1B=1=1品灯泡厂从某日生产的一批灯泡中抽取1。个灯泡进行寿命试验，得到灯泡寿命（小时）如下：1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200.求该日生产的整批灯泡的平均寿命及寿命方差的无偏估计值.解I衣=受=白芍11。g=$*=（芯-工=75797、如果已知总体X的均值广，证明总体方差的无偏估计量为Fn匕=z（-?1其中X1,与八是从总体X中抽取的样本，画OEOG=DX=b=1,2,A运SR=露双*=nDX-=cr=,n即E&2=a所以才工是总体方差的无偏估计量.8、设样本观测值为为了估计总体X的方差.

16、我们利用下面的公式:=龙/（工也-X）,求篱的值,=4使人是总体方差的无偏估计量.e|(xi+1-xJ=-X.)+ez(xm-X.)=2crji-i上封）叫吃（k-XJ=吃乳勺十-XJ=2k(n-l)=cr七2(-l) TOC o 1-5 h z 12股样本为X】,*,A，工，又c1，G5A二为常数，且二生=LMz证明（1）A=勺围是总体均值U的无偏估计量.I（2）在所有这些无偏估计量，=其中，样本均值-i-i%=的方差最小.1=1M-M狂（i）E（m=XG日工）JIftD（向=出即=q之i=li=lD(X)=D(q+c2+A：+cj+A+c/)当且仅当c,=c.A=c时，等号成立ifl13某

17、工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（亳米）如下:14.6,14.7,15.1,14,9,14,815,015.1,15.2,14.8.设滚珠直轻服从正态分布7求直径的均值对应于置信水平0.於的置信区间，如果,（1）已知标准差为05毫米；（2未知标准差.（1）猪二薪小）尸（|“受一笔I 五十隼Va/ j口，X= 14,911对于置信水平1-口=0.95,则值=0.05,查表得Ua“肥$(0)=1，90,由续.毕X196=0.098得置信区间为14.911-0,09814,911+0.098即14,813以15.009（2）P=l-a,q（,- 1） fi x +城予（！ -1

18、） = 1-0I*J弋F元=14,911y=0.203已给置信水平1-。=0,93则口=0,05,查去得;=2.31.30.203入广1=-1门=1=x231=0.16尿三也得置信区间为二14.7“1115.0715.已知高度表的误塞苗),，二15米，飞机上应该有多少这样的仪器，才能使得以概率0.98保持平均高度西产区一“0.98=P -2Jn -y=1115/荷7的误差的绝对值小于30米?=。98二4面)=0,990a233)=0,9901：2品=2331-357所以至少应有两个高度表.16、测得16个零件的长度（毫米）如下？12.15,12,12,12,01,12,08,12.09,12.

19、16,12.03,12.01,12.06,12.13,12,07,12,11,12.08,12.01,12.03,12,06,设零件长度服从正态分布,求零件长度的标准差对应于置信水平为0.99的置信区间、如果:(1)已知均值为1工。8毫米：(2)未知均值.闺己知外=1208/三3f国4bT已给置信水平1-=0,99,则a=0.01,自由度仇（jt.n.、w（x.-4y2（K-为了CLm；tz一I-V查表得式（应=忘16=343Z：16）=z晨。百）=5.14匕计算得U-12.08）2=0.037i=i则直径标准差的置信区间为殖0375J40.037Vc34.3即0.0328Vb0.08482)未知丁=2沙君7即/=/、 TOC o 1-5 h z c(科一2(和1)S工.P-C72-=1一工.51)z0tgDki2Jx=12t075,52=0.00244对应于置信水平上则叮=查表球双(15)=4.6,“除侬)=32.8则。的置信区间呼黑更普粤西，V32184.6即0.0334cr0.089217.进行3欧独立测试，测得零件加工时间的样本均值为至=5.5秒，样本标准型=1.7秒.设零件加工时间是服正态分布的，求零件加工时间的均值及标准差对应于置水平0.9$的置信区间.|孵|(1)未知仃二，-)=-1x-(h-1)px-r.(/r-l)l=l-a