江苏省常州市2020届高三上学期期中考试数学(理)试题含解析

1、江苏省常州市2020届第一学期期中考试高三(理)数学试题2019. 11第I卷(必做题，共160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上.)1.已知集合 A= x x 2 , B= 2, 1, 0, 2,则 AI B=答案： - 1, 0考点：集合交集运算解析： A= x|x 2 ,A= (-2, 2),又. B= 2, - 1 , 0, 2,AI B= - 1 , 0.函数y log2(7 6x x2)的定义域是 .答案:(T, 7)考点：函数的定义域解析：由题意得：7 6x x2 0,解得-1vxv 7,故原函数的定义域是(-1, 7).我

2、国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率兀，理论上能把兀的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了 “割圆术”，将兀的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积则S6=答案:3.3考点：正多边形面积解析：由题意知，该正六边形为1,是由6个全等的边长为1的等边三角形构成， 故面积为:S66.设曲线y ax ln(x 1)在点(0, 0)处的切线方程为 y 2x ,则a=答案：3考点：导数的几何意义解析：: y ax ln(x 1)由切线方程为y 2x,可知2 a 1,故a=3.uuru.已知点A(1, 3), B(4, -1),则与向量AB同

3、方向的单位向量的坐标是 答案：(3,4)55考点：单位向量的坐标表示解析：点 A(1 , 3), B(4, - 1),uuruurAB (3 , - 4) , AB 5 ,uuur则图H(3, |AB56.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当 x0时，f(x)eax,若f(ln3) 9,则a= .答案：-2考点：奇函数的性质解析：f (x)是定义在R上的奇函数，.1f(ln3)f(ln3)aln1(e 3)解得a= - 2.已知关于x的不等式丝j 0的解集是(，-1) U ( 1 ,x 12),则实数a的值为答案：-2考点：分式不等式1解析：由题息知a0,且一 a.已知a, b为单位向量，且

4、1拓c一 ,故 a= _ 2.2r rr 一ra b 0 ,若 c J5 a答案:.5考点：利用数量积求向量夹角r-rr r r解析：: c J5a 2b , a b 0 ,r fT2 rrr2c V5a 4。5a b 4bJ9、5a22ab瓜rcos= r, .rHHJ59.已知函数 f (x) Asin( x ) (A0,0, V兀)是奇函数，且f(x)的最小正周期为兀，将y f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图3象对应的函数为g(x).若g() 33,则f (万).答案：、2考点：三角函数的图像与性质解析：.函数 f (x) Asin( x ) (A0,0,

5、 v兀)是奇函数，= 0,又 f (x)的最小正周期为兀，=2,即 f(x) Asin 2x将y f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得g(x)则 g (x) Asin x g(-) BA Asin 一 花,解得 a= 2,故 f(x) 2sin2x, 333. f (丁)2sin(2 ) 我.88又2xi10.函数y f(x)定义域为R, f(x 1)为偶函数，且对 x1 x2 1,满足 fxv0,若f (2) =1,则不等式f(log2x) 1的解集为.答案：(1 , 4)考点：函数的奇偶性与单调性的结合解析： f (x 1)为偶函数y f (x)的对称轴为x= 1f (x2)

6、 f (x1)c;对 x1 x2 1 ,满足 一L2J0,x2 Xif(x)在(，1)上递减，又f(x)对称轴为x=1,则f (x)在(1 ,)上递增,f(log2X)1, f (2)=1,转化为 0V log2 x 2, y1,2y (x 2) 2(y 1)4 2.2(x-2)(y-1)当且仅当uuur uuur uuuADDC , AE1 uuu -EB 2uuin uuur若 BD AC 5uuu uuir，则 CE AB6平面向量数量积12.如图,在ABC中,AB= 3, AC= 2,答案:考点:解析:uuur uuir1 uuur因为BD AC 5,所以(一AC 21 uui2AB)

7、 AC 5,即AC 2uur uuruur uurAB ACuuir uur代入可得：AB AC 3,uuu uur 1 uur uuu uuui 则 CEAB (-AB AC) AB13.已知 A B C为 ABC的内角，若1 UUU2 -AB 3uurABuur 1AC 332(3) 6.3tanA + tanB = 0,则角C的取值范围为答案:考点:解析:(0，6诱导公式，两角和的正切公式，基本不等式，正切函数的图像与性质 因为3tanA +tanB =0,可知A、B中一个锐角，一个钝角，则角C必为锐角八 tanA tanB tanC 一2tanA2tanA tanB 1 3tan A

8、10 ,则tanA 0, A为锐角tan C2 tan A3tan2A 13tan A tan A,当且仅当tan A 取“=”，3314.若对任意的x 1 , e2,都有3aln x(a 1)x恒成立，则实数a的取值范围是答案：-1,3 e考点：函数与不等式(恒成立问题)解析：: 3alnx (a 1)x对任意的x 1 , e2恒成立，3ln x xa 1对任意的x 1 , e 恒成立，x3ln x x ，、3(1 In x) -接下来研允 p(x) ,则 p (x) 2,列表如下:xx又 p(1)1，p(e)当a0时,当a=0时,当a0时,3ln x x(a) maxx0 1成立；3ln

9、x x(a)maxx3 eea 1,解得 0 a e3 ea 1 ,解得 1 a 0.综上所述，实数a的取值范围是二、解答题(本大题共 6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字x1， e)e(e, e2p(x)+0一p(x)Z2说明，证明过程或演算步骤.)15.(本题满分14分)已知函数 f(x) J3sin2x 2sin 2 x .(1)求f (x)的最小正周期及单调递增区间;(2)求f(x)在区间0,一上的最大值.215.解T (IVfx) = V3sm2r + 2nn2x = 43sin2x + I - coslx=2(sin2x - |cq52x) + 1 m 2s

10、in(2x -力+ L工/(工)的小正周期r - g =博， 令2fcir 2x 62 + C2 - be - 160 2bC 2 TOC o 1-5 h z 由于而=巫生，故而2 =逆土里亚=9, 24则3产沼=9 =产+ 2+尻=3德-得be 10 115MBe J be5m4 = ： x 10 x f方法三1（极化式）AB AC- ABACcosA =（AD + DB）245.错售价格为5元/千克时t每日利润最大.13分答：(I) p关于工的函数解析式为J(一为-5,94x415(2)销售价格为5元/千克时r每日利润最大.所获利润，(最大.14分.(本题满分16分)已知点A(- 1, 0

11、) , B(0, - 1),倾斜角为 的直线OP与单位圆在第一象限的部分交于点P, PA与y轴交于点N, PB与x轴交于点M.uuu uuuuuiruuauuuimr(2)设 PO xPM(1)设 PN nPA , PM mPB,试用表示 mW n；uuuyPN (x, y R),试用表示 x+y;(3)求x+y的最小值.所以柳S1H *CQS gl f sin * l+cos *1队解：(1)如图1因为F为倾斜角为。的苴线0P与单位照在第一象限内的交点又因为以与y轴交千点M PB与工轴交于点M故由六次，声施将.D,因为尸加 f), 乂(7, 0) f ff(0t又因为和上用+旃=工增+即现由

12、于儿ot时共线，所以，+即=】，即与+尸cos 同理由f网十语一用谕+而 由干出0. N共线,所以mm+尸,sin 81 + sin &8分将乂 U+bg+乂0+鼾，外得(1+侬+通打+皿由内尸=1 +亡3 Q +1 +$访# .从而x+y2 +cos & + sin &1 +cos 岁 + si n 8SSn+771+m5汨(g+十)-T4分当8=彳时，工+尸取得最小值也一一19.（本题满分16分）、, 一2x m , 八 1已知：定义在 R上的函数f（x） x m的极大值为-.x2 22（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式f2（x） （2a 2） f（x） a2 2a 0有且只有一个

13、整数解，求 实数a的取值范围.19.解*11）函数”工）的定义域为R.（工-y（一；方程/一切某-2 = 0的& =小二+80.故方程X?一所工-2 = 0忏两个不相等的实数根（八2）则当J|）U（心,E）时，/（X） 0 ;故/（力在（-8,$）,（公,+8）单调递减.在1“ 2r nt1士. 必设* W 当工（菁,与）时，/&） 0,（玉/J单调递增，4分/ / r J = 1/./（2-（勿一吁2匚2卜由于数/（切=；的极大值为:.2x2 一m _ 1即,x/ + 2 2 ，解得,=2, Jrmff? = 1七一血2 = 07* _ 1（2）由（1）可得，/（工）=与二L,5 x3+2故

14、当 x；时，/（x）0；当 H =又/（x）在（一8,-1卜（2,十8）单调迎 由于2）= / 川）=9 /（3）=f-2）可得1 2 , 6分|/(占人。故实数m的值为1 -7分忖, /(x) = 0；当时. /(x)0 *i减，在(一1,2 聿调递中* 9分STT,/，5 ti J (0 1 - - - J 分口-2 或,/(2)之口-A2)时5一 0).则rco = ; - (x + l)ez + 1 = (x + 1)(；-产)，9 分令双幻二；-。则mf(x)=-爰一 0 m(l) 。满足m(q) = 0* 即k。= 当NE(0.勾)时，m(X) 0. f(x) 0：当(q，+8)时

15、，m(x) 0, fx) 2,设bk为(a1，a2,，ak)的最大项，其中k= l , 2,，n.记数组(bi, b2 ,，bn)为 B.例如，A=(1 , 2, 3)时，B= (1 ,2,3); A= (2,1, 3)时，B = (2, 2, 3).若数组B中的不同元素个数为 2.(1)若n=4,求所有n元有序实数组 A= ( a1, a2,，an)的个数；(2)求所有n元有序实数组A= ( a1, a2,，an)的个数.解：（1）因为数组佃也,也）中的不同元素个数为2，所以叼为1,2,3中的任意一个，即4只能为叫或/或为*当外 ;4时，则（/,%,4）是1,2.3的任意.一个排列，总数有W =6个工一1分当q=4时，剜（q,%,q）是1,2,3的一个排列且/%，故/为（21,4,3）或当口产4时，则是1,2J的一个持列，且% %，故/为（2,143）或（3142）或（工2,4.1） ,曲数有3个2分当q =4时，则（马，的,用）是L2,3的任意一个排列，且q 出，%，故/为（3.124）或（321,4）.总数有2个；3分踪上.有序实数组,Q）的个数为6 + 3 + 2 = 11.4分C2）因为数组估也,也）中的不同元素个数为2，所以4为1,2,.-1中的任意一个.当q =成时,数加+ 1,淖-1在/中必须位于制之后而在加与月之间只能出现L附一1中的某些数.所以