投资收益与风险(三个问题)

1、 /19投资的收益与风险胡彩莲电气学院生医101班摘要：本文通过对市场的风险投资与无风险投资的组合策略进而对投资的收益与风险进行权衡分析，使其达到总收益尽可能大，且总体风险尽可能小的目的。文中通过提出两种假设，建立了两个遵循题目要求的单目标规划模型。在给定投资风险上限的情况下，利用多项式进行数据拟合，并对拟合函数的拐点处进行计算，从而得到最优投资点，进一步找到最优的投资组合方案。在模型求解过程中，运用数学软件MATLAB进行编程调试，对建立的模型进行求解，得出符合实际的结果。最后进行灵敏度分析，对假设的合理性进行判定，使模型更具有说服力，更具有应用前景。模型一：假设市场风险水平不超过假定的数据

2、a,使其收益达到最大。对于题目所建立的多目标要求，进行合理的近似，变成单一线性规划。进行相应的假设后，可以得到：目标函数：Q=：:!-：-j.v.（殆0（1+讯）街=M约束条件.I%乞-应用MATLAB软件编写程序，得到相应的结果，考虑最适合的风险下的最优解。模型二：模型中，既要收益最大，又要风险最小，这是一个多目标的非线性规划问题，考虑到不同投资者对风险、偏好的不同，本文采用加权方法，使模型的多目标非线性规划问题转变为单目标线性规划问题，使模型更具有实用性，在该模型中，在进行相应的符号说明后，得到单目标线性规划：Minf=（1一九）艸（p-r）X+九X工n+l(1+p)X=1,TOC o 1

3、-5 h zi=1iis.tqX-X0,i=1,2,3.n+2、i应用MATLAB软件编写程序，得到相应的结果，达到对不同风险的偏好者都有一个最优解。最后,本文对上述两个模型进行灵敏度分析,对假设进行了合理性检验,并对其进行评价和推广。关键字：线性规划收益风险最优解一.问题重述与提出市场上有n种资产，-(i=l,2,n)供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种n资产进行了评估，估算出在这一时期内购买三的平均收益率为，并预测出购买匸的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的三中最

4、大的一个风险来度量。购买壬要付交易费，费率为丁，并且当购买额不超过给定值:时，交易费按购买:.计算。另外，假定同期银行存款利率是1C-=5%),且既无交易费又无风险。已知n=4时的相关数据如下：叫(元)282.51103211.52198235.54.552252.66.540要求：试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择的购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。二基本假设与符号说明（一）符号说明5:第i种投资项目，如股票，债券；:，分别为三的平均收益率、交易费率、风险损失率；匸的交易定额；：同期银行利率；.：投资项目三的资金；a:投资风险度；Q:总体

5、收益；AQ：总体收益的增量；（二）模型假设1投资数额M相当大，为了便于计算，假设M=l。投资越分散，总的风险越小。3总的风险用投资项目3中最大的一个风险来度量。n种资产5之间是相互独立的。在投资的这一时期内，为定值，不受意外因素影响。净收益和总体风险只受影响，不受其他因素干扰。7将存入银行亦作为一个项目，贝收：.=5%，丁：=-：=0，：=0。8.市场与社会的系统发展在一个时期内是良性的、稳定的。三问题分析与模型建立（一）问题分析：建立模型对投资风险收益问题进行定量安排，就是根据现有的资产评估资料和原始数据，从当前实际的准备投资情况出发，并对待定的投资项目进行合理的评估，提出合理的投资要求和假

6、定，应用科学的方法，预测出该项目资产投资所能获得的收益及出现投资失败的可能性大小，以使投资取得最好的效果。对于本题可进行如下合理的分析：总体风险用所投资的5中最大的一个风险来衡量，即max.v.|i二1,2,.购买5所付交易费是一个分段函数，即交易费IPiuixi乞叫而题目所给的定值工.（单位：元）相对总投资M很小，：.更小，可以忽略不计，这样，购买匸.的净收益为要使净收益尽可能的大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型：目标函数严s殆0（耳一円）街Iminmaxfqr洱（二）模型建立模型1：在实际投资中，投资者承受的风险程度不一样，若给风险一个界限a,使最大的一个风险；.；三兀就可以找到

7、相应的投资方案这样就可以把多目标规划变成一个目标的线性规划，即：固定风险水平，优化收益。可确定如下线性规划条件目标函数：约束条件：具体到n=4的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：fTiunf=(0.05,0.27fD.197D.1850.185)(xQx1x2x3x)rx0+1.0+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1(二)(0.025,0.015,0.055,0.026)(Jtx1x2x3JiQt)1a(三)o,i0,丄,2,3,4iiiiiiiiiiiiiii(卩qj式（一）表示所求最大收益；式（二）表示投资各项目资金与其相应的风险总值为M（M=1）；式（三

8、）表示各投资风险不超过假设的a值（即固定风险水平，使其收益最大）；式（四）表示该公司对所给项目均进行投资；由于a是任意给定的风险度，其具体怎样给并没有一个具体的准则，根据对风险投资的估计，利用MATLAB进行求解模型，对a值取不同的值（05.05）,以步长Aa=0.001进行循环搜索（源程序及计算过程见附录1）,可以得到其相应的最大收益表一风险收益表格风险水平k最大收益00.05001.00000.00000.00000.00000.00000.0010.07560.83350.04000.06670.01820.03850.0020.10120.66700.08000.13330.03640

9、.07690.0030.12690.50050.12000.20000.05450.11540.0040.15250.33400.16000.26670.07270.15380.0050.17810.16750.20000.33330.09090.19230.0060.20370.00100.24000.40000.10910.23080.0070.20820.00000.28000.46670.00000.23730.0080.21190.00000.32000.53000.00000.13060.0090.21560.00000.36000.60000.00000.02400.010.21

10、900.00000.40000.58430.00000.00000.0110.22230.00000.44000.54470.00000.00000.0120.22560.00000.48000.50510.00000.00000.0130.22880.00000.52000.46550.00000.00000.0140.23210.00000.56000.42590.00000.00000.0150.23540.00000.60000.38630.00000.00000.0160.23870.00000.64000.34670.00000.00000.0170.24190.00000.680

11、00.30710.00000.00000.0180.24520.00000.72000.26750.00000.00000.0190.24850.00000.76000.22780.00000.00000.020.25180.00000.80000.18820.00000.00000.0210.25500.00000.84000.14860.00000.00000.0220.25830.00000.88000.10900.00000.00000.0230.26160.00000.92000.06490.00000.00000.0240.26490.00000.96000.02980.00000

12、.00000.0250.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0260.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0270.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0280.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0290.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0300.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0310.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0320.2

13、6730.00000.99010.00000.00000.00000.0330.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0340.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0350.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0360.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0370.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0380.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0390.26730.00000.99

14、010.00000.00000.00000.0400.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0410.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0420.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0430.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0440.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0450.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0460.26730.00000.99010.00000.000

15、00.00000.0470.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0480.26730.00000.99010.00000.00000.00000.0490.26730.00000.99010.00000.00000.0000注：当a二0.025时，收益无变化，表明其之后的风险增加为不必要的风险投资用MATLAB对上述数据进行绘图，得到由图一及计算结果可知：1在一定风险范围内，风险越大，收益也越大2当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即，冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资3当a=0时，表明投资风险为零，即投资者全部存银

16、行，其收益也最小，符合实际经验4图一曲线上的任一点都表示该水平的最大收益和该收益要求的最小风险值，对于不同风险的承受能力，应选择该选择该风险水平下的最优组合5在a=0.006附近有一个转折点，在这一点的左边，风险增加很少时利润增加很快；在这一点的右边，风险增加很大时，利润增加很缓慢。所以对风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约为二y,所对应的投资方案为：表二风险水平a最大收益s斗0.0060.20370.00100.24000.40000.10910.2308经以上分析，该方案与实际相符，故其为可优模型。模型二我的目标是对各种资产投资以后，不仅收益尽可能大，

17、同时总体风险还要尽可能小，由开始分析可知，其是一个多目标非线性数学规划模型，优化求解困难，以下我将它转化为一个线性规划模型：1.目标函数的确定多目标规划有多种方法化为单目标问题解决,考虑实际情况，每个投资者对风险度的偏好不同，所以应当权衡资产风险与预期收益，考虑这种情况，为替公司选择一个令其满意的投资组合，我对风险、收益赋予权重九（:：上乞-）,k称为投资偏好系数。总目标函数：minf=Xf+（1-九）（-f）21九反映了风险投资中投资者的主观因素，九越小表示投资越冒险，当九=0是表示只顾收益不顾风险，这样的人有可能取得最大收益；九=1时表示只顾风险不顾收益，这样的人会将所有的资金存入银行2.

18、风险函数的转化令X二f，那么必有qXX（i=1,2,3n）由于目标函数优化f,从而TOC o 1-5 h zn+22iin+2优化解必可max（qX）达到X使达到，这样得到线性规划模型1iniin+2Minf=（1九）（p-r）X+九Xiiiiin+2工n+】（1+p）X=1，i=1iis.tqX一X0,i=1,2,3n+2i /19应用MATLAB求得结果如下（相应程序见附录二）：表三加权值净收益0.10.00000.99010.00000.00000.00000.26730.20.00000.99010.00000.00000.00000.26730.30.00000.99010.0000

19、0.00000.00000.26730.40.00000.99010.00000.00000.00000.26730.50.00000.99010.00000.00000.00000.26730.60.00000.99010.00000.00000.00000.26730.70.00000.99010.00000.00000.00000.26730.80.00000.36900.61500.00000.00000.21650.90.00000.23760.36900.10800.22840.20141.01.00000.00000.00000.00000.00000.0500应用MATLAB画

20、图工具得到净收益和风险关于权因子的函数如下:应用MATLAB画图软件得到有效投资曲线如下:从表三的结果可知，1.可以得到模型一的最优解组合，模型二的典型最优组合，对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合，对于模型一，假如风险承受水平为0.2，那么取k=0.2时的方案是最优决策。2从图二中的结果可知，净收益高和风险都是九（权因子）的单调下降函数，即说明谨慎程度越强，风险越小，但是收益也越小，具有明确的实际意义。3从图三可知，可以得出更详细的计算结果，我们用九=01内100分点，求得最优投资组合集合及他们形成的有效投资曲线，这条曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求

21、的最小风险，实际上我们发现其有效投资曲线是离散的，其中模型一风险0.0059（即权因子九=0.9）的决策（0.2376，0.3960,0.1080，0.2284,0）和模型二风险0.0995（权因子九=0.3）的决策（0,0,0.1658,0,0,0,0.1463,0,0.1867,0.2487,0,0,0.2163,0,0,0）具有特别重要的意义，因为它们对应在风险增长较慢情形下的最大收益，可认为是一般意义上的最优解。4实用性分析：其结果与M有关，要求M很大。但对于投资商来说，其投资数目会是很大，所以，该模型具有很强的适用价值。四灵敏度分析1.模型一1.1关于M假设的合理性分析在模型简化过程

22、中，默认M相当大，关于M相当大的假设是否合理，在此给出M假设的合理性验证。现根据以上模型一中的模型结果推算最小投资额M，对于每个资产二都满足：:*:,不等式左边是对投资资产的实际购买额，不等式右边是该资产购买额的阈值限制，对该式稍作变形得：M=叫/（叫-叫*叭），其中的最大者就是模型一的最小投资额。经过运算得表如下表四：a(%)0.10.20.30.350.40.450.5M（元）3029.11515.71010.2866.01757.56673.47606.18a(%)0.550.60.70.750.80.91M（元）550.97505.1432.911023.5428.42336.9345

23、.78a(%)1.522.22.5M（元）336.731073.51853.6105.08从表四中所得数据可以看出，问题一中各个项目的最小投资额在不同的总体风险上线下，除去两个最小投资额小于投资阈值外，其余均大于投资阈值，由此得出，对于总投资额M的假设是合理的。关于平均收益率r对投资方案的分析由模型的构建过程可知，平均收益率对投资方案有一定影响，保持其它参数不变，取最优解时的风险值，我对每一个项目的r都进行一定的变化，得到下表:表五：raQ0.010.0060.2019M00.240.40.10910.22120.040.0060.2019M00.240.40.10910.22120.10.0

24、060.2019M00.240.40.10910.22120.150.0060.2019M00.240.40.10910.2212可以看出，r的变化在小范围内对投资方案的影响不大。关于风险损失率q对投资方案的分析保持其它参数不变，我们对每一个项目的q都进行一定的变化，得到下表:表六：q增长aQ/MQ增长-5%0.0060.20339180.73%0.00000.25260.42110.1148-3%0.0060.20277980.43%0.00000.24740.41240.11251%0.0060.2016284-0.14%0.00000.23760.39600.10805%0.0060.1

25、987045-1.59%0.03790.22860.38100.10397%0.0060.1958721-2.99%0.05590.22430.37380.1020可以看出，q的变化对投资方案有一定的影响，并且可以推断，随着q绝对值的增大，对Q影响越大。1.4关于交易费率p对投资方案的分析保持其它参数不变，对每一个项目的P都进行一定的变化，得到下表:表七：p增长aQ/MQ增长-5%0.0060.20365530.87%0.00000.24000.40000.1091-3%0.0060.20295490.52%0.00000.24000.40000.10911%0.0060.2015594-0.

26、17%0.00000.24000.40000.10915%0.0060.2008642-0.52%0.00000.24000.40000.10917%0.0060.2001707-0.86%0.00000.24000.40000.1091可以看出，p的变化对投资方案的净收益是有一定影响的，p的变化愈大,净收益Q变化愈大。2.模型二2.1关于M假设的合理性分析：由于模型二与模型一的模型建立思路基本一致，因此在模型二中我依然默认M相当大，利用M=u/（x-p*x）式对模型二中的模型结果进行推算得到最小投资额,经过运算得表如下：表八a(%)0.51.536101518M（元）671522229411

27、1477048.33343.53036.71857.9a(%)202225303540M（元）1672.21519.91337.651370955.53836从表八中所得数据可以看出，模型二中各个项目的最小投资额在不同的总体风险上线下，最低投资额均大于投资阈值，由此得出，对于总投资额M的假设是合理的。2.2关于平均收益率r对投资方案的分析由模型的构建过程可知，平均收益率对投资方案有一定影响，保持其它参数不变，我们对每一个项目的r都进行一定的变化，得到下表：表九：raQ0.010.080.3229M0.040.080.3229M0.10.080.3229M0.150.080.3229M可以看出，

28、r的变化在小范围内对投资方案的净收益影响不大。关于风险损失率q对投资方案的分析保持其它参数不变，对每一个项目的q都进行一定的变化，得到下表表十：q增长aQ/MQ增长-10%0.080.32851.73%-5%0.080.32550.82%5%0.080.3205-0.74%10%0.080.316-2.13%15%0.080.3119-3.41%可以看出，q的变化对投资方案有一定的影响，并且可以推断，随着q绝对值的增大，对Q影响越大。2.4关于交易费率p对投资方案的分析保持其它参数不变，我们对每一个项目的P都进行一定的变化，得到下表:表十p增长aQ/MQ增长-5%0.080.3251320.6

29、9%-3%0.080.3242380.41%1%0.080.322454-0.14%3%0.080.321564-0.41%5%0.080.320675-0.69%可以看出，p的变化对投资方案的净收益是有一定影响的，p的变化愈大,净收益Q变化愈大。五模型评价与推广5.1模型评价5.1(1)模型优点本文通过将风险函数转化为不等式约束，建立了线性规划模型，直接采用程序进行计算，得出优化决策方案，并且给出了有效投资曲线，根据投资者的主观偏好，选择投资方向。（2）模型一采用线性规划模型，将多目标规划转化为单目标规划，选取了风险上限值来决定收益，根据收益风险图，投资者可根据自己的喜好来选择投资方向。（3

30、）模型二采用线性加权模型求解时，计算过程稳定性好，速度快，对不同的权因子进行比较，得出最优决策方案，并且给出了有效投资曲线，根据投资者的主观偏好，选择投资方向。5.1（2）模型缺点当投资金额小于固定值时，建立的线性规划模型得到的结果可能不是最优解，要根据公司的资金M决策模型的优良。对于不同的金额，得到的结果不具有代表性，我们建立的模型中采用的只是M的一个特列，具有单一性。5.2模型推广此模型是针对总体风险可用所投资的s中最大的一个风险来度量的投资组i合问题的处理方案，而对于通常的投资组合问题，其总体风险并不一定按此度量，其度量方式在专门的书中有所讲述。但对于一般投资者，在某些不太关键的投资中，

31、依然可以采用此模型进行方案的比较和选取。本模型对投资者关于风险的态度有一定的依赖性，因此投资者的风险承受上限在一定程度上决定了最终的方案。模型的应用是在金融市场较稳定的情况下进行的，此时的平均收益率，风险损失率和交易费用变化不是很大，由前面的灵敏度分析可知，在这种情况下模型的决策作用是比较稳定的，有利于投资方案的确定。其次，由于在通常情况下，投资者的投资金额是大于投资阈值的，这一点与模型的建立条件吻合，因此使模型的可用性增强。六参考文献【1】郝孝良，戴永红，周义仓，数学建模竞赛赛题解析与论文点评，西安交通大学出版社，2002.6.【2】赵静，但琦，数学建模与数学实验，高等教育出版社，2008.1.【3】姜启源，谢金星，数学模型（第三版），高等教育出版社，2003.8.【4】海莲，投资收益与风险问题，2008.12. HYPERLINK /view/055acbc24028915f804dc264.html /view/055acbc24028915f804dc264.html【5】程牧刚，陈晓渭，杨剑浩，最优策略下的投资收益风险问题 HYPERLINK /view/e1d3a178168884868762d6c9.html /view/e1d3a178168884