常见随机变量的特征数特点例题讲解

1、常见随机变量的特征数特点例题讲解问该射手在一次射击中平均命中的环数是多少?它是X的可能取值与对应概率乘积之和.引例1：已知某射手在每次射击中命中的环数X 服从分布：从而, 在一次射击中平均命中的环数为:X 0 1 2 10P 解: 假定该射手进行了N次射击,则约有 次命中0环, 次命中1环, , 次命中10环. 因此, N次射击中命中的总环数为: 甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为： X 0 100P 1/4 3/4甲的“期望” 所得是：01/4 +100 3/4 = 75.引例2：分赌本问题。 三局中两胜一负。 因为再赌两局必分胜负，共四种情况： 甲甲、甲乙、

2、乙甲、乙乙定义1 设离散随机变量X的分布列为P(X=xn) = pn, n = 1, 2, .为随机变量X的数学期望，或该分布的数学期望, 简称期望或均值.则称 若若 不收敛,则称X的数学期望不存在.注: (1)数学期望本质上为加权平均, 权就是取值 的概率. (2) 数学期望刻划了随机变量取值的平均位置. (4) 当X取值只有有限多个时, 一定存在.(3) 是一个确定的量(常数), 不受 在级数中的排列次序而改变, 这在数学上就要求级数绝对收敛. 惠更斯是一个有多方面成就的、在当时声名与牛顿相当的大科学家。他的贡献之一是单摆周期公式 。他在概率论的早期发展史上也占有重要地位，其主要著作机遇的

3、规律出版于1657年，出版后得到学术界的高度重视，在欧洲作为概率论的标准教本长达50年之久。 该著作的写作方式不大像一本书，而更像一篇论文。他从关于公平赌博(fair game)的值的一条公理出发，推出关于“期望”（这是他首先引进的术语）的3条定理。 惠更斯的机遇的规律命题1 若某人在赌博中以1/2等概率得a、b元，则其 期望为(a+b)/2元。命题2 若某人在赌博中以1/3等概率得a、b和c元， 则其期望为(a+b+c)/3元。命题3 若某人在赌博中以概率p,q(p+q=1)得a、b 元，则其期望为pa+qb元。这几个命题是期望概念的一般化。 练习: 假设有10只同种电器元件,其中有两只不合

4、格品.装配仪器时,从这批元件中任取一只,如是不合格品,则扔掉重新任取一只;如仍是不合格品,则扔掉再取一只,试求在取到合格品之前,已取出的不合格品只数的数学期望.例1: 设随机变量X具有如下的分布，求E(X).解 虽然有收敛,但发散,因此E(X)不存在.连续随机变量的数学期望定义2 设连续随机变量X 的密度函数为p(x), 若积分绝对收敛，则称该积分为X 的数学期望，记为：解: X的密度函数为例2: 设X 服从区间(a,b)上的均匀分布, 求 .解: 柯西分布的密度函数为例3: 柯西分布的数学期望不存在.由于故 不存在.练习: 某厂推土机发生故障后的维修时间T是一个随机变量,其密度函数为试求平均

5、维修时间. 数学期望的性质定理1 设 Y=g(X) 是随机变量X的函数， 若 E(g(X) 存在，则例4: 设随机变量 X 的概率分布为求 E(X2+2).= (02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4= 1+3/4+6/4 = 13/4解: E(X2+2)X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4例5: 某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X（单位：吨）服从(300,500)上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1.5(千元)；若积压1吨，则公司损失0.5(千元)。问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？解: 设公司组织该货源a吨，又记Y为在a吨货源

6、的条件下的收益额，则收益额Y为需求量X的函数。数学期望的性质(1) E(c) = c(2) E(aX) = aE(X)(3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X)例6：设 X 求下列 X 的函数的数学期望.(1) 2X1, (2) (X 2)2解: (1) E(2X 1) = 1/3, (2) E(X 2)2 = 11/6. 2 随机变量的方差与标准差问题的提出： 我们已经知道,期望反映了随机变量取值的平均位置,在许多问题中,只要知道这个平均值就可以了.但是,期望仅仅反映了随机变量的一个侧面,有一定的局限性,在某些场合,仅仅知道期望是不够的.引例: 甲乙两射手，他们每

7、次射击命中的环数分别用，表示，其分布列为X 10P X 10P 试比较两人技术的高低. 易见,EX=EY=9(环数),即平均命中环数相等.但两人技术水平不一样,因为乙的射击技术比甲稳定些(更集中于平均值的附近). 这说明只依据期望还不能很好地反映出射手的技术.因此,应当引进一个数量指标,用它来衡量随机变量离开它的期望值的偏离程度.想法: (1)偏差的平均值,即X与EX的偏差X-EX的平均值:E(X-EX). 不行.因为偏差有正有负,在总和中出现正负抵消. 由于 ,故乙的射击技术比甲更稳定些,即乙的射击技术优于甲. (2)离差: 不行.虽然能克服正负偏差相互抵消的缺点,但绝对值在数学运算中有许多

8、不便之处. (3)X与EX的离差的平方的平均值:定义1 若 E(XE(X)2 存在，则称偏差平方的数学期望E(XE(X)2 为 X 的方差，记为Var(X)=D(X)= E(XE(X)2 注 意 点(2)称X = (X)=(1) 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度. 或随机变量取值的分散程度. 方差越大, 则随机变量的取值越分散(远离EX); 方差越小,X的取值越集中(密集在EX的附近).为X 的标准差.标准差的量纲与随机变量的量纲相同.(3)Var(x)存在 E(x)存在,反之未必。即 存在 E(x)存在. 例1 设随机变量X概率密度为p(x),求D(X). 解:于是,D(X)=E(X2

9、)=1/6例2 设X 为掷一颗骰子出现的点数,试求Var(X).解: 例3 设随机变量X概率密度为p(x),求D(X). 解:于是,D(X)=E(X2)=1/2 例4 某人有一笔资金，可投入两个项目：房产和商业，其收益都与市场状态有关若把未来市场划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为.2, 0.7, 0.1. 通过调查,该投资者认为投资于房产的收益X(万元)和投资于商业的收益Y(万元)的分布分别为 问:该投资者如何投资为好?解: D(X)=15.4, D(Y)=3.29 (风险)P P X 11 3 -3X 6 4 -1 方差的性质性质1: Var(c)=0. 性质2: Var(aX+b

10、) = a2 Var(X). 性质3: E(X)=0,Var(x)=0 两点分布贝努利试验：试验只有两种结果： 和两点分布:设随机变量X表示进行一次贝努利试验事 件A发生的次数，且 PX=1=p P(X=0)=(1-p), (0p1) 则称X服从两点分布(0-1分布),记为 其中 为参数。两点分布的期望与方差:两点分布的分布列可以写成：X 0 1 P 二项分布其中 0p0）参数。 泊松分布 泊松分布的期望与方差：总结：（）常用离散分布的数学期望 0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np 泊松分布 P() 的数学期望 = 总结：（）常用离散分布的方差 0-1

11、分布的方差 = p(1p) 二项分布 b(n, p)的方差 = np(1p) 泊松分布 P() 的方差= 2008年数学一填空（14）：设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则 =_. 均匀分布定义：设随机变量X的密度函数为记为X U(a, b)则称X服从区间a,b上的均匀分布,均匀分布的期望和方差： E(X)=(a+b)/2; Var(X)=(b-a)2/12. 指数分布则称X服从指数分布，记为 X Exp(),其中 0.定义：若随机变量X的密度函数为指数分布的数学期望和方差：则称X服从正态分布，记为X N(, 2),其中 0， 是任意实数. 是位置参数. 是尺度参数. 正态分布定义：若随机变

12、量X的密度函数为正态分布的数学期望与方差： 设 ，则总结：（）常用连续分布的数学期望 均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 指数分布 Exp() : E(X) = 1/ 正态分布 N(, 2) : E(X) = 总结：（）常用连续分布的方差 均匀分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12 指数分布 Exp() 的方差= 1/2 正态分布 N(, 2) 的方差= 2血液检查中的经济学第二次世界大战期间，必须招募很多人到军队，要检查申请者中某种罕见的疾病需要对每一个人进行血液检查，这无疑是一项巨大的工作。尽管被淘汰的比率很低，但这个检验是决定一个人是否能参军的关键。

13、如何保证“有问题的”会被淘汰掉，同时又减少检验次数呢？混合样本监测的方法现已广泛实践于环境保护研究和其他领域，用于削减实验检测费用。 用X 表示该人群中每个人需要的验血次数，则 X P 3 分布的其它特征数重点：矩、分位数的概念.难点：分位数. k 阶矩 k 阶原点矩：k = E(Xk) ， k = 1, 2, . 注意: 1 = E(X). k 阶中心矩：k = EXE(X)k ， k = 1, 2, . 注意: 2 = Var(X). 定义1： 变异系数定义2 设随机变量X的二阶矩存在， 为 X 的变异系数.作用：则 称CV 是无量纲的量, 用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小. 分位数P( X xp ) = F(xp) = p定义 设 0 p 1，若 xp 满足则称 xp 为此分布的 p - 分位数，亦称 xp 为下侧 p - 分位数.性质(1)当p0.5时,(3)当p=0.5时,(4)当 时, (分布函数的非降性)(5)上侧 p - 分位数若记 xp 为上侧 p - 分位数，即则P(X