《现代数值计算》课件2.6分段低次插值

1、2.6 分段低次插值2.6.1 高次多项式插值的问题2.6.2 分段线性插值2.6.3 分段三次Hermite插值为何要进行分段低次插值引例1、分段插值2、基本方法3 . 分段线性插值函数的余项例2.13综合举例 n 次Lagrange插值多项式的误差： 插值多项式与被插函数的逼近程度同分点的数目和位置有关。一般地，分点越多，逼近程度越好，但也有例外。一、为何要进行分段低次插值2.6.1 高次多项式插值的问题 在5, 5上考察 的Ln(x)。取 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，端点附近抖动越大，称为龙格（Runge）

2、 现象Ln(x) f (x)引例 同时，插值误差除来自截断误差外，还来自初始数据的误差和计算过程中的舍入误差。插值次数越高，计算工作量越大，积累误差也可能越大。 因此，在实际操作过程中，常常用分段低次插值进行计算，即把整个插值区间分成若干个小区间，在每个小区间上进行低次插值。1、分段插值就是将被插值函数逐段多项式化。2、基本方法将每个子段上的插值多项式组合在一起，作为整个区间 上的插值函数。这样构造的插值多项式就是分段插值多项式。划分： 并在每个子段 上构造插值多项式2.6.2 分段线性插值 已知：且定义 (分段线性插值) 称为数据的分段线性插值函数。上为线性多项式在每一个小区间 即当时, （

3、2）满足插值条件：或函数表：满足如果(2.36)其中,当 i=0时, 没有第一式; 当 i=n时,没有第二式. 显然,分段线性插值基函数 li(x)只在xi 的附近不为零, 在其他地方均为零,这种性质称为局部非零性. 几何意义：相邻两节点间的函数为一次线性函数, 图象为线段。 注：由图象可知， 在节点处的光滑性较差，为了提高光滑性，讨论分段三次埃尔米特插值。在整个区间a，b上为折线。分段线性插值就是通过插值节点用折线段连接起来逼近f(x).用分段线性插值逼近上述例子的效果，取 n =10。例2.13已知f(x)在四个节点上的函数值如下表所示 30 45 60 901求f(x)在区间30,90上

4、的分段连续线性插值函数Ih(x)解 将插值区间30,90分成连续的三个小区间30,45 ,45,60 ,60,90, 则Ih(x)在区间30,45上的线性插值为 Ih(x)在区间45,60上的线性插值为 Ih(x)在区间60,90上的线性插值为 将各小区间的线性插值函数连接在一起，得 分段线性插值函数的余项可以通过线性插值多项式的余项来估计.定理2.3 如果记则对任意分段线性插值函数有余项估计 （2.39）证明 根据（2.13），在每个小区间上有3 . 分段线性插值函数的余项 因此，在整个区间 上有该定理也说明分段线性插值函数 具有一致收敛性。该定理也说明，可以加密插值节点，缩小插值区间使h

5、减小，从而减小插值误差缺点：分段插值函数只能保证连续性， 失去了原函数的光滑性。 优点：计算简单； 适用于光滑性要求不高的插值问题。 综合以上的讨论，分段线性插值有以下优、缺点2.6.3. 分段三次Hermite插值分段线性插值函数具有良好的一致收敛性，但它不是光滑的，它在节点处的左右导数不相等。如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，为了克服这个缺陷，一个自然的想法是添加一阶导数的插值条件。因此用Hermite分段插值更好。已知 ，且有 定义 (分段3次Hermite插值) 如果 满足：(1) (2)在每个小区间为3次多项式 ；（3）满足插值条件： 由定理2.4知,当 时，

6、为3次Hermite插值多项称 为 的分段3次Hermite插值函数。 公式： 式。因此有以下形式： 由上节代入即得下式：分段三次Hermite插值函数的余项可以通过前面三次Hermite插值多项式的余项来估计。 定理2.4 （1）设，且已知的函数及导数表 （2） 为 上 的分段3次Hermite插值函数，则有误差估计：其中（对 一致收敛）且存在k使 定理2.13 证明: 令记，则 且有极值的求法即于是，且有。（一致收敛） # 优点：分段线性插值与分段3次Hermite插值函数在每个小区缺点：1、分段线性插值光滑性差；间上都收敛于函数 。2、分段3次Hermite插值能保证插值多项式图象的光滑性，但节点的导数值不大容易提取, 实际应用困难。综合举例X -2 -1 0 1 2 3 -5 1 1 1 7 25X y 2.4 0.00252.5 -0.0484 -0.05092.6 -0.0968 -0.0484 0.002