第25课时图形的相似1

1、第25课时 图形的相似 中考考标解读考点1 比例线段1.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比 等于 另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段.2. 比例的基本性质：若，那么 ad bc .3. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段 成比例 .4. 黄金分割：点C在线段AB上，若AC2ABBC，点C为AB的 黄金分割点 .此时， .考点2 相似三角形1. 性质：（1）相似三角形的对应角 相等 ，对应边 成比例 .（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 相似比 .（3）相似三角形的周长比等于 相似比 ，面积比等于 相似比的平方 .2

2、. 判定：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似.考点3 位似 1.定义：对应点的连线相交于一点的两个 相似 多边形叫位似图形，这点叫作 位似中心 ，这时相似比又称为位似比. 2.性质： （1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于 位似比 ； （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或k .重点题型归类重点1 相似三角形的判定 例1 （2014邵阳）如图1，在ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BPDF，且与A

3、D相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形： ABPAED或BEFCDF或BEFAED或CDFAED 图1解析： BPDE，ABPAEDBECD，BEFCDFBFAD，BEFAEDCDFAED 答案不唯一可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断,要注意抓住图形中的两种基本相似三角形图形即所谓的“A型”和“X型”。需注意的是本题为开放型题目，答案不唯一，要注意认真审题明确要求从图中找出一组相似的三角形即可.重点2 相似三角形的性质 例2 （2014湖南永州）如图2，D是ABC的边AC上的一点，连接BD，已知ABD=C，AB=6，AD=4，求线段CD的长图2解

4、析： 在ABD和ACB中，ABD=C，A=A，ABDACB，AB=6，AD=4，AC=9，则CD=ACAD=94=5 本题考查了相似三角形的判定与性质，需熟练掌握两角对应相等，两三角形相似的判定方法。然后再利用相似三角形的性质求线段的长度 。重点3 位似 例4（2014广西玉林）ABC与ABC是位似图形，且ABC与ABC的位似比是1：2，已知ABC的面积是3，则ABC的面积是（）A3 B6 C9 D12解析 利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案解：ABC与ABC是位似图形，且ABC与ABC的位似比是1：2，ABC的面积是3，ABC与ABC的面积比为：1：4，则ABC的面积是：12

5、故选：D本题主要考查了位似图形的性质，解体关键是利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出。重点4 相似三角形的应用 例3（2012北京）如图3，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= 5.5 5.5m图3解析 利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB解： DEF=BCD=90D=DDEFDCB,DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，A

6、C=1.5m，CD=8m，,BC=4，AB=AC+BC=1.5+4=5.5米，故答案为5.5本题考查了相似三角形的判定、性质与应用，解题的关键时从实际问题中整理出相似三角形的模型，找准对应边的比。课堂过关检测一、选择题1（2012凉山州）已知 ，则 的值是（D）A B C D【解析】设a=13k，b=5k，再把a，b的值代入即可求出答案也可以用特殊值法解选择题令a=13，b=5，=；故选D2（2009上海)如图4，已知，那么下列结论正确的是（ D ）A BCD【解析】ABCDEF，本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案故选：D图43. （2014湖北宜昌）如图5，A，B

7、两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离有关他这次探究活动的描述错误的是（D）图5AB=24m BMNABCCMNCAB DCM：MA=1：2解：M、N分别是AC，BC的中点，MNAB，MN=AB，AB=2MN=212=24m，CMNCAB，M是AC的中点，CM=MA，CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项4(2014天津)如图6，在ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（D）A3：2B3：1C1：1D1：2图6【解析】根据题意得出DEFB

8、CF，进而得出，利用点E是边AD的中点得出答案ABCD，故ADBC，DEFBCF，点E是边AD的中点，AE=DE=AD，=故选D图7（2014毕节）如图7，ABC中，AE交BC于点D，C=E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（ )A. B C D【解析】根据已知条件得出ADCBDE，然后依据对应边成比例即可求得C=E，ADC=BDE，ADCBDE，又AD：DE=3：5，AE=8，AD=3，DE=5，BD=4，DC=，故应选A6（2012遵义）如图8，在ABC中，EFBC， ，S四边形BCFE=8，则SABC=（）A9B10C12D13图8图1【解析】，=，EFBC，AEF

9、ABC，9SAEF=SABC，S四边形BCFE=8，9（SABC-8）=SABC，解得：SABC=9故选A7（2012潍坊）如图9，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（B）ABCD2图9【解析】AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，四边形EFDC与矩形ABCD相似，解得x1=，x2=（负值舍去），经检验x1=是原方程的解故选B8（2014武汉）如图10，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则

10、端点C的坐标为（ A ）A（3，3） B（4，3） C（3，1） D（4，1）图10【解析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，端点C的坐标为（3，3）故选A二、填空题9.（2012青海）如图11，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 12 12m图11【解析】EBAC，DCAC，EBDC，ABEACD，BE=1.5，AB=2，BC=14，AC=16，CD=12故答案为：1210已知ABCABC，

11、相似比为3：4，ABC的周长为6，则ABC的周长为 8 8【解析】ABCABC，ABC的周长：ABC的周长=3：4，ABC的周长为6，ABC的周长=6=8故答案为：811.（2014滨州）如图12，平行于BC的直线DE把ABC分成的两部分面积相等，则AD：AB= 图12【解析】DEBC，ADEABCSADE=S四边形BCDE，=，故答案为：12.（2012庆阳）如图13，DAB=CAE，请补充一个条件： 使ABCADE【解析】DAB=CAEDAE=BAC当D=B或AED=C或AD：AB=AE：AC或ADAC=ABAE时两三角形相似图1313(2014牡丹江)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如

12、图14所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为2.3m图14【解析】如图，过N点作NDPQ于D，又AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8，QD=1.5，PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）答：木竿PQ的长度为2.3米14（2014莱芜）如图15，在ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DEAC，若SBDE：SCDE=1：4，则SBDE：SACD= 图15【解析】SBDE：SCDE=1：4，设BDE的面积为a，则CDE的面积为4a，BDE和CDE的点D到BC的距离相

13、等，=，=，DEAC，DBEABC，SDBE：SABC=1：25，SACD=25aa4a=20a，SBDE：SACD=a：20a=1：20三、解答题15.已知：如图16，E是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于F试证明：ABAD=AEBF图16证明：四边形ABCD是矩形，BAD=D=901+2=90BFAE，AFB=1+3=902=3又D=AFB=90，ADEBFA，ABAD=AEBF16.如图17，将一副三角板按如图所示叠放（1）求证：AOBCOD；（2）求AOB与COD的面积比图17（1）证明：ABBC，CDBC，ABCD，AOBCOD；（2）解：在RtABC中，A=45，则AB=BC；

14、RtABC中，D=30，则CD=BC；CD=AB；由（1）的相似三角形知： 。17. （2014黑龙江绥化）已知：如图18，ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）（1）画出ABC向下平移4个单位长度得到的A1B1C1，点C1的坐标是（2，2）；（2）以点B为位似中心，在网格内画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0）；（3）A2B2C2的面积是10平方单位图18解：（1）如图所示：C1（2，2）；故答案为：（2，2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案

15、为：（1，0）；（3）A2C22=20，B2C22=20，A2B22=40，A2B2C2是等腰直角三角形，A2B2C2的面积是：20=10平方单位故答案为：1018（2014武汉）如图19，RtABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接PQ（1）若BPQ与ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQCP，求t的值。图19解：（1）当BPQBAC时，=，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，=，t=1；当BP

16、QBCA时，=，=，t=，t=1或时，BPQ与ABC相似；（2）如图所示，过P作PMBC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=84t，NAC+NCA=90，PCM+NCA=90，NAC=PCM且ACQ=PMC=90，ACQCMP，=，=，解得：t=；19（ 2014广西玉林）如图20，在O中，AB为直径，OCAB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E（1）求证：1=2图20（2）已知：OF：OB=1：3，O的半径为3，求AG的长（1）证明：连结OD，如图，DE为O的切线，ODDE，ODE=90，即2+ODC=90，OC=OD，C

17、=ODC，2+C=90，而OCOB，C+3=90，2=3，1=3，1=2；（2）解：OF：OB=1：3，O的半径为3，OF=1，1=2，EF=ED，在RtODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，OD2+DE2=OE2，32+t2=（t+1）2，解得t=4，DE=4，OE=5，AG为O的切线，AGAE，GAE=90，而OED=GEA，RtEODRtEGA，=，即=，AG=620. 如图21，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（- 4，），且在x轴上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y轴上确定一点M，使MA+MC的值最小，求出点M的坐标；（

18、3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点N，使得以N、A、B三点为顶点的三角形与ABC相似？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由. 图21备用图解：（1）抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线.抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6， A(-1 , 0 )，B( -7 , 0 ) . 设抛物线解析式为，.解得，. 二次函数的解析式为 . （2）作点A关于轴的对称点，可得 （1.0）.连接C交轴于一点即点M，此时MC + MA的值最小.由作法可知，MA = M. MC + MA = MC + M=C. 当点M在线段C上时，MA + MC取得最小值. 线段C与轴的交点即为所求点M. 设直线C的解析式为(k0)， . 直线C的解析式为. 点M的坐标为( 0，).（3）由（1）可知，C(4，)，设对称轴交x轴于点D，AD = 3. 在RtADC中，. CAD = 30o，AC = BC，ABC = C