人教版导与练总复习数学一轮教学课时作业：第二章第8节　函数与方程

1、第8节函数与方程知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练函数零点(个数)及所在区间1,2,3,1015利用函数零点个数确定参数的取值(范围)5,8,911,1317函数零点的综合问题4,6,712,1416,181.函数y=x-4(12)x的零点所在的区间是(B)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:y=x-4(12)x=x-(12)x-2为R上的连续单调递增函数,且f(1)=1-20,所以f(1)f(2)0,0,x=0,-1,x0时,方程x2sgn x=2x-1可转化为x2=2x-1,化简得(x-1)2=0,解得x=1;当x=0时,方程x2sgn x=2x-1可转化

2、为0=-1,无解;当x0时,方程x2sgn x=2x-1可转化为-x2=2x-1,化简得x2+2x-1=0,解得x=-1+2(舍去)或x=-1-2.综上,方程x2sgn x=2x-1的解是1或-1-2.故选C.4.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-1,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则(D)A.abcB.bacC.cabD.acb解析:令f(x)=2x+x=0,解得x0,令g(x)=x-1=0,解得x=1,由h(x)=log3x+x在(0,+)上单调递增,得h(13)=-1+130,因此h(x)的零点x0(13,1),则bca.故选D.5.函数f(x)=3x-1,x

3、1,2x2-ax,x1有两个不同的零点,则实数a的取值范围是(C)A.(-,2B.(-,2)C.2,+)D.(2,+)解析:由题意得,当x1时,函数有一个零点x=13;当x1时,令2x2-ax=0,得x=a2,要使函数有两个不同的零点,则只需a21,解得a2.故选C.6.(多选题)(2021河北石家庄高三质量检测)记函数f(x)=x+ln x的零点为x0,则关于x0的结论正确的为(BC)A.0 x012 B.12x01C.e-x0-x0=0D.e-x0+x0=0解析:由于函数f(x)=x+ln x在(0,+)上单调递增,且f(12)=12-ln 20,所以12x00,故A,D选项错误,B,C选

4、项正确.故选BC.7.已知函数f(x)=lgx,x1,-lg(2-x),x1,g(x)=x3,则方程f(x)=g(x-1)的所有根的和等于(C)A.1B.2C.3D.4解析:作出函数f(x)=lgx,x1,-lg(2-x),x0,a-10,解得a1,故实数a的取值范围是(1,+).答案:(1,+)9.已知函数f(x)=2|x|,x1,x2-3x+3,x1,若关于x的方程f(x)=2a(aR)恰有两个不同的实根,则实数a的取值范围为.解析:作出函数f(x)的图象如图所示,因为关于x的方程f(x)=2a恰有两个不同实根,所以y=2a与函数y=f(x)的图象恰有两个交点,结合图象,得2a2或341或

5、380(aR)在R上没有零点,则a的取值范围是(B)A.(0,+)B.(1,+)0C.(-,0D.(-,1解析:假设函数f(x)=2x-a,x0,-3x-a,x0(aR),存在零点,则当x0时,由y=2x-a有零点,则a=2x(x0),即00时,由y=-3x-a有零点可知a0(aR)存在零点的条件是a1,且a0.因此当函数f(x)=2x-a,x0,-3x-a,x0(aR)在R上没有零点时,a(1,+)0.故选B.12.若直角坐标平面内A,B两点满足:点A,B都在函数f(x)的图象上;点A,B关于原点对称,则点对(A,B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”.点对(A,B)与(B,A)可看作是同一个

6、“姊妹点对”,已知函数f(x)=x2+2x(x0),2ex(x0),则f(x)的“姊妹点对”有(C)A.0个B.1个C.2个D.3个解析:根据题意,“姊妹点对”满足两点:都在函数图象上,且关于坐标原点对称.因此“姊妹点对”的个数即为函数y=x2+2x(x0)的图象关于原点对称的图象与函数y=2ex(x0)的图象交点的个数,当x=1时,02e1,作出满足题意的图象如图所示,观察图象可得它们有2个交点.故选C.13.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=4对称,且当4x时,f(x)=sin x,则当函数g(x)=f(x)-a在-2,有零点时,关于其零点之和,下列阐述正确的是(BC

7、D)A.零点之和可以为4B.零点之和可以为2C.零点之和可以为34D.零点之和可以为解析:由题意知,函数f(x)的图象关于直线x=4对称,又因为当4x时,f(x)=sin x,所以作出函数的图象如图所示,函数g(x)=f(x)-a在-2,内有零点,即函数y=f(x)的图象与函数y=a的图象在-2,内有交点,结合图象可知,当0a22或a=1时,有两个零点,零点之和为2;当a=22时,有三个零点,零点之和为34;当22a1时,有四个零点,零点之和为.故选BCD.14.已知函数f(x)=-x,x0,-3x2+6x,x0,若关于x的方程f(x)=k(kR)恰有三个互不相同的实根x1,x2,x3,则x1

8、x2x3的取值范围为 .解析:函数f(x)=-x,x0,-3x2+6x,x0的图象如图所示.由图可得x1=-k,x2x3=13k,故x1x2x3=-13k2,k(0,3),所以x1x2x3(-3,0).答案:(-3,0)15.(2021北京高三期末)已知函数f(x)=2x,x0,-x,x0,则函数y=f(x)-2|x|的零点个数是(C)A.0B.1C.2D.3解析:令f(x)-2|x|=0,得f(x)=2|x|,则函数y=f(x)-2|x|的零点个数等价于函数f(x)的图象与函数y=2|x|的图象的交点个数.因为y=2|x|=2x,x0,(12) x,x0B.若N(a,b)=3,则ab+1ab

9、2C.若N(a,b)=4,则2a2-3ab+b20D.若N(a,b)=5,则a2+b0解析:函数f(x)=(x2-a2)(x-b)(|x|-2a+b),由f(x)=0,可得x2-a2=0或x-b=0或|x|-2a+b=0,所以x=a或x=b或|x|=2a-b,因为ab0,所以x=a是函数f(x)的两个不同零点.N(a,b)=2等价于没有另外的零点了,为此只要2a-b2a),且b=a即可,可取b=1,a=-1,则a+b2=0而不是大于0,故A错误.N(a,b)=3等价于另外还有一个不同的零点,为此只要2a-b2a),且ba即可,取满足这些条件的一组数a=-1,b=4,则ab0,ab+1ab0,|

10、x|=2a-b产生两个不同的零点2a-b和-2a+b,则b=a或b=-a.若b=a,则2a-b=b=a,-2a+b=-a,零点只有两个,不符合题意;若b=-a,则2a-b=3a,-2a+b=-3a,零点为3a,-3a,a,-a,共4个,符合题意,则2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b)=6a20,故C正确.若N(a,b)=5,则f(x)有五个零点2a-b,-2a+b,b,a,-a,则ba,且2a-b0,2a-ba,即ba,2ab,3ab,可取a=-1,b=-4,则a2+b恰有两个零点,则实数的取值范围为.解析:当x时,令x2-2x-3=0,得x=-1或x=3;当x时,令ln(x-1)=0

11、,得x=2,若f(x)的两个零点是-1和3,则-1,3,2,解得3,若f(x)的两个零点是-1和2,则-1,3,2,解得-1,3,2,此不等式组无解.综上所述,的取值范围为-10)在-1,1上有零点,且a+b+c=1,则mina,b,c的最大值是;maxa,b,c的最小值是.解析:设a,b,c0,ac,若b=mina,b,c,则c2b24ac4c2,矛盾;若c=mina,b,c,则b24ac4c2,则b2c,于是1=a+b+c4c,解得c14,此时取f(x)=14(x2+2x+1),此时函数零点为x=-1,满足条件,故mina,b,c的最大值为14.由题意b2-4ac0,若a=maxa,b,c(c同理可得),则b24ac4bc,则b4c,ab4c,则1=a+b+c4c+4c+c=9c,则c19,所以a+b=1-c89,所以a49,则maxa,b,c的最小值是49;若b=maxa,b,c,假设b49,则4acb21681