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文档简介

1、3.2 幂级数(一) 幂级数定义(二) 幂级数收敛的判别法 重要概念：收敛圆、收敛半径(三) 收敛幂级数的性质(一) 幂级数定义通项是幂函数的函数项级数。以z0为中心的幂级数：其正项级数为：以z0为中心的幂级数：(二) 幂级数收敛的判别法1.正项级数的比值判别法(达朗贝尔判别法)如果则(3.2.2收敛) 引入R, 收敛圆，收敛半径以Z0为圆心，R为半径画圆周 ， 则有在圆内 以Z0为圆心，R为半径画圆周 ， 则在圆外因此，圆 叫收敛圆，R叫收敛半径。对应圆周上的点，幂级数或收敛或发散。以Z0为圆心，R为半径画圆周 ， 其中R 与幂级数的收敛有关因此，圆 叫收敛圆，R叫收敛半径。对应圆周上的点，

2、幂级数或收敛或发散。2.正项级数的根值判别法收敛半径R的另一公式(三) 收敛幂级数的性质 性质1：幂级数(3.2.1)在收敛圆内不仅绝对且一致收敛CR1R1Z0根据上一节最后的内容：对于上式右边的级数：可以证明其收敛，因为：收敛，则复变项级数在区域B (或曲线 l )上绝对且一致收敛。如果对于某个区域B (或某根曲线 l )所有的点z，复变项级数(3.1.6)的各项的模 而正的常数项级数可得幂级数(3.2.1)在收敛圆内不仅绝对且一致收敛。例一 求幂级数 的收敛圆，t 为复变数。解：下面举例说明：幂级数在收敛圆内不仅绝对且一致收敛收敛圆是以t=0为圆心，以1为半径的圆。因为在收敛圆内部，即即，在收敛圆内部，级数是收敛的，且收敛于基本公式：例二，求幂级数的收敛圆，z为复变数。解： 性质2：幂级数(3.2.1)在收敛圆内部可以表示为连续函数的回路积分、可以逐项求导任意多次为了应用柯西公式，将(3.2.1)中的z改为柯西公式:取收敛圆内的任一内点z，用有界函数遍乘上式为了应用柯西公式，将(3.2.1)中的z改为 这就是说，幂级数(3.2.1)可以表示为连续函数的回路积分。 这就是说，幂级数(

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