5.1多元函数的基本概念课件

1、第五章 多元函数的微分学5.1 多元函数的基本概念5.2 多元函数的偏导数5.3 多元函数的全微分5.4 多元复合函数及隐函数求导法则5.5 多元函数的极值5.6 多元函数微分法在经济上的应用5.1 多元函数的基本概念邻域:设P0(x0，y0)是xOy平面上的一个点，d 是某一正数与点P0(x0，y0)距离小于d 的点P(x，y)的全体，称为点P0(x0，y0)的邻域，记为U(P0，d )或U(P0)，即U(P0，d )P | |P P0|0(无界开区域)；Ox yx+y=0二多元函数概念定义域的求法例4:解:对应关系的求法例5:解:二元函数的几何意义二重极限的定义： 设函数f (x，y)在开

2、区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点如果对于任意给定的正数 总存在正数d ，使得对于适合不等式的一切点P ( x，y ) D ，都有 |f (x，y) A | 成立，则称常数A为函数f (x，y)当x x0，y y0时的极限，记为或f( x，y )A (r0) ，这里r |P P0|三多元函数的极限xyzOx0 y0M0P0APPPPx2y2，则当时，总有 必须注意： (1) 二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无限接近于A。 (2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在例当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0

3、)时函数的极限为零，当点P(x，y)沿直线y=k x 趋于点(0，0)时xyzOP0 解则称函数f (x，y)在点P0(x0，y0)连续二元函数连续性定义： 设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0) D 如果 函数f (x，y)在区域(开区域或闭区域)D 内连续： 是指函数 f (x，y)在D内每一点连续此时称f (x，y)是D 内的连续函数 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f (P )上去四多元函数的连续性若函数f(x，y)在点P0(x0，y0)不连续，则P0 称为函数f (x，y)的间断点 注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点函数的间断点： f(

4、x，y)例点(0，0)是f(x，y)的间断点；x2y21上的点是其间断点xyzOP0 多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数，多元连续函数的复合函数也是连续函数性质1 (最大值和最小值定理)： 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值性质2 (介值定理)： 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次结论： 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的多元初等函数： 是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的 例如sin(x+y)是由sin u 与u=x+y 复合而成的，它是多元初等函数 如果f(P)是初等函数，且P0是f(P)的定义域的内点，则用函数的连续性求极限：D(x，y)| x 0，y 0，点(1，2)是D的内点，函数f(x，y)在(1，2)是连续的，所以它的定义域为解例7 解 例8 思 考 题思考题解答不能.例取但是 不存在.原因为若取五、小 结一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元初等函数的