近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)5

1、第五章扩域1扩域、素域1.证明:F(S)的一切添加S的有限子集于F所得的子域的并集是一个域.证一切添加S的有限子集于F所得的子域的并集为若a,b则一定有aF(,)1,2nbF(,，)易知abF(,1,2m12n12m但F(,，,)从而ba12n12m若a,b,且b0贝IbF(,)12m从而有abiF(,，,)12n12m2单扩域1.令E是域F的一个扩域，而aF证明a是F上的一个代数元，并且F(a)F证因aa0故a是F上的代数元.其次，因aF，故F(a)F易见F(a)F，从而F(a)F那么，对中任一f(x)有f(x)p(x)q(x)r(x)1这里r(x)0或r(x)的次数但f(a)p(a)q(a

2、)R(x)1因f(a)0,p(a)0所以r(a)01若r(x)0则与px是a的极小多项式矛盾.1故有f(x)p(x)q(x)因而(p(x)11(3)因p(a)=0故p(x)P(x)p(x)因二者均不可约，所以有p(x)ap(x)1i又p(x),p(x)的最高系数皆为1那么a11这样就是p(x)P(x)14.证明：定理3中的f(a)K证设fK,，则在定理3的证明中，KK之下有.nnB1fanxanxa但ax,aa故必faaa11nnnlnl0这就是说kF()因而F(a)K3代数扩域1.令E是域F的一个代数扩域，而是E上的一个代数元，证明是E上的一个代数元证因为是F上的代数元所以eeen01n又因

3、为E是F的代数扩域，从而F(e,e,e)是F的代数01n扩域，再有是F(e,e,e)上的代数元，故F(e,e,e)()01n01nF(e,e,e,e)的有限扩域，由本节定理1,知01n1nF(e,e,e,e,)01n1n是F的有限扩域，因而是F的代数扩域，从而a是F上的一个代数元.令F,E和L是三个域，并且FE，假定(I:F)m而E的元在F上的次数是n,并且(m,n)1证明在I上的次数也是1证设(I():Ir因为I()IF由本节定理1(I(a):F)rm另一方面，因为(F():F)(I():F仍由本节定理！即有nrm但由题设知(m,n)1故nr又在I上的次数是r，因而其在I上的极小多项式的次数

4、是1在I上的次数是n，因而其在F上的极小多项式的次数是n由于在上的极小多项式能整除在F上的极小多项式所以rn因而rn.令域！的特征不是2,E是F的扩域，并且(E:F)4证明存在一个满足条件FIE的E的二次扩域F的充分与必要条是：(E:F)4，而在F上的极小多项式是x4ax2b证充分性：由于在F上的极小多项式为x4ax2b故a2F及aF2(2)因而(F(a2):F)1由本节定理1知：所以(F(a2):F)2这就是说，F(a)是一个满足条件的的二次扩域必要性：由于存在I满足条件FIE且为F的二次扩域即(1:F)2因此可得(E:1)2我们容易证明，当F的特征不是2时，且则而！在！上的极小多项式是！同

5、样EI(a)而在x2f上的极小多项式是这样2f,fF,2i,iI那么i2f22fff21122所以4i2f.令F是有理数域，x3是F上一个不可约多项式，而a是x3a的一个根，证明F(a)不是x3a在F上的分裂域.2fff22f22fff221122令a2f1bf2f2f112同时可知a,b均属于F4a2b0由此容易得到EF(a04.令E是域F的一个有限扩域，那么总存在E的有限个元,使EF(,)12m12m证因为E是F的一个有限扩域,那么把E看成F上是向量空间时,则有一个基,，显然这时12nEF(，)12m5.令F是有理数域，看添加复数于F所得扩域EF(2：,2：i)E2F(23,23wj)11

6、2证明(F(23)2,(E:F)61证易知！在！上的极小多项式是！即(F(23):F3同样23上的极小多项式是x423x22231即(EF(23)42;由此可得(E:F)6,(F:F)12124多项式的分裂域1.证明：有理数域F上多项式x4l的分裂域是一个单扩域F(a)其中a是x4l的一个根证x41的4个根为2认22八：2山2v2i：2a,a,a,a-022122222322又aa打aa叫aa123所以F(a,a,a,a)F(a)123x2Xl的根若F(a)是x3a的在H上的分裂域那么a,aF(a)这样，就是FF()F(a)由3。3定理！有但2(F():F)(F(a)F)此为不可能.3.令p(

7、x),P(x),p(x)是域F上m个最高系数为1的不可约多项式,TOC o 1-5 h z12m证明存在F的一个有限扩域F(a,a,-,a，其中a在F上的极小多12m)i项式是p(x)i证令f(x)p(x),P(x),p(x)由本节定理2f(a)在F上的分12m裂域E存在，根据4.3定理3,知E是F上的有限扩域，取pi(x)的根a则有iFF(a,a,a)E12m因E是F的有限扩域，故F(a,a,a也是F的有限扩域，显然12mp(x)！1是a在F上的极小多项式.i.令p是一个特征为素数p的域，Fp(a)是p的一个单扩域，而a是px的多项式xpa的一个根，p(a)是不是xpa在F上的分裂域？证因是

8、xpa的根故apa0即ap由于P的特征为素数！所以xpaxp因此p()是xpa在P上的分裂域5有限域1.令F是一个含pn个元的有限域，证明，对于n是每一个因数m，存在并且只存在F的一个有pm个元的子域L证因为m是n的因数，所以(pnl)(pml)那么xpm1是xpnx的因式，但xpmx在F中完全分裂，所以xpmx在F中也完全分裂，那么F中含有xpmx的pm个根，由这pm个根作成一个子域L.又因为xpmx在F中的分裂域只有一个，所以F中有pm个元的子L只有一个.2.个有限域一定有比它大的代数扩域.证设F是有q个元的有限域看F上的f(x)xqx1因为对F的任一元a,f(a)1因此，f(x)在F上没

9、有一次因式.这样，f(x)在F上有一个一次数的不可约因式p(x).作p(x)分裂域E则EF而EF且E是F的代数扩域.令F是一个有限域，是它所含素域，且是否必须F是的非零元所作成的乘群的一个生成元？证我们的回答是未必.令是3元素域f(x)x9x在上的分裂域为F，若令f(x)的因式！的根为i，贝IF由0,1,I,i,1i,Ii,Ii,所组成，i41!故i不是F非零元所作成的乘群的生成元.但F(x)。4令是特征为2的素域.(x)!找出的一切三次不可约多项式.证容易证明x3x21及x3x1是(x)的一切三次不可约多项式.6可离扩域1.令域F的特征是p,f(x)是F上一个不可约多项式，并且f(x)可以写

10、成F上xpe，但不能写成xpe的多项式(e1),证明，f(x)的每一个根的重复度都是pe证由于f(x)可以写成F上xp的多项式，而不是xpe的多项式，我们以f(x)g(xpe)g(y)表示因为f(x)在F上不可约，所以g(y)也不可约.假定g(y)的次数是m，首系数是1，在它的分裂域中，分裂为1次因式yi的乘g(y)m(y)因此f(x)(xpe)口若是xp，的根，则那么xpexpeep(x)peii所以f(x)有m个互异个根,，并且它们都是pe重根.1,m2.设域F没有不可离扩域，证明F的任一代数扩域都没有不可离扩域.证设E是F的一个代数扩域，是E的一个不可离元，那么便是E上一个有重根是不可约

11、多项式p(x)的根.根据题设是F上是可离元，令p(x)是起极小多项式，则1p(x)无重根.那么p(x)p(x)，因p(x)无重根，故p(x)亦无重根，111这与是E的不可离元的假设矛盾.3.令域F的特征是p而EF(,)，这里a是上次可离元而是F上P次非可离元，(E:F)?证由本节引理4,是F上的非可离元，否则可以推出是F上的可离元，这与是F上非可离元矛盾，由于是F上P次非可离元，由本节引理1,!在p在F上的极小多项式是f(x)xpa我们易知p是使p在F上为可离元的最小正整数，那么!在F(a)上也一定是p次非可离元.这样f(x)xpaF(,):F(a)故有(F(,):F(a)F(,):F(a)p

12、n4.找一个域F，使F有一个有限域E而不是E的单扩域.证取域F其特征是并设x,y是F的无关无关未定元.00令FF(x,y)0EF(xp1,yp1)易知都是f上不可约的单位元所以E是F的一个有限扩域，并且(E:F)p2我们说，E不是F的单扩域：若EF()，则为xp,yq的有理式，从而为x,y的有理式，故的次数，因此在E上次数p与(E:F)p2矛盾.2.令F是有理数域.复数i和空昱1在F上的极小多项式各是什么？2i1i1F(i)与F(232)是否同构？12i1证易知复数i在F上的极小多项式为x2I,15i1在F上的极小多项式为x2x一2i12因F(/)F(221)故这两个域是同构的.13.详细证明，定理3中a在域F上