高考真题——理科数学广东卷含解析

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学理科)一.选择题：本大题共8个小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1,若集合 M =x|(x+4)(x+1) = 0 , N =x|(x- 4)(x- 1)= 0,贝U M I N =A.B.1, 4C.0D. 1,4L解析】因为= ,x I1 x- 41 x-l-11 =1 t ； = 12 ;y 4li 工一11 0； = ： L 4； ?所以【考点定位】本题考查一元二次方程、集合的基本运算，属于容易题.2.若复数z i 3 2i(i是虚数单位)，则zA. 3 2i【答案】D .B. 3 2i

2、C. 2 3iD. 2 3i【解析】因为z i 3 2i2 3i ,所以z 2 3 ,故选D .【考点定位】本题考查复数的基本运算，属于容易题.3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是x1A. y x eB. y x x【答案】A.C.2x2xD. y 1 x2【解析】令f xx 一x e ,则 f 11 e, f 1f 1 ,所以y x ex既不是奇函数也不是偶函数,而BCD依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题.4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取 2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概

3、率为A. 111B.2110C.21D.212_ 1 _ 1_【解析】从袋中任取 2个球共有C15 105种，其中恰好1个白球1个红球共有G0c5 50种,所以恰好1个白球1个红球的概率为 处=，故选B.105 21【考点定位】本题考查排列组合、古典概率的计算，属于容易题.5.平行于直线2x y 1 0且与圆x2 y22x y V5 0 或 2x y 遥 0C. 2x y 5 0或2x y 5 0【答案】D .5相切的直线的方程是2x y V5 0 或 2x y 75 0D. 2x y 5 0 或 2x y 5 0【解析】设所求知线方程为2工十1+t二ci,依题有解得仁二小，所以所求切线的直线

4、方程为工里一1一5二0或上,一工-5=0,故选【考点定位】本题考查直线与圆的位置关系，属于容易题.4x 5y 86.若变量x ,y满足约束条件则z 3x 2y的最小值为31A. 一5【答案】C .B. 6C.235D. 4【解析】不等式所表示的可行域如下图所示,23z,4 r-x 经过A 1,时，z取225由z 3x 2y得y -X三，依题当目标函数直线l：y22 ，一4 23 一得最小值即Zmin 3 1 2 4 23 ,故选C【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题.7.已知双曲线C :2 y_ b21的离心率e55,且其右焦点F2 5,0 ,则双曲线C的方程4A.B.

5、16 HYPERLINK l bookmark94 o Current Document 2222x y /x y /C. 1 D. 1 HYPERLINK l bookmark76 o Current Document 91634【答案】B .【解析】因为所求双曲线的右焦点为c 5F2 5,0且离心率为e ,所以ca 422b2 c2 a2 9所以所求双曲线方程为 169【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题.若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数 n的取值D.至多等于3A.大于5B.等于5C.至多等于4【答案】C .【解析】正四面体的四个顶点是两两距离相等的

6、，即空间中注个不局的点两两距离都相等，则正整酸的取值至多等于人 下面用反证法：假退空间中有4个，故选C1.【考点定位】本题考查空间想象能力、推理能力，属于中高档题.第II卷（共110分）二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（913题）.在（Jx 1）4的展开式中，x的系数为【答案】6.【解析】由题可知Tr 1一 4 rC； ,x1 rC；4 r1 r X 21解得r 2,所以展2开式中x的系数为C216,故应填入6.【考点定位】本题考查二项式定理，属于容易题.在等差数列 a中，若a3 a4 a5 a6 a7 25,则a? a8=【答案】10.【解析】

7、 因为 an 是等差数列，所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 ,a3a4a5a6 a75a525 即 %5,a2a82a510,故应填入 10.【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题. 、一 一一 .1.-1/ 九 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark98 o Current Document .设 ABC的内角A, B, C的对边分别为a , b, c,若a V3, SinB C -, 26则b 【答案】1.【解析】因为兑nS二士且三口.，所以3 =匚或* = ,又匚=二，所以区 26666* tra bbA = 7T-B-C =

8、 t又也=/，由正弦定理得，一=；-即解得故应填入L 2sin sin B笈【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题.12、某高三毕业班有 40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言.（用数字作答）【答案】1560.【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了 A20 40 39 1560条毕业留言，故应填入1560.【考点定位】本题考查排列组合问题，属于中档题.13、已知随机变量服从二项分布n, p ,若 30, D 20,则p TOC o 1-5 h z -1【答案】1 . 3L 、，“If、，11【解析】

9、依题可得 E X np 30且D X np 1 p 20,解得p -，故应填入一 .33【考点定位】本题考查二项分布的性质，属于容易题.（二）选做题（1415题，考生从中选做一题）一. _. 兀、 /_.一 一14.（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的极坐标方程为2 Sin（ -） 22，点A的极坐4标为A 2亚1,则点A到直线l的距离为，4【答案】5.2【解析】依题已知直线l ： 2 sin J2和点A 242 7 可化为l ： x y 1 0和41422 15J2A 2, 2 ,所以点A与直线l的距离为d -,故应填入.12122【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的

10、距离，属于容易题.15.（几何证明选讲选作题）如图 1,已知AB是圆。的直径，AB 4, EC是圆。的切线, 切点为C ,BC 1,过圆心。做BC的平行线，分别交 EC和AC于点D和点P ,则OD E图1【答案】8.【解析】如下图所示，建接。e,因为。d sc,又淳c_ac,所以op_ac,反。为u2线度的中点，所以。= L 在HhOC。中.OC=-AS = 2f由直第三条形的射手定理可得 , OCZ =OP ODOD =- = S* 8* i 1产、一 一用 I e = 3一一*e令加i = 1 -哂7,则g (?i)=1一1 .由知，*口得网0.由却(加:Y。得叫上0 ,函觑的机1在i-菱

11、曲上单调建城，在上单调喋醇/. (涧)31bl /(。)即g(加)0在R上恒成立 ”苫叫士m1，.二左一1 二 11 - s?i f 二 11- 门工一附 | = tl - m f ；金二 1 - J?! ?M e.二院后T.【考点定位】本题考查导数与函数单调性、零点、不等式等知识，属于中高档题.20.(本小题满分14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2 + y2-6x + 5 = 0相交于不同的两点 A, B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k ,使得直线L: y = k(x - 4)与曲线C只有一个交点：若存在，求出k的取值范围；若不存

12、在，说明理由2、5 2,5333【答案】(1) 3,0 ; (2) x(3) TOC o 1-5 h z 22_22【解析】(1)由x2 y2 6x 5 0得x 3 y 4,圆Ci的圆心坐标为3,0 ;设M x, y，则点M为弦AB中点即C1M AB ,kc1M kAB 1 即一1x 3 x线段AB的中点M的轨迹的方程为(3)由(2)知点M的轨迹是以c|，。为圆心3为半径的部分圆弧2EF(如下图所示,不包括两端点)“Eg2.553,2.5过定点D 4,0 ,2.52:57一4、0结合上图可知当 kU O 4 4C数列an满足a1 2a2/ n 2 nan 4 -27TL： y k x 4与曲线

13、C只有一个交点./【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜吊/检才形结合思想等应用, 属于中高档题.21 .(本小题满分14分)(1)求a3的值;(2)求数列an前n项和Tn ；令b1年1/1-an n 2 ,证明：数列 bn的刖n项和 n满足 Sn2 2ln n【答案】(1)1； (2) 24n 111; (3)见解析.2【解析】(1)体题孙=I % - 2电-3%IT牝-：牝=4(2)体题当1时.1 1 *1,又/=i也适合此式,敖列匕是首项为1,公比为上的等比数列,1故 r.=-1-1(3)依题由bnaa?Lan 1d1,1a1.11Lan知。a1，d1a2,2n22-p-?4=1一二：面-e%=1一二工L 7J7 L /n .1记 fx I = tu x- - -1 l l.则，Tx 1 = L = J 0 !.tx 厂 r/(Nl在iL-工上是噌函敬，又由。即/工aQ，又启三二三：日