控制系统的频域综合分析

1、控制系统的频域综合分析零、极点分布如图5-24所示。两系统的频率特性分别为 图5-24 (a)和(b)系统零极点分布图对数频率特性分别为 （a）和（b）系统的对数幅频特性相同，而相频特性不同，且 。如图5-25所示。 图5-25 (a)和(b)系统对数频率特性表5-1 最小相位系统幅频、相频对应关系环 节幅 频相 频-20dB/dec-20dB/dec0dB/dec-20dB/dec0dB/dec-40dB/dec0dB/dec20dB/dec0dB/decn(-20)dB/dec0dB/decm(+20)dB/dec返回 本节介绍另一种重要且实用的方法乃奎斯特(Nyquist)稳定判据，是由

2、H. Nyquist于1932年提出的 。 这一判据是利用开环系统幅相频率特性（乃氏图），来判断闭环系统的稳定性。 Nyquist稳定判据的理论基础是复变函数理论中的幅角定理，也称映射定理。 乃奎斯特稳定判据 设系统结构图如图5-21所示，系统的开环传递函数为 (5-21)N(s)和M(s)分别为s的n阶和m阶多项式。闭环传递函数为 (5-22)特征多项式函数 (5-23)5.4.1 映射定理 式（5-23）中，s为复变量，以s复平面上的s=+j来表示。F (s)为复变函数，以F (s)复平面上的F (s)= u+j v表示。点映射关系，如图5-26所示。s平面与F(s)平面的曲线映射关系，如

3、图5-27所示。 图5-26 点映射关系图5-27 s平面与F(s)平面的映射关系 如果在s平面上任取一条封闭曲线Cs，且要求Cs曲线满足下列条件: (1)曲线Cs不通过F (s)的奇点（即F (s)的零点和极点）； (2)曲线Cs包围F (s)的Z个零点和P个极点。 s平面上的封闭曲线Cs如图5-28所示。复变函数F (s)，当s1 （封闭曲线Cs上任一点 ）沿闭合曲线Cs顺时针转动一圈时，其矢量总的相角增量 (5-24) 式中，P和Z分别是被封闭曲线Cs包围的特征方程函数F (s)的极点数和零点数。式（5-24）表明，当s平面上的试验点s1沿封闭曲线Cs顺时针方向绕行一圈时，F（s）平面上

4、对应的封闭曲线将按逆时针方向包围坐标原（P-Z）圈。如图5-28所示。 令 N=P-Z (5-25) 式中，NF (s)平面上封闭曲线 包围原点的次数；式(5-25)也可写成 Z=P-N (5-26) 图5-28 映射关系 为将映射定理与控制系统稳定性分析联系起来，适当选择s平面的封闭曲线Cs。如图5-29所示，它是由整个虚轴和半径为的右半圆组成，试验点按顺时针方向移动一圈，该封闭曲线称为Nyquist轨迹。 Nyquist轨迹在F(s)平面上的映射也是一条封闭曲线，称为Nyquist曲线。 图5-29 s平面上的Nyquist轨迹5.4.2 Nyquist轨迹及其映射 Nyquist轨迹Cs

5、由两部分组成，一部分沿虚轴由下而上移动，试验点s=j在整个虚轴上的移动，在F 平面上的映射就是曲线F(j) (由-+)，如图5-30所示。 F(j)=1+G(j)H(j) （5-27） Nyquist轨迹Cs的另一部分为s平面上半径为的右半圆，映射到F 平面上为 F ()=1+G ()H () 根据映射定理可得，s平面上的Nyquist轨迹在F平面上的映射F(j)，(从-+)图5-30 F 平面上的Nyquist曲线 逆时针包围坐标原点的次数N为 N=P-Z （5-28） 式中，Z位于右半平面F (s)=1+G (s) H (s)的零点数，即闭环右极点个数； P位于右半平面F(s) =1+ G

6、 (s) H (s)的极点数，即开环右极点个数； NNyquist曲线包围坐标原点的次数。 闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面。即 Z=0 或 N=P。 Nyquist稳定判据一 当系统的开环传递函数G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上无极点时，Nyquist稳定判据可表示为：当从-+变化时的Nyquist曲线G(j)H(j)，逆时针包围(-1，j0)点的次数N，等于系统G(s)H(s)位于右半s平面的极点数P，即N=P，则闭环系统稳定,否则(NP)闭环系统不稳定。 由Nyquist曲线G(j)H(j) (从0+)判别闭环系统稳定性的Nyquist判据为G(j)H(j)曲

7、线(：0+)逆时针包围(-1，j0)的次数为 。 图5-31 例5-6的极坐标图例5-6 已知单位反馈系统，开环极点均在s平面的左半平面，开环频率特性极坐标图如图5-31所示，试判断闭环系统的稳定性。 解 系统开环稳定，即P=0，从图中看到由-+变化时，G(j) H(j)曲线不包围(-1，j0)点，即N=0，Z=P-N=0，所以，闭环系统是稳定的。例5-7 单位反馈系统，其开环传递函数为 试判断闭环系统的稳定性。 解 系统开环频率特性为 作出=0+变化时G(j)H(j)曲线如图5-32所示，镜像对称得：-0变化时G(j)H(j) 如图5-32虚线所示。 系统开环不稳定，有一个位于s平面的右极点

8、，即P=1。 图5-32 例5-7的极坐标图 从G(j)H(j)曲线看出，当K1时，Nyquist曲线逆时针包围(-1，j0)点一圈，即N=1，Z=N-P=0则闭环系统是稳定的。 当K1时，Nyquist曲线不包围(-1，j0)点，N=0，Z=N-P=1则闭环系统不稳定，闭环系统有一个右极点。 Nyquist稳定判据二 设系统开环传递函数为 （5-29） 式中 开环传递函数中位于原点的极点个数。Nyquist轨迹的修正如图5-33所示，它由四部分组成：1. 以原点为圆心,以无限大为半径的大半圆； 2. 由-j到j0-的负虚轴；图5-33 绕过原点的Nyquist轨迹3. 由j0+沿正虚轴到+j

9、；4. 以原点圆心，以 ( 0)为半径的从j0-到j0+的小半圆。 考虑s平面上有位于坐标原点的个极点，Nyquist曲线稳定判据为： 当系统的开环传递函数有个极点位于s平面坐标原点时，如果增补开环频率特性曲线G(j)H(j)（从-+）逆时针包围（-1，j0）点的次数 N 等于系统开环右极点个数 P，则闭环系统稳定,否则系统不稳定。例5-8 系统开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。解 系统的频率特性为 作出=0+变化时G(j)H(j)的曲线如图5-34所示，根据镜像对称得=-0-变化时G(j)H(j)的曲线，如图5-34所示，从=0-到=0+以无限大为半径顺时针转过，得封闭曲线(或辅助圆)，

10、如图5-34所示。 图5-34 例5-8的极坐标曲线 从图5-34看出：当由-+变化时，当 时，G(j)H(j) (从-+)曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，即N=-2，而开环系统稳定，即P=0，所以闭环系统右 极点个数 Z=P-N=2闭环系统不稳定，有两个闭环右极点。 当 时，G(j)H(j) (从-+)曲线不包围（-1，j0）点，闭环系统稳定。当 时，G(j)H(j) (从-+)曲线穿越( -1，j0 )点，系统处于临界状态 。临界放大倍数 应用Nyquist稳定判据判别闭环系统的稳定性，就是看开环频率特性曲线对负实轴上(-1, -)区段的穿越情况。穿越伴随着相角增加故称之为正穿越，记作

11、N+，穿越伴随着相角减小，称为负穿越，记作N-，如图5-35所示。 由此，Nyquist判据可描述为： 当由-+变化时，系统开环频率特性曲线在负实轴上(-1，-)区段的正穿越次数N+与负穿越次数N-之差等于开环系统右极点个数P时，则闭环系统稳定。 N+-N-=P （5-30） 图5-35 频率特性曲线 Nyquist对数稳定判据 对数幅相频率特性的稳定判据，实际上是Nyquist稳定判据的另一种形式，即利用开环系统的对数频率特性曲线（Bode图）来判别闭环系统的稳定性，而Bode图又可通过实验获得，因此在工程上获得了广泛的应用。 Nyquist图与Bode图的对应关系，如图5-36所示。 采用

12、对数频率特性曲线（Bode图）时，Nyquist稳定判据可表述为: 当由0+变化时，在开环对数幅频特性曲线L()0的频段内，相频特性曲线对-180线的正穿越与负穿越次数之差为（P为s平面右半平面开环极点数），则闭环系统稳定。图5-36 Nyquist图和Bode图的对应关系例5-9 系统开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。 解 作出系统的开环极坐标图如图5-37(a)所示， 辅助圆如图中虚线所示。系统的对数频率特性曲线（Bode图)如图5-37(b)所示，极坐标图中的辅助圆，幅值为无穷大，相角由 对应于图5-37(b)中虚线。 由图5-37可知，N+-N-=-1，开环系统稳定P=0，故闭环系

13、统不稳定，闭环系统右极点个数Z=2(P-N)=2。且从图中可以看出，不论K如何变化，开环频率特性上的穿越次数却不变化，系统总是不稳定的，表明系统为结构不稳定系统。图5-37 例5-9的开环频率特性返回主要内容 控制系统的相对稳定性 增益裕度 相角裕量 用幅相频率特性曲线分析系统稳定性 5. 5 控制系统的相对稳定性 控制系统的相对稳定性 从Nyquist稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右半平面的极点且闭环系统是稳定的，则开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越远，则闭环系统的稳定程度越高开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越近，则其闭环系统的稳定程度越低，这就是通常所说的

14、相对稳定性通过乃氏曲线对点(-1,j0)的靠近程度来度量其定量表示为相角裕量和增益裕度Kg 5.5.2 增益裕度意义：增益裕度用于表示G(j)H(j)曲线在负实轴上相对于(-1,j0)点的靠近程度定义：G(j)H(j)曲线与负实轴交于G点时，G点的频率g称为相位穿越频率，此时g处的相角为-180，幅值为|G(jg)H(jg)|，开环频率特性幅值|G(jg)H(jg)|的倒数称为增益裕度(或幅值裕度)，用Kg表示 。见下图（a）（a） 最小相位系统的Nyquist图（b） 对数频率特性表示： 式中g满足下式G (jg) H(jg)= -180 增益裕度用分贝数来表示: Kg=-20lg|G(jg

15、)H(jg)|dB 见上图（b）应用： 对于最小相位系统 当|G(jg)H(jg)|1或20lg |G(jg)H(jg)|1或20lg| G(jg)H(jg)|0时，闭环系统不稳定 当|G(jg)H(jg)|=1或20lg |G(jg)H(jg)|=0时，系统处于临界状态 对于开环系统不稳定，那么为使闭环系统稳定，G(j)H(j)曲线应包围(-1,j0)点，此时 Kg=-20lg |G(jg)H(jg)|1时，随着M值的增大，等M圆半径愈来愈小，最后收敛于（-1,j0）点，且这些圆均在M=1直线的左侧 当M1时，随着M值的减小，M圆半径也愈来愈小，最后收敛于原点，而且这些圆都在M=1直线的右侧

16、 当M=1时，它是通过（-1/2，0j） 点平行于虚轴的一条直线。等M圆既对称于M=1的直线，又对称于实轴5.6.3 等N圆（等相角轨迹）定义：闭环频率特性的相角m为：令整理得：当给定N值(等N值)时，上式为圆的方程，圆心在 处，半径为 , 称为等N圆，见下图 等N圆实际上是等相角正切的圆，当相角增加180时，其正切相同，因而在同一个圆上所有等N圆均通过原点和（-1,j0）点对于等N圆，并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧等N圆5.6.4 利用等M圆和等N圆求单位反馈系统的 闭环频率特性意义：有了等M圆和等N圆图，就可由开环频率特性求单位反馈系统的闭环幅频特性和相频特性将开环频率特性的极坐标图G

17、(j)叠加在等 M圆线上，如图 (a)所示。G(j)曲线与等M圆相交于1，2，3.（a）等M圆（b）等N圆在=1 处，G(j)曲线与的等M圆相交表明在1频率下，闭环系统的幅值为M(1依此类推从图上还可看出，M=2的等M圆正好与G(j)曲线相切，切点处的M值最大，即为闭环系统的谐振峰值Mr，而切点处的频率即为谐振频率r 。此外，G(j)曲线与的等M圆交点处的频率为闭环系统的截止频率b ，0b 称为闭环系统的频带宽度将开环频率特性的极坐标图G(j)叠加在等 N圆线上，如图 (b)所示。G(j)曲线与等N圆相交于1，2，3.如=1处，G (j)曲线与-10的等N圆相交，表明在这个频率处，闭环系统的相

18、角为-10，依此类推得闭环相频特性5.6.5 非单位反馈系统的闭环频率特性思路：上面介绍的等M圆和等N圆求取闭环频率特性的方法，适用于单位反馈系统。对于一般的反馈系统，如下图 (a)所示，则可等效成如下图 (b)所示的结构图，其中单位反馈部分的闭环频率特性 可按上述方法求取，再与频率特性1/H(j)相乘，便可得到总的闭环频率特性反馈控制系统返回主要内容 闭环频域性能指标与时域性能指标的 关系 开环频率特性与时域响应的关系 5.7 用频率特性分析系统品质5.7.1 闭环频域性能指标与时域性能指标 的关系对于二阶系统，其频域性能指标和时域性能指标之间有着严格的数学关系 二阶系统的闭环传递函数为系统

19、的闭环频率特性为系统的闭环幅频特性为系统的闭环相频特性为谐振峰值Mr和时域超调量Mp之间的关系二阶系统的超调量Mp 谐振峰值Mr 由此可看出，谐振峰值Mr仅与阻尼比有关，超调量Mp也仅取决于阻尼比 越小，Mr增加的越快，这时超调量Mp也很大，超过40%，一般这样的系统不符和瞬态响应指标的要求当0.4 时，Mr与Mp的变化趋势基本一致，此时谐振峰值，超调量Mp=20% 30%，系统响应结果较满意当 时，无谐振峰值，Mr与Mp的对应关系不再存在，通常设计时， 取在至之间谐振频率r 与峰值时间tp的关系tp与 r之积为由此可看出，当 为常数时，谐振频率 r与峰值时间 tp成反比， r值愈大， tp愈

20、小，表示系统时间响应愈快闭环截止频率b 与过渡过程时间ts的关系 b与 ts之积为由此可看出，当阻尼比 给定后，闭环截止频率 b与过渡过程时间 ts成反比关系。换言之， b愈大（频带宽度0 - b愈宽），系统的响应速度愈快。5.7.2 开环频率特性与时域响应的关系开环频率特性与时域响应的关系通常分为三个频段加以分析，下面介绍“三频段”的概念低频段低频段通常指 的渐近线在第一个转折频率以前的频段，这一段特性完全由积分环节和开环放大倍数决定低频段对数幅频特性 低频段的斜率愈小，位置愈高，对应系统积分环节的数目愈多（系统型号愈高）、开环放大倍数K愈大，则在闭环系统稳定的条件下，其稳态误差愈小，动态响

21、应的跟踪精度愈高中频段中频段是指开环对数幅频特性曲线在开环截止频率c附近（0分贝附近）的区段，这段特性集中反映闭环系统动态响应的平稳性和快速性时域响应的动态特性主要取决于中频段的形状反映中频段形状的三个参数为：开环截止频率c、中频段的斜率、中频段的宽度。为了使系统稳定，且有足够的稳定裕度，一般希望开环对数幅频特性斜率为-20dB/dec的线段上，且中频段要有足够的宽度；或位于开环对数幅频特性斜率为 40dB/dec的线段上，且中频段较窄高频段高频段指开环对数幅频特性在中频段以后的频段，高频段的形状主要影响时域响应的起始段 在分析时，将高频段做近似处理，即把多个小惯性环节等效为一个小惯性环节去代

22、替，等效小惯性环节的时间常数等于被代替的多个小惯性环节的时间常数之和系统开环对数幅频特性在高频段的幅值，直接反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。高频部分的幅值愈低，系统的抗干扰能力愈强总结 为了使系统满足一定的稳态和动态要求，对开环对数幅频特性的形状有如下要求：低频段要有一定的高度和斜率；中频段的斜率最好为 20dB/dec，且具有足够的宽度；高频段采用迅速衰减的特性，以抑制不必要的高频干扰返回主要内容 Bode图 Nyquist图 Nichols图 5.8 MATLAB频域特性分析5.8.1 Bode图调用格式 mag,phase,=bode(num,dne,) 式中G(s)=num/den,频率自动选择范围从到=1000rad/sec 若人为选择频率范围,可应用logspace函数调用格式：=logspace(a,b,n)采用自动频率范围,上述MATLAB命令可简化为bode(num,den)5.8.2 Nyquist图调用格式 re,im,=nyquist(num,den,) 式中G(s)=num/den；用户提供