九年级数学(下)册导学案直角三角形边角关系(北师大版)权顺花(1)

1、1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时） 学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.3、激情投入、全力以赴，通过合作学习，享受成功的快乐，感受数学的应用价值。学习重点:理解正切、坡度的意义和与现实生活的联系学习难点:正切、坡度的灵活运用【预习案】预习要求：1请同学们阅读教材2页6的内容，并完成教材6页的随堂练习和习题1.1；2预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的随堂练习和习题；3.数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组

2、的预习情况向老师汇报。预习反馈 明确目标：生活中的数学问题:1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？小结： 自学反馈：1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 2、在ABC中，C=90，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.小结： 【探究案】探究点一：直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）RtAB1C1和RtAB2C2有什么关系?有什么关系？ 如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?由此你得出什么结论?小结： 探究点二：坡度的倾

3、斜程度坡度【例1】教材4页【例2】如图,在菱形ABCD中,AEBC于E,EC=1,tanB=, 求菱形的边长和四边形AECD的周长.小结： 【巩固练习】：课本P6页 随堂练习：小结： 【达标测试 巩固提高】： 1、如图，ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为，则tan_.5、如图，RtABC是一防

4、洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 小结： 课后合作学习1、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tan=,现有一小球从坡底A处以20cm/s 的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?2、合作探究: 、a克糖水中有b克糖(ab0),则糖的质量与糖水质量的比为_; 若再添加c克糖(c0),则糖的质量与糖水的质量的比为_.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: _. 、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课

5、本中的结论:tanA的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_. 、如图,在RtABC中,B=90,AB=a,BC=b(ab),延长BA、BC,使AE=CD=c, 直线CA、DE交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式小结： 【课堂小结】：1、知识方面：2、能力方面：1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义，运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.2.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.理解锐角三角函数

6、的意义.激情投入、全力以赴，通过合作学习，享受成功的快乐，感受数学的应用价值。学习重点:理解正弦和余弦的意义，运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比学习难点:能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.理解锐角三角函数的意义.【预习案】预习要求：1请同学们阅读教材7页9的内容，并完成教材9页的随堂练习和习题1.2；2预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的随堂练习和习题；3.数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。预习反馈 明确目标：1、如图，在RtABC中，B=90，AC200.sinA0.6，求BC的长.2、：如图，在RtABC中，C=

7、90，cosA，AC10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.小结： 【探究案】探究一：正弦、余弦及三角函数的定义想一想：如图(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?(2) 有什么关系? 呢?(3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?请讨论后回答.小结： 探究二：由图讨论梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：小结： 探究三：书8页例2及做一做小结： 【巩固练习】：课本P9页 随堂练习及习题1.2：小结： 【达标测试 巩固提高】：

8、 1、在等腰三角形ABC中，AB=AC5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.2、在ABC中，C90，sinA，BC=20，求ABC的周长和面积.3、在ABC中.C=90，若tanA=，则sinA= .4、已知：如图，CD是RtABC的斜边AB上的高，求证：BC2ABBD.(用正弦、余弦函数的定义证明)小结： 课后合作学习：1、某人沿倾斜角为的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m A. B.100sin C. D. 100cos2、如图,分别求,的正弦,余弦,和正切.3、在ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:CD,sinC.4、在RtABC中,BC

9、A=90,CD是中线,BC=8,CD=5.求sinACD,cosACD和tanACD.5、在RtABC中,C=90,sinA和cosB有什么关系?6、如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,ADB=90,cosABD=.求：sABD：sBCD小结： 【课堂小结】：1、知识方面：2、能力方面：1.2 30、45、60角的三角函数值(第三课时) 学习目标:1.经历探索30、45、60角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30、45、60角的三角函数值的计算，能够根据30、45、60的三角函数值说明相应的锐角的大小.3.激情投入、全力以赴，通过合作学习

10、，享受成功的快乐，感受数学的应用价值。学习重点:探索30、45、60角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，体会三角函数的意义.学习难点:30、45、60角的三角函数值的计算，能够根据30、45、60的三角函数值说明相应的锐角的大小.【预习案】预习要求：1请同学们阅读教材1014页的内容，并完成教材1314页的随堂练习习题1.3；2预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的随堂练习和习题；3.数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。预习反馈 明确目标：一、问题引入问题为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：含30和60两个锐角的三角尺；皮尺.请

11、你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.二、1:计算：(1)sin30+cos45； (2)sin260+cos260-tan45.2:一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)小结： 【探究案】探究一：由一副三角板探索30、45、60角的三角函数值 问题 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?问题 2、sin30等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.问题 3、cos30等于多少?tan30呢?问题 4、我们求出了30角的三个三角函数值，还

12、有两个特殊角45、60，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?结论：三角函数角度sincotan304560小结： 探究二：特殊角三角函数应用书11页例1及例2小结： 【巩固练习】：课本P12页 随堂练习小结： 【达标测试 巩固提高】： 1、RtABC中，则；2、在ABC中，若,，则，面积S ；3、在ABC中，AC：BC1：，AB6，B，ACBC4、等腰三角形底边与底边上的高的比是，则顶角为 （）（A）600 （B）900（C）1200（D）15005、有一个角是的直角三角形，斜边为，则斜边上的高为 （）（A） （B） （C） （D）6、在中，若，则tanA等于（ ） （A） （B） （

13、C） （D）7、如果a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（ ） （A） （B） （C） （D）18、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ） （A）450a元 （B）225a元 （C）150a元 （D）300a元9、计算：、 、 、 、 tan60 小结： 课后合作学习:(1):；(2):(+1)-1+2sin30- (3):(1+)0-1-sin301+()-1； (4)sin60+ (5)2-3-(+)0-cos60-.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30.高为7 m，扶梯的长度是多少?3如

14、图为住宅区内的两幢楼，它们的高ABCD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m，1.41，1.73)4、请设计一种方案计算tan15的值。小结： 【课堂小结】：1、知识方面：2、能力方面：1.3三角函数的有关计算（第四课时） 学习目标:1 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。2使学生了解方位角、视角的命名特点，能准确把握所指的方位角视角是指哪一个角。3激情投入、全力以赴，通过合作学习，享受成功的快乐，感受数学的应用

15、价值。学习重点:理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。学习难点:了解方位角、视角的命名特点，能准确把握所指的方位角视角是指哪一个角。【预习案】预习要求：1请同学们阅读教材1522页的内容，并完成教材17页的2、3题,18页4题，21页2题；2预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的随堂练习和习题；3.数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。预习反馈 明确目标：直角三角形中五个元素的关系（一）1在一个普通的三角形中共有六个元素：三个角和三个边。在RtABC中，C=90。那么它的的另五个元素

16、a、b、c、A、B之间存在哪些关系？两锐角间关系： 三边之间关系： 边角之间关系： A ，cosA = tan =类似的，你还能写出哪些？ （二）1在一次飞机演习中，一飞机B发现其前方地面上有一目标A，并用雷达测得其距离为5000米，且发现其俯角为22，求飞机的飞行高度。（sin22=0.37,cos22=0.93,tan22=0.40）2求图中避雷针CD的长度。（结果精确到0.01米）（tan50=1.192 tan56=1.483 ）3如图，有一工件上有一V形槽，测得其上口宽10mm，深19.2mm，求V形角（ACB）的大小。（精确到1）(tan27.5=0.5208)【探究案】探究一：

17、小结： 小结： 探究一：探究方位角、视角能准确把握所指的方位角视角是指哪一个角。，2将两种视角（仰角或俯角）填入下图中 3阅读教材14到15 ，18到19页的用计算器求三角函数值和已知道三角函数值求角度的方法。小结： 探究二：三角函数应用书20页例1及例2小结： 【巩固练习】：课本P17页 2、3、4题小结： 【达标测试 巩固提高】：1在ABC中，C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。 2RtABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_，tanB=_3在ABC中，C=90，AC=6，BC=8，那么sinA=_4在ABC中，C=90，sinA=，则cosA的值是（ ） A B

18、 C5、书21页2题小结： 课后合作学习:1(1)一段坡面的坡角为60，则坡度i=_2热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋离楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高?3同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求斜坡AB的坡面角，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)4利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为11.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：横断面(

19、等腰梯形)ABCD的面积；修一条长为100米的渠道要挖去的土方数小结： 【课堂小结】：1、知识方面：2、能力方面：1.4 船有触礁的危险吗（第五课时） 学习目标:1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.3.激情投入、全力以赴，通过合作学习，享受成功的快乐，感受数学的应用价值。学习重点:三角函数在解决问题过程中的应用学习难点: 三角函数在解决问题过程中的应用.【预习案】预习要求：1请同学们阅读教材2326页的内容，并完成教材2425页的随堂练习及习题1.6；2

20、预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的随堂练习和习题；3.数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。预习反馈 明确目标：1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40夹角，且DB5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD6m，坡长CD8m.坡底BC30m，ADC=135. (1)求ABC的大小： (2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)3如图，某货船以20海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时

21、的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：1.4， 1.7)小结： 【探究案】探究点一：三角函数应用1、海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.小结： 2

22、、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)小结： 3、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40减至35，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)小结： 【巩固练习】：课本P24页 1、2题小结： 【达标测试 巩固提高】：1. 有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为2米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.2.如图,太阳光线与地面成60角,一棵大树倾斜后与地面成36角, 这时测得大树在地面上的影长约为1

23、0米,求大树的长(精确到0.1米).3.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且QPN=30,点A处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为40,测得条幅底端E的俯角为26,求甲、乙两建筑物的水平距离BC的长(精确到0.1米).小结： 课后合作学习:1.如图,小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为ADC=60,点B的仰角为BDC=45;

24、在E处测得A的仰角为E=30,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).2.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60的方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30 的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.3.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为

25、60,树的底部B点的俯角为30, 如图所示,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内?4.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30,试判断: 计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.5.如图,两条带子,带子的宽度为2cm,带子b的宽度为1cm,它们相交成角,如果重叠部分的面积为4cm2,求的度数.小结： 【课堂小结】：1、知识方面：2、能力方面：1.5

26、 测量物体的高度（第六课时） 学习目标:1.经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程。2.能够对所得的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的 结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.3.能够将实际问题转化为数学模型，提高分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识。4.激情投入、全力以赴，通过合作学习，享受成功的快乐，感受数学的应用价值.学习重点: 设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.学习难点: 综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.【预习案】预习要求：1请同学们阅读教材2729页的内容；准备好实验所需要的工具.2预习过程

27、中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的随堂练习和习题；3.数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。预习反馈 明确目标：课前预习测量旗杆的几种方法，并画出草图，写出已知条件，并写出求解的过程小结： 【探究案】探究一：测量旗杆的几种方法，并会写活动报告1.下表是小明同学填写活动报告的部分内容:课题在两岸近似平行的河段上测量河宽测量目标图示测得数据CAD=60,AB=30m,CBD=45,BDC=90请你根据以上的条件,计算出河宽CD(结果保留根号)2.下面是活动报告的一部分, 请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分.课题测量旗杆高测量示意图测得数据测

28、量项目第一次第二次平均值BD的长24.19m23.97m测倾器的高CD=1.23mCD=1.19m倾斜角a=3115a=3045a=31计算旗杆高AB(精确到0.1m)3.学习完本节内容后, 某校九年级数学老师布置一道利用测倾器测量学校旗杆高度的活动课题,下表是小明同学填写的活动报告,请你根据有关测量数据, 求旗杆高AB(计算过程填在下表计算栏内,用计算器计算).活动报告课题利用测倾器测量学校旗杆的高测量示意图测量数据BD的长BD=20.00m测倾器的高CD=1.21m倾斜角=28计算旗杆高AB的计算过程(精确到0.1m)小结： 探究二：用字母表示已知条件来求旗杆高度的表示法书2729页活动一

29、、活动二、议一议小结： 【达标测试 巩固提高】：1.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需要测出河的宽度AB, 在河边一座高度为300米的山顶观测点D处测得点A,点B的俯角分别为=30,=60, 求河的宽度(精确到0.1米)2.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度, 学校数学应用实践小组做了如下的探索: 实践一:根据自然科学中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图(1)的测量方案:把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E处,然后沿着直线BE 后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.6米,请你计算 树AB的高度(精确到0.1米)

30、实践二:提供选用的测量工具有:皮尺一根;教学用三角板一副;长为2. 5米的标杆一根;高度为1.5米的测角仪一架,请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题: (1)在你设计的方案中,选用的测量工具是_. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图; (3)你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,等表示测得的数据_. (4)写出求树高的算式:AB=_. 3.在1:50000的地图上,查得A点在300m的等高线上,B点在400m的等高线上, 在地图上量得AB的长为2.5cm,若要在A、B之间建一条索道,那么缆索至少要多长? 它的倾斜角是多少?(说明:地图上量得的AB的长,就是A,B两点间的水平

31、距离AB,由B向过A 且平行于地面的平面作垂线,垂足为B,连接AB,则A即是缆索的倾斜角.)300350400AB AB太阳光线CDE 小结： 【课堂小结】：1、知识方面：2、能力方面：第一章回顾与思考 （第七课时） 1、等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为（ ）A B C D 2、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度，则两个坡角的和为 （ ）A B C D 3、如图，在矩形ABCD中，DEAC于E，设ADE=，且, AB = 4, 则AD的长为（ ） （A）3 （B） （C） （D）4、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450，则对角线所用的竹条至少需（ ） （A） （B）30cm （C）60cm （D）5、如果是锐角，且，那么 6、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米7、如图,P是的边OA上一点, 且P点坐标为(3,4),则= ,=_. 8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为1.5米那么旗杆的有