第五讲ARCH和GARCH模型估计

1、第五讲 条件异方差模型 EViews中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的建立变量的条件方差或变量波动性模型。 我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因: 首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当控制的，我们就能得到更有效的估计。 1内容概况一ARCH模型及扩展二在EViews中估计ARCH模型三 估计结果与检验2 一 自回归条件异方差模型 自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heterosc

2、edasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。 ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle, R.)提出，并由博勒斯莱文(Bollerslev, T., 1986)发展成为GARCH (Generalized ARCH)广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。 按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？ 3 恩格尔和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中

3、的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。 从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差（ARCH）模型。ARCH的主要思想是时刻 t

4、 的ut 的方差（= t2 ）依赖于时刻(t 1)的残差平方的大小，即依赖于 ut2- 1 。 4（一） ARCH模型 为了说得更具体，让我们回到k -变量回归模型：(5.1.1) 并假设在时刻 ( t1 ) 所有信息已知的条件下，扰动项 ut 的分布是： (5.1.2) 也就是，ut 遵循以0为均值，(0+ 1u2t-1 )为方差的正态分布。 由于(5.1.2)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：然而，容易加以推广。5 例如，一个ARCH (p)过程可以写为：（5.1.3） 如果扰动项方差中没有自相关，就会有 H0 ：这时 从而得到误差方差的同方差性情形。 恩格

5、尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：（5.1.4） 其中，t 表示从原始回归模型（5.1.1）估计得到的OLS残差。 6（二） GARCH(1, 1)模型 我们常常有理由认为 ut 的方差依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。这里的问题在于，我们必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程(5.1.3)不过是t2的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个t2的滞后值代替许多ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(generalized autoregressive conditional heterosce-d

6、asticity model，简记为GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。 7在标准化的GARCH(1,1)模型中： (5.1.5) (5.1.6)其中：xt是1(k+1)维外生变量向量， 是(k+1)1维系数向量。 (5.1.5)中给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差 ，所以它被称作条件方差。8 (5.1.6)中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1常数项（均值）： 2用均值方程(5.1.5)的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。 3上一期的预

7、测方差： t2-1 （GARCH项）。 GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差t2的说明。 9 在EViews中ARCH模型是在误差是条件正态分布的假定下，通过极大似然函数方法估计的。例如，对于GARCH(1,1)，t 时期的对数似然函数为：(5.1.7) 其中 (5.1.8) 这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关

8、于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。10（三）方差方程的回归因子 方程(5.1.6)可以扩展成包含外生的或前定回归因子z的方差方程： （5.1.11） 注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：（5.1.12） 11 GARCH(p, q)模型 高阶GARCH模型可以通过选择大于1的p或q得

9、到估计，记作GARCH(p, q)。其方差表示为：（5.1.13） 这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数。 12（四） ARCH-M模型 金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回归模型。在ARCH-M中我们把条件方差引进到均值方程中: （5.1.14） ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：或取对数 13 ARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期

10、风险紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指数的票面收益（returet）依赖于一个常数项，通货膨胀率t 以及条件方差： 这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为GARCH-M模型。 14二 在EViews中估计ARCH模型 估计GARCH和ARCH模型，首先选择Quick/Estimate Equation或Object/ New Object/ Equation，然后在Method的下拉菜单中选择ARCH，得到如下的对话框。 (EViews4.0)的对话框15 (EViews5)的对话框16 与选择估计方法和样本一样

11、，需要指定均值方程和方差方程。 （ 一）均值方程 在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常数，可在列表中加入C。如果需要一个更复杂的均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。 如果解释变量的表达式中含有ARCHM项，就需要点击对话框右上方对应的按钮。EViews4.0中，只有3个选项： 1.选项None表示方程中不含有ARCHM项； 2.选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差； 3.选项Variance则表示在方程中含有条件方差 2。 而EViews5中的ARCH-M的下拉框中，除了这三个选项外，还添加了一个新的选项：Log(

12、Var)，它表示在均值方程中加入条件方差的对数ln( 2)作为解释变量。 17 （二）方差方程 EViews5的选择模型类型列表 （1）在model下拉框中可以选择所要估计的ARCH模型的类型，需要注意，EViews5中的模型设定下拉菜单中的PARCH模型是EViews5中新增的模型，在EViews4.0中，并没有这个选项，而是直接将几种类型列在对话框中。 18 （3）在Variance栏中，可以根据需要列出包含在方差方程中的外生变量。由于EViews在进行方差回归时总会包含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出C。 （2）设定了模型形式以后，就可以选择ARCH项和GARCH项的阶数。

13、缺省的形式为包含一阶ARCH项和一阶GARCH项的模型，这是现在最普遍的设定。如果要估计一个非对称的模型，就应该在Threshold编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为0。仍需注意的是，这个Threshold编辑栏也是EViews5新增的选项，即EViews5可以估计含有多个非对称项的非对称模型。在EViews4.0中，并没有这个选项，非对称模型中的非对称项只能有1项。 19 （4）Error组合框是EViews5新增的对话框，它可以设定误差的分布形式，缺省的形式为Normal（Gaussian），备选的选项有：Students-t，Generalize

14、d Error（GED）、Students-t with fixed df.和GED with fixed parameter。需要注意，选择了后两个选项的任何一项都会弹出一个选择框，需要在这个选择框中分别为这两个分布的固定参数设定一个值。在EViews4.0中，并没有Error选项，误差的条件分布形式默认为Normal（Gaussian）。 20 （四）估计选项（Options） EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只要点击Options按钮并按要求填写对话即可。 21 1. 回推(Backcasting) 在缺省的情况下，MA初始的扰动项和GARCH项中要求的初始预测方差都

15、是用回推方法来确定初始值的。如果不选择回推算法，EViews会设置残差为零来初始化MA过程，用无条件方差来设置初始化的方差和残差值。但是经验告诉我们，使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方差来初始化GARCH模型的效果要理想。 2. 系数协方差 (Coefficient Covariance) 点击Heteroskedasticity Consistent Covariances计算极大似然（QML）协方差和标准误差。 如果怀疑残差不服从条件正态分布，就应该使用这个选项。只有选定这一选项，协方差的估计才可能是一致的，才可能产生正确的标准差。 注意如果选择该项，参数估计将是不变的，改变的只是协方

16、差矩阵。22 3. 导数方法 (Derivatives) EViews现在用数值导数方法来估计ARCH模型。在计算导数的时候，可以控制这种方法达到更快的速度（较大的步长计算）或者更高的精确性（较小的步长计算）。 4. 迭代估计控制 (Iterative process) 当用默认的设置进行估计不收敛时，可以通过改变初值、增加迭代的最大次数或者调整收敛准则来进行迭代控制。 5算法选择 (Optimization algorithm) ARCH模型的似然函数不总是正规的，所以这时可以利用选择迭代算法（Marquardt、BHHH/高斯-牛顿）使其达到收敛。 23三 ARCH的估计结果 在均值方程中

17、和方差方程中估计含有解释变量的标准GARCH(1,1)模型， (5.3.1) 例1 为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方差性，我们选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此，本例所分析的沪市股票价格波动具有一定代表性。在这个例子中，我们选择的样本序列sp是1998年1月3日至2001年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对sp进行自然对数处理，即将序列log(sp)作为因变量进行估计。24 由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程随机游动（Random Walk

18、）模型描述，所以本例进行估计的基本形式为： 首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下：(5.3.2) （12145） R2= 0.998 对数似然值 = 5974 AIC = -4.16 SC = -4.16 25 可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟和的程度也很好。但是对这个方程进行异方差的White和ARCHLM检验，发现 q = 3 时的ARCH-LM检验的相伴概率，小于5%，White检验的结果类似，其相伴概率，即P值也小于5%，这说明误差项具有条件异方差性。26 股票价格指数方程回归残差 但是观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成群”现象：波动在一些

19、较长的时间内非常小（例如2000年），在其他一些较长的时间内非常大（例如1999年），这说明残差序列存在高阶ARCH效应。27（一） ARCH 的检验1. ARCH LM检验 Engle(1982)提出对残差中自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, ARCH) 进行拉格朗日乘数检验 (Lagrange multiplier test)，即 LM检验。异方差的这种特殊定义是由于对许多金融时间序列的观测而提出的，残差的大小呈现出与近期残差值有关。ARCH自身不能使标准LS推理无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。 2

20、8 ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运行如下回归： 式中t是残差。这是一个对常数和直到q阶的滞后平方残差所作的回归。F统计量是对所有滞后平方残差联合显著性所作的检验。Obs*R2统计量是LM检验统计量,它是观测值数T乘以检验回归R2。292. 平方残差相关图 显示直到所定义的滞后阶数的平方残差t2的自相关性和偏自相关性，计算出相应滞后阶数的Ljung-Box统计量。平方残差相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性（ARCH）。如果残差中不存在ARCH，在各阶滞后自相关和偏自相关应为0，且Q统计量应不显著。可适用于使用LS，TSLS，非

21、线性LS估计方程。显示平方残差相关图和Q-统计量，选择View/Residual Tests/Correlogram Squared Residual，在打开的滞后定义对话框，定义计算相关图的滞后数。 30 因此，对式(5.3.2)进行条件异方差的ARCH LM检验，得到了在滞后阶数p = 3时的ARCH LM检验结果： 此处的P值为3%，拒绝原假设，说明式（5.1.2）的残差序列存在ARCH效应。还可以计算式（5.1.2）的残差平方的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，结果如下：31 重新建立序列的GARCH（1, 1）模型，结果如下： 均值方程： （35953.47） 方差方程： （1

22、1.44） （33.36）对数似然值 = 7033 AIC = -4.9 SC = -4.9GARCH = 6.582490162e-006 + 0.4524492914*RESID(-1)2 + 0.7210106883*GARCH(-1) 32 方差方程中的ARCH项和GARCH项的系数都是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时AIC和SC值都变小了，这说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行条件异方差的ARCHLM检验，相伴概率为P = 0.97，说明利用GARCH模型消除了原残差序列的异方差效应。3334 ARCH估计的结果可以分为两部分：上半部分提供了均值方程的标准结果；下

23、半部分，即方差方程包括系数，标准误差，z统计量和方差方程系数的P值。在方程(5.1.6)中ARCH的参数对应于，GARCH的参数对应于 。在表的底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来自于均值方程。 注意如果在均值方程中不存在回归量，那么这些标准，例如R2也就没有意义了。 35 例2 估计我国股票收益率的ARCHM模型。选择的时间序列仍是1991年1月7日至2001年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数sp，股票的收益率是根据公式： ，即股票价格收盘指数对数的差分计算出来的。 ARCHM模型： ， 估计出的结果是: (-5.1) (5.5) (12.46) (28.28) (121

24、.2) 对数似然值 = 7036 AIC = -4.9 SC = -4.9 在收益率方程中包括 t 的原因是为了在收益率的生成过程中融入风险测量，这是许多资产定价理论模型的基础 “均值方程假设” 的含义。在这个假设下， 应该是正数，结果 = -0.067，因此我们预期较大值的条件标准差与高收益率相联系。估计出的方程的所有系数都很显著。均值方程中t 的系数为-0.067，表明当市场中的预期风险增加一个百分点时，就会导致收益率也相应的增加0.067个百分点。 3637四 ARCH模型的视图与过程 一旦模型被估计出来，EViews会提供各种视图和过程进行推理和诊断检验。 （一）ARCH模型的视图 1. Actual, Fitted, Residual 窗口列示了各种残差形式，例如，表格，图形和标准残差。 2. 条件SD图 显示了在样本中对每个观测值绘制向前一步的标准偏差t 。t 时期的观察值是由t-1期可得到的信息得出的预测值。 38 3. 协方差矩阵 显示了估计的系数协方差矩阵。大多数ARCH模型（ARC