杆及结构的变形计算

1、第七章杆及结构的变形计算退出了解杆及结构的变形计算，进行杆的刚度计算，也为以后静不定问题求解作准备。目的：要求：记住求解结构变形的基本公式并能正确地利用它来进行计算。杆及结构的变形计算退出杆及结构的变形计算7-l 拉伸(压缩)时的变形7-2 扭转时的变形7-3 弯曲时的变形7-4 求杆件变形的叠加法7-5 杆的刚度条件7-6 静定结构的位移计算杆件的变形能 7-7 单位荷载法7-8 图形互乘法* 7-9 静定结构由于支座位移和温度变化所引起的位移计算*7-10 虚功原理 单位荷载法退出7-l 拉伸(压缩)时的变形杆及结构的变形计算单段等截面等轴力杆件多段等截面等轴力杆件多段变截面或变轴力杆件例

2、7-l 计算杆在自重作用下所引起的伸长，设杆长为l，横截面面积为A，材料的比重为g，弹性模量为E。end7-2 扭转时的变形单段等截面等扭矩杆件多段等截面等扭矩杆件多段变截面或变扭矩杆件Mn扭矩G 剪切弹性模量Ip 极惯性矩杆及结构的变形计算end7-3 弯曲时的变形1.挠曲线的近似微分方程挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用 y 表示。 与 y 同向为正，反之为负。转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。PxyCyqC11) 度量梁变形的两个基本位移量q 0顺时针转向杆及结构的变形计算end3)转角与挠曲线的关系：小变形y =f (x)xyFxyFFCx

3、yBAend2)挠曲线 变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：杆及结构的变形计算式(7-9)就是挠曲线近似微分方程。小变形xyM0yxM0(7-9)对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：end杆及结构的变形计算end杆及结构的变形计算2.用积分法求梁的变形对等截面梁，EI 为常数，有：end杆及结构的变形计算例7-2求悬臂梁在均布载荷作用下的转角和挠度方程，并计算其最大转角和最大挠度。已知梁长为 l ，粱的刚度为 EI。(a)(b)解：（1）求出固定端的反力Rm（2）列出弯矩方程（3）给出挠曲线微分方程end杆及结构的变形计算(a)(b)Rm（4）积分，得出转角方程

4、和挠曲线方程（5）确定积分常数C、D (6) 转角方程和挠曲线方程，最大挠度和最大转角end杆及结构的变形计算7-4 求杆件变形的叠加法 在假定杆的变形微小及材料服从虎克定律的前提下，杆的变形(一般指的就是截面形心的线位移和截面的角位移)都是外加载荷的线性齐次函数。因此，当杆上有多个载荷共同作用时，特别是当各载荷单独作用时的变形结果已知(如有表可查)时，用叠加法来计算杆的变形尤为方便，用式子表达，以挠度为例,即： 式中 y 为多个载荷共同作用时在某点处引起的挠度，yPi 为某载荷单独作用时在该点处引起的挠度。end杆及结构的变形计算例7-5 外伸梁ABC受载如图所示，设梁的刚度为，求C点的挠度

5、。解：采用分段刚化的步骤来解刚化AB，则BC段为悬臂梁，查表得：刚化BC，则ABC为外伸梁，分布力想B点简化；有则将引起梁的变形，使截面产生转角qB，也引起C点的位移yC2图(c)如下：m=qa2/ 2P=qa，C点的挠度为end杆及结构的变形计算例7-6 矩形截面的悬臂梁受荷载 P 的作用，如图所示。设 P 与垂直轴 y 的夹角 a=30o，截面的惯性矩 Iy、Iz已知，且Iy Iy，故b a，如图(b)所示,即此时弯曲变形不发生在载荷作用的平面内，这种弯曲工程上常称为斜弯曲。end杆及结构的变形计算7-5 杆的刚度条件各种基变形情况下的刚度条件根据此种条件，可进行类似于强度计算那样的三类计

6、算：1)刚度校核； 2)按刚度条件设计截面； 3)按刚度条件确定许可载荷。扭转的刚度条件精密机械轴一般传动轴要求不高的轴拉伸压缩弯曲转角弯曲挠度end杆及结构的变形计算例7-7 试确定图中所示轴的直径D，设材料的剪切弹性模量G=80GPa，t =40MPa， q =0.5o/m 巳知Mmax=1432(N-m)解：按强度条件设计直径9551432N-mm2m1m3按刚度条件设计直径故轴的直径应按刚度条件决定，可取为68mm。end杆及结构的变形计算7-6 静定结构的位移计算杆件的变形能 杆件的位移除了用前面的微分方程积分的方法进行计算外，还可由能量守恒定理按能量法求解。这是研究变形体问题的又一

7、普遍方法，特别适用于求解复杂体系的变形问题。首先来研究杆件在各种变形形式下的变形能的计算。 end杆及结构的变形计算AlDlPPoDlADlDlB拉伸(压缩)时的变形能的计算弯曲时的变形能的计算扭转时的变形能的计算end杆及结构的变形计算当杆件承受组合变形时 ：若变形能是内力的非线性函数，力的独立性原理不成立，故不能用叠加法NNTTMMend杆及结构的变形计算例 7-8 求图示简支梁在集中力P作用下的变形能 ，已知梁的刚度为EI。PAlabBCRARBx1x2解：(1) 求支反力(2) 列出弯矩方程(3) 计算变形能end杆及结构的变形计算例 7-9 求图示曲杆的变形能，设曲杆的曲率半径为R，

8、抗弯刚度为EIPARBONAqOQMend杆及结构的变形计算7-7 单位荷载法 下面我们从功能互等定理出发导出计算线弹性结构位移的一个普遍方法单位荷载法。今以刚架为例来说明。 设刚架上受外荷载P1和P2作用，今欲求刚架上任一点、任一方向的位移，如图中所示的 D 的大小。P1P2MiNiDP0M0iN0iD0 为此，我们可在该结构的该点上加上一个沿该方向的微小荷载P0，再分别写出此两种受力情况下的功能关系式：P1P2Mi+M0iNi+N0iDP0D 0end杆及结构的变形计算 为了求得，我们尚需列出第三状况下的功能关系式，该状况是由结构上先加P0荷载，再加已知荷载P1和P2而形成的。写此时的功能

9、关系时应注意：外力功除了P1、P2和P0在其自身引起的位移上作功A和A0外，P0 在P1、P2、所引起的位移上也要作功。 所以，此时的功能关系式应是：用此式减去前两式，可得：end杆及结构的变形计算 为了能直接得到D 的数值，可令P0=1，而对应于此时的M0 i，N0 i 则写成M0 i，N0 i。这样，就得到用单位荷载法求结构位移的一般公式： 上述公式也可计算角位移，只要将P0视为单位力偶就可以了。此时公式中的M0 i，N0 i 即为单位力偶作用在该结构上所引起的相应内力。end杆及结构的变形计算 当结构在外力作用下，在杆件内引起扭矩时，只要在公式(7-21)后面附加考虑扭转所引起的位移项就

10、可以了，公式推导原理不变。所以当不计杆件剪切内力的影响(通常很小，工程上常忽略)时，计算结构在外荷载作用下的位移的普遍公式是： 需要指出的是：单位荷载的方向开始时可以随意假设，将来按公式算得的结果如果是正值时，则所发生的位移就是沿所加单位荷载方向，反之，则位移沿单位荷载的反方向发生end杆及结构的变形计算例 7-10 求 图示曲杆在B点的垂直位移和水平位移AjO1B(b)AjO1B(c)AjO1B(d)(a)PARBOjend杆及结构的变形计算7-8 图形互乘法 对工程中常见的一些由等刚度杆所形成的梁或刚架等折线型结构，用积分法计算常嫌其麻烦时，也可采用下面介绍的图形互乘法来计算。如上节所说在

11、计算梁或刚架位移时，都会遇到如下积分： 当结构各杆段的刚度EiIi=常数时，该积分中的EiIi就可提到积分号外面去而和积分变量无关。剩下的就只要计算型式的积分值。 end杆及结构的变形计算xdxxxcCMxM0 xM(x)M 0y C la据此，可将公式替换为下式式中 wi，wNi，wni 分别为该段上弯矩图、轴力图和扭矩图的面积，而 分别为和上述面积的形心相对应的 图上的纵坐标值。所有值和yC 值均取代数值，或遵循与yC 在基线的同侧相乘为正，异侧相乘为负的原则也可。abcdlw1w2 在具体计算wyC值时，还有一些技巧，如以下诸图所示：杆及结构的变形计算 比较(a),(b)两式可见，只要将

12、(a)式中的a,b,c,d的值均看作代数值，由(a)式即可得到(b) (b)(a)endend杆及结构的变形计算例 7-11 求图 示刚架在缺口A 处的相对位移，设杆的抗弯刚度为EI。 aaP2lP(a)PaPaPaPa(b)2a2a2a2a11(c)l11lllllll(d)1111111111(e)end杆及结构的变形计算* 7-9 静定结构由于支座位移和温度变化所引起的位移计算1. 求结构由于支座位移所引起的结构位移 当支座C由于沉陷而产生C1，C2，C3 的位移后，欲求端部A处沿D方向的位移D。为此，假设在此结构的A处沿D方向加相应的单位力，假设此时支座反力R10，R20，R30的方向

13、取得和支座位移的方向一致时，如图(b)所示，则按刚体的虚位移原理可得下式：将上式移项后即得所求的位移为：1(b)CC1CBAC3C2DBAD(a)end杆及结构的变形计算例 7-12 求三铰刚架由于支座A处位移Dx和Dy而引起的顶铰C处的竖直位移DC。代入公式(7-27)得：DxDyCADC(a)hCBAl1(b) 首先在C处竖直方向加单位力；再求出此时单位力在沿巳知位移方向的反力；其值为正，即C的竖直位移方向和所加单位力方向相同。解：end杆及结构的变形计算2.求结构由于温度变化所引起的位移 首先我们来讨论微段两侧由于温度的不同所造成的变形。设微段长ds，形心轴距两侧的距离为h1和h2，截面

14、的高度为h，而温度t2 t1，材料的线膨胀系数为a 。hdsh2h1dja t2dsa t1dst1t2形心轴 微段的轴线伸长量du和截面的相对转角dj为： end杆及结构的变形计算 知道了 du，dj 的表达式后，欲求图示结构由于温度变化而引起的任一点C 的位移 Dt 时，直接利用虚功原理得下面的公式： 或 应用上述两公式时，应注意正负号。若温度引起的轴向变形及弯曲变形与单位荷载所引起的轴向变形和弯曲变形的方向一致时取正号，反之取负号。t1t2t2At1CB1end杆及结构的变形计算例7-13 求图示刚架C处所产生的竖直位移，若刚架外侧温度为0oC时，内侧温度为10oC。各杆截面相同且和形心

15、轴对称，材料的线膨胀系数为a，截面高度为h。解：作出单位力下的内力图Ni0和Mi0，并用虚线示出其变形方向；同时也用虚线示出结构由于温度变化所引起的变形方向。由图可见，两者正相反，故公式中的乘积项均取负号。由于代入公式(7-28b)后即得：10oACBll(a)1(b)1ll(c)end杆及结构的变形计算*7-10 虚功原理 单位荷载法 虚功原理是固体力学的一个普遍性原理，它适用于刚体和可变形体。今以直杆在拉伸时的受力和变形状态为例来说明此原理。图(a)为其受力状态，图(b)为其假想的位移状态，此位移是杆约束条件许可的、满足变形连续条件的任一微小位移，简称其为许可位移或虚位移。dxxpPdxx

16、pPluu+dupPN+dNN 设u是该杆内某微段dx左截面的位移，则其右截面的位移可写为u+du；所以，u可以称为此微段的刚性位移，而du则是该微段的变形位移。当该微段平衡时，可得：end杆及结构的变形计算dxxpPdxxpPluu+dupPN+dNN将上式两边乘以该微段的刚性位移u，积分后得：若将此式展开后积分，则有：分部积分,得将杆的边界条件；代入上式，则得：变形体虚功原理end杆及结构的变形计算 当变形体处于平衡状态时，外力在变形体虚位移上所作的功必等于变形体内力在其虚变形上所储存的变形能。推广到杆件更一般的受力情况，则有Ni，Qi，Mi，Mni分别为在力状态下各段杆的内力；式中：Pi 为广义力(力、力偶)；dui，dvi，dqi，dji 为广义位移(线位移、角位移);Di 则是杆在位移状态下和上述内力相对应的变形位移。end杆及结构的变形计算 若杆件为刚体，