四川师范大学2022年高考冲刺模拟数学试题含解析_第1页
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文档简介

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知函数,若,则的值等于( )ABCD2已知全集,函数的定义域为,集合,则下列结论正确的是ABCD3已知斜率为2的

2、直线l过抛物线C:的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的中点M的纵坐标为1,则p( )A1BC2D44近年来,随着网络的普及和智能手机的更新换代,各种方便的相继出世,其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途,随机抽取了名大学生进行调查,各主要用途与对应人数的结果统计如图所示,现有如下说法:可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数;可以估计不足的大学生使用主要玩游戏;可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的.其中正确的个数为( )ABCD5已知命题,;命题若,则,下列命题为真命题的是()ABCD6某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正

3、方形的边长为,则该三棱锥外接球的表面积为( )ABCD7已知复数,(为虚数单位),若为纯虚数,则()AB2CD8定义,已知函数,则函数的最小值为( )ABCD9中,角的对边分别为,若,则的面积为( )ABCD10复数的实部与虚部相等,其中为虚部单位,则实数( )A3BCD11已知、分别为双曲线:(,)的左、右焦点,过的直线交于、两点,为坐标原点,若,则的离心率为( )A2BCD12在边长为的菱形中,沿对角线折成二面角为的四面体(如图),则此四面体的外接球表面积为( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13如图,某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数,则这段曲线的函数解析式

4、为_14已知均为非负实数,且,则的取值范围为_15已知,且,则的最小值是_.16若实数满足不等式组,则的最小值是_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),直线的参数方程(为参数),若直线的交点为,当变化时,点的轨迹是曲线(1)求曲线的普通方程;(2)以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,设射线的极坐标方程为,点为射线与曲线的交点,求点的极径.18(12分)已知动圆过定点,且与直线相切,动圆圆心的轨迹为,过作斜率为的直线与交于两点,过分别作的切线,两切线的交点为,直线与交于两点(1)证明:点

5、始终在直线上且;(2)求四边形的面积的最小值19(12分)已知在四棱锥中,平面,在四边形中,为的中点,连接,为的中点,连接.(1)求证:.(2)求二面角的余弦值.20(12分)已知函数 , (1)求函数的单调区间;(2)当时,判断函数,()有几个零点,并证明你的结论;(3)设函数,若函数在为增函数,求实数的取值范围21(12分)万众瞩目的第14届全国冬季运动运会(简称“十四冬”)于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如图频数分布直方图:(1)若将每天收看比赛转播时间不低

6、于3小时的教职工定义为“冰雪迷”,否则定义为“非冰雪迷”,请根据频率分布直方图补全列联表;并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关;(2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为,求的分布列与数学期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,22(10分)下表是某公司2018年512月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据:月 份56789101112研发费用(百万元)2361021

7、131518产品销量(万台)1122.563.53.54.5()根据数据可知与之间存在线性相关关系,求出与的线性回归方程(系数精确到0.01);()该公司制定了如下奖励制度:以(单位:万台)表示日销售,当时,不设奖;当时,每位员工每日奖励200元;当时,每位员工每日奖励300元;当时,每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售(万台)服从正态分布(其中是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一),请你估计每位员工该月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元. 参考数据:,参考公式:相关系数,其回归直线中的,若随机变量服从正态分布,则,.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题

8、5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1B【解析】由函数的奇偶性可得,【详解】其中为奇函数,也为奇函数也为奇函数故选:B【点睛】函数奇偶性的运用即得结果,小记,定义域关于原点对称时有:奇函数奇函数=奇函数;奇函数奇函数=偶函数;奇函数奇函数=偶函数;偶函数偶函数=偶函数;偶函数偶函数=偶函数;奇函数偶函数=奇函数;奇函数偶函数=奇函数2A【解析】求函数定义域得集合M,N后,再判断【详解】由题意,故选A【点睛】本题考查集合的运算,解题关键是确定集合中的元素确定集合的元素时要注意代表元形式,集合是函数的定义域,还是函数的值域,是不等式的解集还是曲线上的点集,都由代表元

9、决定3C【解析】设直线l的方程为xy,与抛物线联立利用韦达定理可得p【详解】由已知得F(,0),设直线l的方程为xy,并与y22px联立得y2pyp20,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点C(x0,y0),y1+y2p,又线段AB的中点M的纵坐标为1,则y0(y1+y2),所以p=2,故选C【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题,利用韦达定理是解题的关键,属中档题4C【解析】根据利用主要听音乐的人数和使用主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较,可判断的正误;计算使用主要玩游戏的大学生所占的比例,可判断的正误;计算使用主要找人聊天的大学生所占的比例,可判断的正误.综合得出结

10、论.【详解】使用主要听音乐的人数为,使用主要看社区、新闻、资讯的人数为,所以正确;使用主要玩游戏的人数为,而调查的总人数为,故超过的大学生使用主要玩游戏,所以错误;使用主要找人聊天的大学生人数为,因为,所以正确.故选:C.【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断,计算出相应的频数与频率是关键,考查数据处理能力,属于基础题.5B【解析】解:命题p:x0,ln(x+1)0,则命题p为真命题,则p为假命题;取a=1,b=2,ab,但a2b2,则命题q是假命题,则q是真命题pq是假命题,pq是真命题,pq是假命题,pq是假命题故选B6C【解析】作出三棱锥的实物图,然后补成直四棱锥,且底面为矩形,可得知

11、三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球,然后计算出矩形的外接圆直径,利用公式可计算出外接球的直径,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【详解】三棱锥的实物图如下图所示:将其补成直四棱锥,底面,可知四边形为矩形,且,.矩形的外接圆直径,且.所以,三棱锥外接球的直径为,因此,该三棱锥的外接球的表面积为.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积,解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图,并分析三棱锥的结构,选择合适的模型进行计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.7C【解析】把代入,利用复数代数形式的除法运算化简,由实部为0且虚部不为0求解即可【详解】,为纯虚数,解得故选

12、C【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算,考查复数的基本概念,是基础题8A【解析】根据分段函数的定义得,则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式,可求得函数的最小值.【详解】依题意得,则,(当且仅当,即时“”成立.此时,,的最小值为,故选:A.【点睛】本题考查求分段函数的最值,关键在于根据分段函数的定义得出,再由基本不等式求得最值,属于中档题.9A【解析】先求出,由正弦定理求得,然后由面积公式计算【详解】由题意,由得,故选:A【点睛】本题考查求三角形面积,考查正弦定理,同角间的三角函数关系,两角和的正弦公式与诱导公式,解题时要根据已知求值要求确定解题思路,确定选用公式顺序,以便正确快速求解1

13、0B【解析】利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知,所以,解得.故选:B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.11D【解析】作出图象,取AB中点E,连接EF2,设F1Ax,根据双曲线定义可得x2a,再由勾股定理可得到c27a2,进而得到e的值【详解】解:取AB中点E,连接EF2,则由已知可得BF1EF2,F1AAEEB,设F1Ax,则由双曲线定义可得AF22a+x,BF1BF23x2ax2a,所以x2a,则EF22a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2(2c)2,所以c27a2,则e故选:D【点睛】本题考查双曲线定义的应用,考查离心率的求

14、法,数形结合思想,属于中档题对于圆锥曲线中求离心率的问题,关键是列出含有 中两个量的方程,有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理,从而求出离心率.12A【解析】画图取的中点M,法一:四边形的外接圆直径为OM,即可求半径从而求外接球表面积;法二:根据,即可求半径从而求外接球表面积;法三:作出的外接圆直径,求出和,即可求半径从而求外接球表面积;【详解】如图,取的中点M,和的外接圆半径为,和的外心,到弦的距离(弦心距)为.法一:四边形的外接圆直径,;法二:,;法三:作出的外接圆直径,则,.故选:A【点睛】此题考查三棱锥的外接球表面积,关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径,方法较多,属于较易

15、题目.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13,【解析】根据图象得出该函数的最大值和最小值,可得,结合图象求得该函数的最小正周期,可得出,再将点代入函数解析式,求出的值,即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知,从题图中可以看出,从时是函数的半个周期,则,.又,得,取,所以,故答案为:,【点睛】本题考查由图象求函数解析式,考查计算能力,属于中等题.14【解析】设,可得的取值范围,分别利用基本不等式和,把用代换,结合的取值范围求关于的二次函数的最值即可求解.【详解】因为,,令,则 ,因为,当且仅当时等号成立,所以 ,即,令则函数的对称轴为,所以当时函数有最大值为,即当且,即,或,时

16、取等号;因为,当且仅当时等号成立,所以,令,则函数的对称轴为,所以当时,函数有最小值为,即,当,且时取等号,所以.故答案为:【点睛】本题考查基本不等式与二次函数求最值相结合求代数式的取值范围;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;基本不等式:和的灵活运用是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.158【解析】由整体代入法利用基本不等式即可求得最小值.【详解】,当且仅当时等号成立.故的最小值为8,故答案为:8.【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值,整体代入法,属于基础题.16-1【解析】作出可行域,如图:由得,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值,A(1,0)所以-1故答案为-1三、解

17、答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1);(2)【解析】(1)将两直线化为普通方程,消去参数,即可求出曲线的普通方程;(2)设Q点的直角坐标系坐标为,求出,代入曲线C可求解.【详解】(1)直线的普通方程为,直线的普通方程为联立直线,方程消去参数k,得曲线C的普通方程为整理得.(2)设Q点的直角坐标系坐标为,由可得代入曲线C的方程可得,解得(舍),所以点的极径为.【点睛】本题主要考查了直线的参数方程化为普通方程,普通方程化为极坐标方程,极径的求法,属于中档题.18(1)见解析(2)最小值为1【解析】(1)根据抛物线的定义,判断出的轨迹为抛物线,并由此求得轨迹的方程.设出

18、两点的坐标,利用导数求得切线的方程,由此求得点的坐标.写出直线的方程,联立直线的方程和曲线的方程,根据韦达定理求得点的坐标,并由此判断出始终在直线上,且.(2)设直线的倾斜角为,求得的表达式,求得的表达式,由此求得四边形的面积的表达式进而求得四边形的面积的最小值【详解】(1)动圆过定点,且与直线相切,动圆圆心到定点和定直线的距离相等,动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线,轨迹的方程为:,设,直线的方程为:,即:,同理,直线的方程为:,由可得:, 直线方程为:,联立可得:, ,点始终在直线上且;(2)设直线的倾斜角为,由(1)可得:, 四边形的面积为:,当且仅当或,即时取等号,四边形的面积的最小值为

19、1.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法,考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线中四边形面积的最值的计算,考查运算求解能力,属于中档题.19(1)见解析;(2)【解析】(1)连接,证明,得到面,得到证明.(2)以,所在直线分别为,轴建立空间直角坐标系,为平面的法向量,平面的一个法向量为,计算夹角得到答案.【详解】(1)连接,在四边形中,平面,面,面,又面,又在直角三角形中,为的中点,面,面,.(2)以,所在直线分别为,轴建立空间直角坐标系,设为平面的法向量,令,则,同理可得平面的一个法向量为.设向量与的所成的角为,由图形知,二面角为锐二面角,所以余弦值为.【点睛】本题考查了线线垂直,二面角

20、,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20(1)单调增区间,单调减区间为,;(2)有2个零点,证明见解析;(3)【解析】对函数求导,利用导数的正负判断函数的单调区间即可;函数有2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明;记函数,求导后利用单调性求得,由零点存在性定理及单调性知存在唯一的,使,求得为分段函数,求导后分情况讨论:当时,利用函数的单调性将问题转化为的问题;当时,当时,在上恒成立,从而求得的取值范围.【详解】(1)由题意知,,列表如下:02 0 极小值 极大值 所以函数的单调增区间为,单调减区间为,. (2)函数有2个零点.证明如下: 因为时,所以,因为,所以在恒成立,在上单调递增,

21、由,且在上单调递增且连续知,函数在上仅有一个零点,由(1)可得时,,即,故时,所以,由得,平方得,所以,因为,所以在上恒成立,所以函数在上单调递减,因为,所以,由,且在上单调递减且连续得在上仅有一个零点,综上可知:函数有2个零点. (3)记函数,下面考察的符号求导得当时恒成立当时,因为,所以在上恒成立,故在上单调递减,又因为在上连续,所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的,使, ,因为,所以 因为函数在上单调递增,所以在,上恒成立当时,在上恒成立,即在上恒成立记,则,当变化时,变化情况如下表: 极小值 ,故,即当时,当时,在上恒成立综合(1)(2)知, 实数的取值范围是【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、极值、最值和利用零点存在性定理判断函数零点个数、利用分离参数法求参数的取值范围;考查转化与化归能力、逻辑推理能力、运算求解能力;通过构造函

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