同济大学大一高等数学期末试题

1、学年第二学期期末考试试卷课程名称：高等数学试卷类别：A卷考试形式：闭卷考试时间：120分钟号学适用层次：适用专业；阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。线课程名称：高等数学A（考试性质：期末统考（A卷）题号（型）-一-一二四核分人得分总分评卷人级-封班-及-级-年-1业-密专-）院（系A.(-1，二、填空题共15分,每小题3分)设函数f(x,y)在P(x,y00f(x,y)在P连续limf(x,y)及lim0 xxyy0ylnx,则dz等于(ylnxlnyAC若zylnxlnyA.x2yyln

2、xlnyC.ylnxlnydxdyx)的两个偏导f(x,y)，f(x,y)都存在，则00B.f(x,y)在P可微D.limf(x,y)存在(x,y)(x0,yo)x00f(x,y)都存在0)ylnxlnyBxylnxlnyylnxlnxD.dxdyxy3.设是圆柱面x2y22x及平面z0,z1所围成的区域，则f(x,y,z)dxdydz()A.2dcEdrf(rcos,rsin,z)dz000C.2dsrdrf(rcos,rsin,z)dz453，4)B.2dosrdrf(rcos,rsin,z)dz000D.sxrdrf(rcos,rsin,z)dz004A若a（x1）“在xl处收敛，则此级

3、数在x2处（nn1条件收敛B绝对收敛C发散D敛散性不能确定）xyz2曲线在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为().zx2y2B.(3,-1,4)C.(-1,0,3)D.(3,0,-1)共15分，每小题3分）TOC o 1-5 h z1设x2y2xyz0，贝0z(1,1)x交换Idxxf(x,y)dy的积分次序后，I10设u2xyz2,则u在点M(2,1,1)处的梯度为xn已知ex，贝Ixe.xn!nO函数zx3y33x23y2的极小值点是三、解答题(共54分，每小题6-7分)1.(本小题满分6分)设Zyarctan卩求兰兰xxy2.（本小题满分6分）求椭球面2x23y2z29的平行于平面2

4、x3y2z10的切平面方程，并求切点处的法线方程.3.（本小题满分7分）求函数zx2y21在点(1,2)处沿向量li22j方向的方向导数。（本小题满分7分）将f（x）1展开成x3的幕级数，并求收敛域。xn1n!n1（本小题满分7分）求由方程2x22y2z28yzz80所确定的隐函数zz（x,y）的极值。（本小题满分7分）计算二重积分x2y2）d,D由曲线xfly2,yaai,y1及x!围成D（本小题满分7分）利用格林公式计算xy2dyx2ydx，其中L是圆周x2y2a2（按逆时针方向）.L（本小题满分7分）计算dxdydz，其中是由柱面x2y21及平面z1,x0,y0所围成且在第一卦限内的区域

5、.四、综合题（共16分，每小题8分）1.（本小题满分8分）设级数u,v都收敛，证明级数（u）2收敛。nnnn33n0nO2.(本小题满分8分)设函数f(x,y)在R2内具有一阶连续偏导数，且f2x,x证明曲线积分2xydxf(x,y)dy与路径无关.若对任意的t恒有L(t,1)2xydxf(x,y)dy(1,t)2xydxf(x,y)dy，求f(x,y)的表达式.(0,0)(0,0)5分，每小题单选题(共填空题(共15分，每小题分)：分)1.C2D3C4B5A1.-12.I1dyef(x,y)dx-4n!3.2i4j2k45.(2,2)解答题(共54分，每小题-分7)”01.解：一x分(x2y

6、2arctanyxxyx2y2(6分).2.解：记切点(x,y,z)0002x则切平面的法向量为n2(2x,3y,z)满足：r0002注Z0，切点为：(1,1,2)或3(1丄血)分，切平面：2x3y2z9or9分，法线方程分别为:2x1y1z2t或者2324z-1z23分63.解：f(1,2)(2,4)(3分),(；2112J3(7分)4.解：131(3(2分)因为(1)n0 x(I,1)1(1)x3-3(5分)当x0时,级数为丄发散；当x6时,(7分)x31()3级数为(l)n01x3)3nO(1)n(-)n!(x3)n其中3n01()n!(x3)”，x(0,6),n!x由解：解54x012

7、z8y得至Ix0与y2z0(2分)4(y2z)012z8y8再代入2x22y2z28yzz80得到772z80即z1,7由此可知隐函数zz（x,y）的驻点为（0,血）与（0,16）。（4分）7由竺一,1H2zBBy2z2z4160,-，可知在驻点(0,血)与(0,)有H0。(5分)H21HzBy7在（0,2）点，在(0)点,7爭12zBy2z41，因此一z0，所以(0,2)为极小值点，极小值为z1;(6分)x215z40，所以(0,16)为极大值点，极大值为z8，(7分)215丫1y2x01y1y2)dy2)d8-,7因此6.解：记D:2X0D11y12y2)d解：L所围区域D：D1dy(x2

8、y2)dxd3dri202x2y2a2,由格D2(xy2)(x2y)a)dxdy=x2y2)dxdy=dxD解：如图，选取柱面坐标D.(2分)220-3林公式，7分）xy2dyx2ydxr20rdr分7071,:所以20r1,dydzHdzdrcossinrdr000分4n1cos2=2sin2dlr3dr=()o204四、综合题(共分，每小题1.证明：因为limu0,limvnnn故存在N,当nN时，（uvn2.证明：因为分)0分72分）)2u2v22unnnvnn3u方便,此时因此（u）2收敛。（8分）nn2x,且）2x，故曲线积分2xydxf（x,y）dy与路径无关.（4分）因此设f(x,y)x2g(y)，从而2xydxf(x,y)dy0dx2g(y