大物B课后题08

1、习题8-6 一根无限长直导线有交变电流i = I0 sino匚它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD， 如图所示，长为l的AB和CD两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a和b，试 求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS = ldx，载流长直导线的磁场 穿过该面元的磁通量为d = B - dS = *0 ldx m2兀X通过矩形面积CDEF的总磁通量为b日i 日il b 曰I I、b . =! 20 ldx = 2 ln 2 0 ln sin ot由法拉第电磁感应定律有du I lob = m = 0 0 ln cos ot

2、dt2 兀a8-7 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n，在管的中心放置一绕了N圈，半 径为,的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dIdt，球小 线圈中感应的电动势。解无限长直螺线管内部的磁场为通过N匝圆形小线圈的磁通量为 = NBS = N 七 nI n r 2由法拉第电磁感应定律有ddI = m = N |lx n 兀 r2 dt 0 dt8-8 一面积为S的小线圈在一单位长度线圈匝数为n，通过电流为i的长螺线管内，并与螺 线管共轴，若i = i0 sin o t，求小线圈中感生电动势的表达式。解 通过小线圈的磁通量为 = BS = U niS由法拉第电磁

3、感应定律有ddi = - J* = -U nS = u nSi o cos ot8-9 如图所示，矩形线圈ABCD放在B = 6.0 x 10-1T的均匀磁场中，磁场方向与线圈平 面的法线方向之间的夹角为a = 60。，长为0.20m的AB边可左右滑动。若令AB边以速率 v = 5.0m s-1向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。解利用动生电动势公式8 =f B(v x B) dl =j 25 x 0.6 x sin( - - 60)dl = 0.30(V) A02感应电流的方向从a B.8-10如图所示，两段导体AB和BC的长度均为10cm，它们在B处相接成角30。；磁场方

4、向垂直于纸面向里，其大小为B = 2.5x10-2T。若使导体在均匀磁场中以速率 v = 1.5m s-i运动，方向与AB段平行，试问AC间的电势差是多少？哪一端的电势高？解 导体AB段与运动方向平行，不切割磁场线，没有电动势产生BC段产生的动生电动 势为8 = (v x B) dl =j 1.101.5 x 2.5 x10 -2 x cos 60。dl =1.9 x 10 -3(V)AC间的电势差是U =-8 =-1.9 x 10-3(V)ACC端的电势高。8-11长为l的一金属棒ab，水平放置在均匀磁场B中，如图所示，金属棒可绕O点在水平 面内以角速度旋转，O点离a端的距离为。试求a,b两

5、端的电势差，并指出哪端电势 高(设k2)解建立如图所示的坐标系，在Ob棒上任一位置x处取一微元dx，该微元产生的动生电动势为d 8 = (v x B) dx = 一 xBdxOb棒产生的动生电动势为1 ，一 1、8 =jl l k -wxBdx = - 2 Bl 2(1 一 )2同理，Oa棒产生的动生电动势为1 128 =j1 一 xBdx = Bl 2 Oa 02k 2金属棒a,b两端的电电势差U =-8ab ab=8 -8 =-1 Bl 2 - 1 Bl 2(1-)2 = Bl 2(1- 2)Oa Ob 2k22k 2k因k2，所以a端电势高。8-12如图所示，真空中一载有稳恒电流I的无限

6、长直导线旁有一半圆形导线回路，其半径 为,，回路平面与长直导线垂直，且半圆形直径cd的延长线与长直导线相交，导线与圆心 O之间距离为l，无限长直导线的电流方向垂直纸面向内，当回路以速度v垂直纸面向外运 动时，求：(1)回路中感应电动势的大小；(2)半圆弧导线cd中感应电动势的大小。解 (1)由于无限长直导线所产生的磁场方向与半圆形导线所在平面平行，因此当导线回 路运动时，通过它的磁通量不随时间改变，导线回路中感应电动势 = 0。(2)半圆形导线中的感应电动势与直导线中的感应电动势大小相等，方向相反，所以 可由直导线计算感应电动势的大小选取x轴如图8.7所示，在x处取线元dx,dx中产生感应电动

7、势大小为d = (v x B ) dl其中B二七/2兀x导线cd及圆弧cd产生感应电动势的大小均为i+rvBdx =H j i+也也 ln 也l - r2 兀 ir X2兀1 r8-13在半径R = 0.50m的圆柱体内有均匀磁场，其方向与圆柱体的轴线平行，且 dBdt = 1.0 x 10-2 T s-1，圆柱体外无磁场，试求离开中心O的距离分别为0.1m,0.25 m,0.50 m,1.0m和各点的感生电场的场强。解 变化的磁场产生感生电场线是以圆柱轴线为圆心的一系列同心圆，因此有J E感 dl = JJ* dS LSr,翌-dS =-竺丸r 2dtdtS当r R时，所以r = 0.1m时

8、，dBE感2兀r = -d兀r 21 dB2 F=5.0 x 10-4v m-1 ； r = 0.25m时，。E感=1.3x 10-3 m-1dBE 2兀 r =兀 R2 感dtE =-R2 dB感 2r dt所以 r = 0.50m 时，E感=2.5 x 10 -3V m-1； r = 1.0m 时 E感=1.25 x 10-3V m-18-14如图所示，磁感应强度为B的均匀磁场充满在半径为R的圆柱体内，有一长为l的金 属棒ab放在该磁场中，如果B以速率dB dt变化，试证：由变化磁场所产生并作用于棒两dB 1 一端的电动势等于-霓2 -证明 方法一 连接Oa,Ob,设想Oab构成闭合回路，

9、由于Oa,Ob沿半径方向，与通过该处 的感生电场处垂直，所以Oa,Ob两段均无电动势，这样由法拉第电磁感应定律求出的闭合 回路Oab的总电动势就是棒ab两端电动势。根据法拉第电磁感应定律 井=-sdB=dB 1 /,r2- ab Oab dt dt 2 方法二 变化的磁场在圆柱体内产生的感生电场为E =-1 rdB感 2 dt棒ab两端的电动势为R 2-r1)2e =lE dx =lE cos9dx = 1 -1 ,竺 2 dx = dB 1 lIr2-(1Yab 0 感 o 感02 dt rdt 2、2 J8-15如图所示，两根横截面半径为a的平行长直导线，中心相距d，它们载有大小相等、 方

10、向相反的电流，属于同一回路，设导线内部的磁通量可以忽略不计，试证明这样一对导线 长为l的一段的自感为L = N ln 质。兀 a解两根平行长直导线在它们之间产生的磁感应强度为穿过两根导线间长为dx的一段的磁通量为 =fd - aB dS =+ 尸 o1、ldx m aa_ 2兀 x 2兀(d - x ；四 ll i d - a兀 a所以，一对长为的一段导线的自感为 旦 l d a L = m = a inI 兀 a8-16 一均匀密绕的环形螺线管，环的平均半径为R，管的横截面积为S，环的总匝数为N， 管内充满磁导率为R的磁介质。求此环形螺线管的自感系数L。解 当环形螺线管中通有电流I时，管中的

11、磁感应强度为曰INB = UnI =2兀R通过环形螺线管的磁链为V = N =成竺m m2 冗 R则环形螺线管的自感系数为8-17由两薄圆筒构成的同轴电缆，内筒半径R1,外筒半径为R2，两筒间的介质七二1。设 内圆筒和外圆筒中的电流方向相反，而电流强度I相等，求长度为l的一段同轴电缆所储磁 能为多少？解有安培环路定理可求得同轴电缆在空间不同区域的磁感应强度为r % 时，B = 0R r R2 时，B3 = 0在长为L，内径为r，外径为r + dr的同轴薄圆筒的体积dV = 2兀rldr中磁场能量为dW = 1 竺 dV = drm 2旦4兀r0所以，长度为l的一段同轴电缆所储能为 TOC o

12、1-5 h z HYPERLINK l bookmark161 o Current Document r 旦 12 r .旦 12lRW = J 2 dr =ln 2m r 4冗r4冗R1i补充在同时存在电场和磁场的空间区域中，某点P的电场强度为E，磁感应强度为B，此空 间区域介质的介电常数%，磁导率PR*。求P点处电场和磁场的总能量体密度巧。 解电场能量密度为1 口W =8 E2e 2 0磁场能量密度为1 B 2w =m 2 p0总能量密度为11 B2w = w + w =8 E2 +*08-19 一小圆线圈面积为S1 = 4.0 cm 2，由表面绝缘的细导线绕成，其匝数为= 50，把它 放

13、在另一半径R2 = 20cm，N2 = 100匝的圆线圈中心，两线圈同轴共面。如果把大线圈在 小线圈中产生的磁场看成是均匀的，试求这两个线圈之间的互感；如果大线圈导线中的电流 每秒减少50A，试求小线圈中的感应电动势。解当大圆形线圈通有/ 2时它在小圆形线圈中心处的磁感应强度大小为B = N “222 2R2若把大圆形线圈在小圆形线圈中产生的磁场看成是均匀的，则通过小圆形线圈的磁链为W = N B S = NN Sm 1 2 11 2 2 R1两个线圈之间的互感为2 x 0.2M 工=NN2“ = 50 x100 x4丸 x10-7 x4.0 x10-4 = 6.28x10-6（H）122 R

14、22 x 0.2如果大线圈导线中的电流每秒减少50A，则小线圈中的感应电动势为s = -M 些=6.28 x10一6 x50 = 3.14x10一4（V） dt8-20 一螺线管长为30cm。由2500匝漆包导线均匀密绕而成，其中铁芯的相对磁导率 七=100，当它的导线中通有2.0A的电流时，求螺线管中心处的磁场能量密度。解 螺线管中的磁感应强度为B = “ nI = “ NI 0 r0 r l螺线管中的磁场能量密度为1 B2f ”，w = 1.74 x 105 J / m3“0 r8-21 一根长直导线载有电流I，且I均匀地分布在导线的横截面上，试求在长度为l的一段 导线内部的磁场能量。解有

15、安培环路定理可得长直导线内部的磁感应强度为B =些2兀R 2在长度为l的一段导线内部的磁场能量w 顼j1 竺 dV = jR “0 2兀 rldr = “Jm 2 “0 4兀 2 R 416兀08-22 一同轴线由很长的直导线和套在它外面的同轴圆筒构成，它们之间充满了相对磁导率为“ =1的介质，假定导线的半径为R，圆筒的内外半径分别为R和R ，电流I由圆 r123筒流出，由直导线流回，并均匀地分布在它们的横截面上，试求：1）在空间各个范围内的 磁能密度表达式;（2）当=10皿,气=4.0 mm, q H.Omm,/ = 1%时，在每米长度的同轴线中所储存的磁场能量。解 （1）有安培环路定理可得

16、在空间各个范围内的磁感应强度为r R时B =旦匚；R r R 时B =炬112兀 R 21222兀 r1R r R 时 B = 02332兀 r R 2 R 234321 B2=1-2旦0相应地，空间各个范围内的磁能密度为空；R r R3R2 r R3 时 w（2）每米长度的同轴线中所储存的磁场能量为= fffw dV = jjjw dV + jjjw dV + jjjw dV + jjjw dV = U 12R31R2 TOC o 1-5 h z m1m2 m3m4 m22 兀 rdr + 0=jR1 U02r2 2兀 rdr + j% U0” 2兀 rdr + j0 8 兀 2 R 2R

17、8 兀 2 r 211R 2R 4 R 43+32-R3 R22 4 R2 R 2=1.7 x10-5( J)U 121 1 | R R 4ln(R,R ) -0 I - + ln + 3 3 十4 兀 | 4 Rr 2 R 2 ) HYPERLINK l bookmark196 o Current Document L132dU _、- 8-23证明电容C的平行板电容器，极板间的位移电流强度七=。不，U是电容器两极板 间的电势差。证明 由于平行板中D=。，所以穿过极板位移电位移通量巾=jj D dS = b S = q = CUS平行板电容器中的位移电流强度 =d% = d（CU ） = C

18、dUd dt dt dt电荷在电容器极板8-24设圆形平行板电容器的交变电场为E = 720sin （105兀t）V m-1上均匀分布，且边缘效应可以忽略，试求：（1）电容器两极板间的位移电流密度；（2）在距 离电容器极板中心连线为r = 1.0cm处，经过时间t = 2.0 x10-5s时的磁感应强度的大小。解（1）电容器两极板间的位移电流密度为j = = 2.00 x10-3 cos 05兀 t）4m2d dt 0 at（2）以电容器极板中心连线为圆心，以r = 1.0cm为半径做一圆周。由全电流安培环路定律有。H dl =迎D dt所以dEH 2 兀 r =k r 28 0 dtn 1 dEH r8 2 0 dt经过时间时$ = 2.0 X10-5 S，磁感应强度的大小为B =日 H = 0o 竺=1.26 x 10-11（T ）02 dt8-25试确定哪一个麦克斯韦方程相当于或包括下列事实：（1）电场线仅起始或终止与电荷或无穷远处；（2）位移电流；（3）在静电平衡条件下，导体内部可能有任何电荷；