实验三 动物繁殖问题

1、数学与应用数学系201 3201 4学年第二学期实验报告班级：数学101学号： 姓名： 实验时间：2014年3月23日实验项目实验三动物繁殖问题所属课程数学实验实 验 目 的掌握Mathematica软件的计算器功能；了解矩阵的方幕和矩阵的特征值的应用(3)巩固线性代数的有关知识，培养学生用矩阵知识解决实际问题的能力。实 验 内 容某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0-5岁；第 二组，6-10岁；第三组，11-15岁。动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二年龄组的 动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。

2、第一年龄组和1第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为二和丁。假设农场现有三个年龄段的动物4各1000头，计算5年后、10年后、15年后各年龄段动物数量。20年后农场三个年龄段的动物的情况 会怎样？根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值k，有X俄+1)5 X(k) ( X (k)分别表示k年后的1动物数分布向量。人是莱斯利矩阵乙的惟一正特征值)。请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当 的k的值。如果每五年平均向市场供应动物数c = s s s，在20年后农场动物不至灭绝的前提下，c应取多少为好？1、建立动物各年龄段数量预测模型。2、利用所建模型，用数学软件计算5年后、10年后

3、、15年后各年龄段动物数量。并判断20年后 农场三个年龄段的动物的情况会怎样？3、检验X(k+1)xX X(k)这一结果是否正确，如果正确给出适当的k的值。14、 如果每五年平均向市场供应动物数c = s s s卜，在20年后农场动物不至灭绝的前提下，c应取多少为好？实 验 结 果、 不 够 可 另 附 纸 1 .问题分析和数学模型由题设，在初始时刻05岁、610岁、1115岁的三个年龄段动物数量分别为：r(o)见)见)V =1000，心=1000，心=1000以五年为一个年龄段，则某一时刻三个年龄段的动物数量可以用一个向量X=x1 x2 x3T表示。以五年为个时间段，记X(k) = x1(k

4、) x2(k) x3(k) T为第k个时间段动物数分布向量。当k= 0，1，2, 3时，X(k)分别表示现在、五年后、 十年后、十五年后的动物数分布向量。根据第二年龄组和第三年龄组动物的繁殖能力，在 第k个时间段，第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组动物在其年龄 段平均繁殖3个后代。由此得第一个年龄组在第k+1个时间段的数量如下 件】=4孝 +述1同理，根据第一年龄组和第二年龄组的存活率，可得等式建立数学模型如下时日=4老)+3晔 ，件)=0.我件（k=0， 1， 2， 3）(1) 043”=0.5000 0.25 0（k = 0， 1， 2， 3） （2）对叫=0.25x或写

5、成矩阵形式由此得向量X(k)和X(k+1)的递推关系式X(k+1) = LX(k) (3)其中，矩阵0430.50000.250L =称为莱斯利矩阵。由式(3)可得X(k+1) = L k+1X (0)2 .程序和计算结果为了计算5年后、十年后、十五年后农场中动物的数量，输入初始数据和莱斯利矩阵在mathmetica中键入下面命令x0=1000,1000,1000;A=0 ,4 ,3, 1/2, 0 ,0,0,1/4,0;Printx1=,x1Printx2=,x2Printx3=,x3Printx4=,x4可得数据结果x1= 7000,500,250 x2= 2750,3500,125 x3

6、= 14375,1375,875x4 8125, 14375 ,2为了计算莱斯利矩阵的特征值，键入下面命令EigenvaluesAPrint特征值=,Na得数据ans =特征值=1.5,-1.30902,-0.190983这说明矩阵A的唯一正特征值为妇.5为了验证运行下面程序x=1000;1000;1000;d1=1.5;x=1000,1000,1000;a1=1.5;A=0 ,4 ,3, 1/2, 0 ,0,0,1/4,0;y=A.x;y1=a1*x;k=1;While MaxAbsy-y11,x=y;y=A.x;y1=a1*x;k+;Printk=,k可知，当K=282时，有结论 工如、否

7、X耕成立。3 .问题解答与进一步思考根据数学模型计算将数据结果填写如下表1k(现在)k=1 (五年后)k=2(十年后)k=3(十五年后)k=4(20 年后)x1100070002750143758125x21000500350013757187.5x31000250125875343.8从表中数据变化，如果没有其它的原因，估计农场的动物总数量会逐步增加。在验证生物学研究的结论& 妃 时，当k=282可以得到如下结论x=1.29234 1053, 4.30778 1052, 7.17这说明多年以后，动物数量是大得非常惊人的。如果每个五年平均向市场供应动物c=s s sT，分析动物数分布向量变化规律可知X(1) = AX(0) - cX(2) = AX(1) - cX(3) = AX(2) - cX(4) = AX(3) - c所以有X(4) = A4X(0) - (A3 + A2 + A + I )c 考虑二十年后动物不灭绝，应有X(4)