高等动力学课件：lecture8_enegy

1、 Lecture 8能量原理功、势能：内容回顾质点系内力所做的功弹簧的内力总是做负功万有引力刚体上的外力做功：理想约束不做功保守力动能动能是对物体运动形式所具有能量的一种度量方式。 运动的物体也具有做功的能力，这种能力称为动能。按照以上传统的定义，必然需要引入力的概念，这种力，莱布尼斯称为活力。依照现在的观点，显然这一活力可以认为是惯性力：-mdv该惯性力所做的元功为如果考虑空间中存在一个速度场，当从1点移到2点时，惯性力所做的功为质点动能的定义动能质点系的动能为平动刚体的动能：平动刚体的假设，使质点系各个质点在同一瞬时具有相同的速度定轴转动刚体的动能：定轴转动刚体，使质点系上各个质点在同一时

2、刻满足一定的速度分布关系。定轴转动刚体的动能为动能在质心上建立平动坐标系，则刚体上任意质点的速度可表示为则，组成刚体质点系的动能为由于寇尼格定理质点系的动能等于系统的质量全部集中在质心时质心的动能，再加上相对质心平动参考系的功能注意：质点系动能的计算过程中，由于涉及到质点的速度，因此，动能计算量必然与参考系相关。一般情况下，以上动能的计算隐含着相对于惯性参考系。例子半径为R的圆环在平面内绕O点转动，转角是。小珠m可在环上自由滑动,小珠相对于环的转角为.求小珠的动能。 例子运动学分析：按照复合运动进行分解：相对运动：绕大圆环的圆周运动牵连运动：大圆环相对于O点的定轴转动。小珠的相对速度为小珠的牵

3、连速度小珠的绝对速度：按照余弦定理小珠的动能整个系统的动能纯滚动刚体的动能 质量为M，半径为R的均质圆柱体，沿水平面作纯滚动，角速度为。求圆柱体的功能。 纯滚动刚体的动能圆柱做纯滚动，故角速度与质心速度之间存在如下的运动学关系：根据Konig定理，圆盘的动能为思考题：如果A点为速度瞬心，则圆盘的动能是否可以表示为Prodf:如果A点为速度瞬心，则有刚体上的任意一点的速度可表示为圆盘的动能为多体系统的动能 质量为m的滑块在水平轴x上滑动,它与质量为M,长为的均质杆AB用铰链相连,杆可在竖直平面内自由转动.求系统的动能。 多体系统的动能 滑块的动能 杆的动能：质心处的速度整个多体系统的动能质点动能

4、在不同坐标系中的表示速度的内积为设将质点的速度表达为曲线坐标的形式则，在曲线坐标系下，质点的绝对速度为其中：gjk即为黎曼几何中的尺度矩阵特殊情况下，当曲线坐标系定义的基坐标为正交曲线坐标系时质点动能在不同坐标系中的表示质点在曲线坐标系中的动能表示为直角坐标系柱坐标系球坐标系受约束质点系的动能质点系由n个质点组成 ，质点系具有 s 个自由度，一般来说，可以选择s个独立的参数来描述质点的运动情况。每个质点在曲线坐标系下的向径和速度为以上描述依赖于Jaccobi矩阵是满秩的（非奇异的情形）在Jaccobi矩阵是满秩的条件下，速度内积具有如下的形式受约束质点系的动能将以上各项按照关于广义速度的次数进

5、行划分，质点系的动能可表示为可以证明，T2是关于广义速度的正定二次型。即T20; T2=0 only if dot(qj)=0因为所以， T2是关于广义速度的正定二次型。动能定理质点系中第i个质点的质量为mi速度为 对应每个质点，其动能的微分为设该质点系所受到的外力为Fi, 内力为Fij根据上式，可以看出，存在如下关系动能定理动能定理：系统动能的微分等于外力元功和内力元功之和。这就是动能定化定理 注意：以上公式成立的前提条件是，将动能表达为在惯性参考系中的动能，这样，才能满足牛顿定律。考虑质点系从状态1变化到状态2，积分动能定理可得到如下的积分形式注意：一般情况下，应用动能定理既要考虑外力所做

6、的功，也要考虑内力所做的功简单情况：内力系所做的总功为零；理想约束外力系所做的总功为零（动能的变化仅仅是质点系内部力做功导致的结果）例子1：两个相同的小球A和B用一弹簧连接，放在光滑水平面上，弹簧刚度系数为k，小球质量为m。设开始时弹簧为原长，且球A的速度为零，B球以初速度u向右运动，求系统动能的变化规律以及弹簧力所做的功。ABC例子1：ABC设系统的质心为C, 质点系外力的主向量为零，质心动量守恒。初始条件为：在质心C处建立平动参考系，该参考系为惯性参考系。设CB=x, 则在该平动参考系下，质点B的动力学方程为该微分方程的解为例子1：ABC质点A的运动与质点B的运动对称在质心平动参考系下的动

7、能为相对于固定参考系下的动能为弹簧力所做的功为例子2：光滑水平面上有两个小球，质量均为m。它们用一条不可伸长的绳子相连，绳长l。开始时两小球紧挨着，设小球1获得一初速u并设当绳子被拉直以后两球的速度相等（？），分析两个小球的运动和绳了的张力。例子2：假设冲击过程发生在-0,+0, 按照动量守恒条件有假设，冲击后两球的速度相等：冲击前后，该系统的动能变化为如果假设系统的能量守恒，并且假定冲击前后两质点的速度相同，则有利用两个力学原理，得到的结果明显不同。如果柔绳一直绷紧，类似在两个质点之间存在一个刚性约束，内力所做的功为在刚性条件下，内力所做的功为零，这是理想约束。例子2：当柔性绳由松变紧的过程

8、中，按照题目给定的假设，作用在A、B两球上的冲击力的幅值均为内力所做的功为显然，能量不守恒的原因是由于题目给定的运动条件约束所导致的结果例子3：“悠悠”（yo-yo 菲列宾语）是一玩具，它是一木制圆柱体，中间刻有凹槽，凹槽内有一轴，上面绕着绳子。设它对中心轴的回转半径为K，轴的半径R，悠悠从静止也发，下落一距离y,求 其中心的速度大小v和加速度大小a。 例子3：假设绳子一直绷紧，则绳子为理想约束，因此，绳子中的张力做功为零。该系统受到的外力只有重力，为保守力，系统的机械能守恒。根据运动学条件有故有对上式微分由于所以刚体的动能定理：根据质心运动定理 质点系质心动能的变化，等于假想把所有外力都平移

9、到质心C后所作的功，它形式上与内力无关 考虑质点系质心的动能变化规律故例：人走路的过程，虽然摩擦力不做功，但人体内力所做功的效果，从平均意义上可以等价为摩擦力所做的功平动参考系中的动能定理：平动参考系下的动能变化定理惯性系中动能变化定理 冠尼格定理 则有在质心平动参考系中，动能的微分（相对的动能）等于外力和内力元功之和。不同惯性系下的动能定理：质点在新老惯性系中的速度关系动能的表达式 对上述动能的微分在新老两个参考系中功的关系 不同惯性系下的动能定理：动能的微分在新老两个参考系中功的关系 结论;在不同的惯性系中，动能变化定理在形式上是完全相同的 机械能守恒：动能变化定理 对力重新分类保守力所作的功 物体的机械能 物体系机械能的改变量等于所有非保守力作的功 机械能守恒的条件如果除