离散系统2-z变换自动控制原理a

1、第六章线性系统的校正方法Z变换Z变换大学自动化系市延长路149号地址:：200072电子邮件:Z变换采样函数 f (t) f (t) (t kT )k 0对其进行拉氏变换： (t kT)t) F (s) f (kT)ekts*Lf(kT)k 0k 0Z f (t) F (z) f (kT )zk令z eTs，则上式变为k 0此式称为采样函数 f (t) 的Z变换。f (t)F（z)是的Z变换Z变换二、Z变换的方法1、级数求和法例8-1求1*（t）的Z变换 。解：F (z) Z1(t) 1(kT )zkk 01z z0 z1 z2 例8-2求 eat 的F(Z)。1 z1z 1解：F z eak

2、T zk e0 z0 ez2ak 01za1eZ变换2、部分分式法a例8-3的Z变换 。求解F (s) s(s a)F s A B 1 1解：因为s as assL1F s 1(t) eat而z(1 eaT )zzF (z) 所以z 1z ea)Z变换si F(z例8-4求 s s 1 1解： Lsin t 2 j222 j 2 j 2 j 2 2s js js2s2 e j (t )1L1因为 s j 1111F (z) z所以 22 j 1 e jT z12 j 1 e jT z1z1 sin T s2z1 sin T1 e jT z1 e jT z1 z21 2z1 cosT z2Z变换

3、3、留数计算法设连续函数f(t)的变换F(S)及全部极点已知,则可用留数计算法求Z变换nf *( ) reFnzF (z ZpRiiz eii1i1当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为pF (s)zlims p111i当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为d q1dsq11zR s qlim(s)1q )!i1Z变换cos t例85的Z变换求ss)(解: s(s)(j)sz 1zj)lim (1(s 2 z eesTz)(sj) zs j 1zjlim22 z e(s sT)(j) Z变换 t 的Z变换例86ft求1)(解:两阶重极点!s2 s limd z d1zTzR lim)2ds

4、 z s2sTsT)2ds s0s0Tz)(z )2T 2 z z )z 2ftz )3Z变换常用函数的Z变换)()(Fz t111 t1szz 1t1s 2zT z )2t 21s 3z)22z )3e at1zaT teat12zTe aT z eaT2sin ts 2 2sin z2 2in cos tss 2 2z2 cos z2 2os Z变换)(: 像: 原像* )(E(z e*(t) Z E) ) E*e t)注：z 变换只对离散信号而言E(z) 只对应惟一的e*(t)，不对应惟一的e (t)6.3.2 z变换方法级数求和法（定义法）查表法（部分分式展开法） TsE(z e*(

5、) *(se nT ) znn0Z变换tT例1eE1 z n0 z1 za1e jte jt 1例2 si e(2 j(ez1n 1e11 )nj nTj nTnz E2 j2 jn0n01 z1 11zj T2 j 1 e jT z1j Tz12 j 1 ej T )sin1z(j T co (z 1z2z22 jZ变换 例3解.eE T z1 T znz2z3n0 Tz 2zz2d dz dd Tzz1z3 dzdzz1 ddz ddz Tzz11 z1 z2 TzTzd1d Tz Tzdz z 1dz (z 1)21 1Z变换1,求E(z)=?例4解.)()() 1 s ( b) 1)(

6、1(s a)()a b s aebt)(a banT 1 bnTnE zeezn0 1 n01naT1n z) z)(e(en011z11za b 1 ebT1aT z1bTaT1 Z变换Za 线性性质实位移定理 延迟定理) b a Ez b E*(*()z1212Ze(t nT nz)证： 左 e kT nTk 0k zj e( jT ) z(n j 0)( jT ) z j n(z) 右Z变换2. 实位移定理 超前定理证： 左 e kT nTk 0 z e kT nT zk znk 0j n n1 j z j z j( jT ) njTjTj 0j 0n1 ) (kT ) zk zn 右E

7、(k 0n1Ze(t nT zn E z) e(kT ) zkk 0Z变换3. 复位移定理 e nT anT n证：左 e nn0nT anTn0 e a nT1 eanT 右 e nT zn)(11k 0 eaTe例7Tz eaT eaTTzzTt 1EaT1z1 zeaTz 2)2aT)21Ze t eat Ez eaT Z变换4. 初值定理证： e nT ) zn0nE(z e()0 e(1) z10).0792 z223()2()3limE(z例)(8z .0416 0.02082) limEezzlime nT lim)(n0zZ变换5. 终值定理证Ze(t Te t) z e 0)

8、( )： ( 1)(z z e 0)e(t T ) e(t)(z 1)E(z z 0) n e(n 1)T e nT zz )E(z) limz elim)z1 z1n0 e(0) e(1 e 0) (2 1) 3() 2().0792 z2例)(9z .0416.02082).0792 z2 1)E(z) lime lim 0.416.02082 z1z1lime nT lim ) (z)nz1Z变换6. 卷积定理设：则t e(kT ) g(k 0z)* gTz GC：(证明见6.3.4 Z 反变换幂级数法（长除法）查表法（部分分式展开法）以)(的形式展开e(nT Re E( ) zn1留数

9、法（反演积分法）Z变换四、Z反变换Z反变换是已知Z变换表达式F（Z）f(nT)的过程 Z 1f (nTF(z)只能求出序列的表达式，而不能求出它的连续函数！求解方法：长除法、部分分式法、留数法。1、长除法（幂级数法）要点：将F（Z）用长除法变化为降幂排列的展形式。m1zmbb)(01m1a z a10n2 n0 c c z1 czn102nZ变换Z反变换为c1(t T ) c2 (t 2T ) cn (t nT ) ftc0tnT cnf也即：10z)(例87的Z反变换求)2)(10z1解：10z( ) 1232Z变换F(z) 10z1 30z234 70150t 15030t T 70t 1

10、0t T ) f)Z变换1.部分分式法（因式分解法，查表法）( )步骤：先将变换式写成，展开成部分分式，zn i1)(Aizi两端乘以Zn)( ii1i查Z变换表Z变换10z)(例88的Z反变换求)()2解：)( 10 10 10z )()2 2z 1z10z 10z)(z 2z 1 10 2n 10 10(*nft)Z变换3.留数法（反演积分法） 1nZn1dz 1fnT)(ZRe s(2jci)Zn1 Re s(函数F(z)zn-1在极点Z 处的留数ii曲线C可以是包含F(z)zn-1全部极点的任意封闭曲线若Zi为一重极点zn1zn1limRe s()F (zzziii若Zi为q重极点n1

11、d q11n1lim(z qRe s(zz ) F (zziq )!q1dziiZ变换10z)(例89的Z反变换求)()210zn解：n1)(z有两个一重极点1()(0.z1 1z2 210znn1 Relim (z F (z z)110z111()()2z110znn1 Relim (znF (z z)2102z221()(2)z22 Re sF (Zi1n1R 10 10 2nfTzziZ变换Tz)(例810的Z反变换求z Tzn)2解：n1)(zz )2z 1有一个两重极点Tzn1dR ()!lim(z )1)2 nT2z dzz1nT R nTfZ变换 10z，分别用三种方法求e*(t

12、)例10)(。 )()210z解法I: (长除法) 10z1 30z2 70z3 150z4 10z1 30z2 70z3 150z4 )(2210zz 30 201010t 10 t T*e11 20 90030 30 70 ( 150 ( 3 4)2 6030z0112 607070 2102 140z3)23 140150Z变换 10z，分别用三种方法求e*(t)例10)(。 )()2解法II: (查表法 部分分式展开法)10z)(210)(1011z 10 )2 2 1z z2)()( 10 tz tz )( 10 TTe*(t en0 nT ) 10(2n 1) n0t nTZ变换

13、10z，分别用三种方法求e*(t)例10)(。 )()2 Re E(n1) e(nT解法III: (留数法 反演积分法)10z10z)( )()22e(nT Re E(n1 ) n1n110 10 lim (z 1) lim (z 2) ( 1)()2)2)(z1z210zn10zn 10 10 2n lim lim n10() z 2 z 1z1z2e*(t en0 10(2n 1) n0nT )t nTZ变换，分别用查表法、留数法求e*(t)。z2例)(11 0.z.8)(查表法：)(C1C2 0.zz z z.8)(.8).1) 1z 8C limC lim2z 1z .8)7.1)7z

14、0z078 71.8).1) 8 z 1 z)(z z 7.8)7.1)tte(nT ) (8 0 0( ) (8 0 0) / 7) / 7TT) (8 0.8 0.1 ) / 7 t nT* (n0Z变换，分别用查表法、留数法求e*(t)。z2例11)( 0.8)( Re E(n1 留数法：) e(nTn limz e nT.8).8)( 0.z0nz lim.1) 0.8)(z0n1n1 0 000.781( * 07n 0.1 ) 7nt nTn0Z变换5例12，用留数法求e*(t)。)(25e(nT ) E(z) zn1 zn1ResRes解. 25 zn11dlim(2 1)!2e nTdz 2 zn1 ) d im5ldz 5 limn2 zan2 5 ) e*( ) 5( 1 an2 t nT )n0Z变换只反映采样点上的信息；以下条件不满足时，连续信号在采样点处会有跳变。 2 1 +零阶保持器lim(s Z变换 en06.3.1 zn e*( ) *z变换定义E(zsnTTs6.3.2 常见函数的z变换)(1 1) 1)(z )2Tz z zz sinTaT2 os2() 1)z(z cos T )2cos2(Z变换Za ) a E) b b Ez)z) e(kT ) zkk 01.线性