平面向量与解三角形单元检测题(含标准答案)

1、平面向量与解三角形单元检测题一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).设x,yCR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,4),且a,c,b/c,则|a+b|=()A.V5B.Vl0C.275D.10uuu1uuuumuuur.在ABC中，N是AC边上一点，且AN=NC,P是BN上的一点，若AP=mAB+uuuAC,则实数m的值为()911A-B-C.1D.3933.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,1),D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为A.乎 B.噌C.乎D.3,1524,在直角坐标系xOy中，A

2、B=(2,1),AC=(3,k),若三角形ABC是直角三角形，则的可能值个数是()A.1B.2C.3D.45.已知向量a与b的夹角为120,|a|=3,|a+b|=F3,则|b|等于().A.5B.4C.3D.16.在四边形ABCD中，AC=(1,2),EBD=(-4,2),则该四边形的面积为A.V5B.2V5C.5D.10T TT7.如图所示，非零向量UA=aB=b,且bc OA,C为垂足，若0C=油(入w则，入=()8.在ABC中,sin2AWsiB+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是()冗冗冗冗(A)(0,6/(C)(0,3(D)3,)9.设 ABC的内角A, B, C所对边

3、分别为a, b, c若 b+c= 2a,3sin A= 5sin B,则角 C=兀A 3c 2兀 B.35兀D.一6.在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则 A, B, C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数 )使彳#OC= XOA+(1- ?)OB成立，此时称实数 入为 向量OC关于OA和OB的终点共线分解系数”.若已知Pi(3, 1), P2(1,3),且向量标3与向量a= (1,1)垂直，则向量标3关于OPi和OP2的终点共线分解系数”为()A. - 3 B. 3 C. 1 D. 1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上).在平面直角坐标系 x

4、Oy中，已知OA = (-1, t), OB = (2,2).若/ABO = 90。，则实数t的值为.已知a=(1,2),b=(1,九若a与b的夹角为钝角，则实数入的取值范围是.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点，则AEBD=.兀4.一.一.、.设ei,e2为单位向重，且ei,e2的夹角为可，右a=e+3e2,b=2ei,则向重a在b方向3上的射影为.若非零向量a,b满足同=|b|,(2a+b)b=0,则a与b的夹角为.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).已知ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(

5、sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m/n,求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp,边长c=2,角C=3,求ABC的面积.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列；(2)若C=，求a的值.3b.在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且a=c+bcosC.2(1)求角B的大小；(2)若S4abc=J3,求b的最小值.C0A3.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos22+ccos2|=2b.(1)求证：a,b,c成等差数列；(2)若/B=60,b=4,求

6、ABC的面积.AABC为一个等腰三角形形状的空地，腰AC的长为3(百米)，底AB的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为6和S2.(1)若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；(2)若小路的端点E、F两点分别在两腰上，求告的最小值.已知ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满口sinBsinC2cosBcosCsinAcosA(1)证明：bc2a；(2)如图，点。是AABC外一点，设AOB(0),OA=2OB=2,当bc时，求平面四边形OACB面积的最最大值。urnum 2 u

7、uu uunAP =m ABAC =mAB9+3uuuAN ,因为B, P, N三点共线，所以m+ 2= 1,所以 m=- 33.3.A解析 AB=(2, 1), C&=(5, 5),所以AB在CD方向上的投4.B 解析：.若/ A= 90,则AB AC=6+k=0, k= 6;若/ B=90,则 AB BC = AB (ACAB) = 0, 6+k 5= 0, k= 1;若/C=90,则 AC CB=AC (ABAC)=0, k2k+3=0 无解.，综上，k可能取6, 1两个数.故选B.B解析 向量a与b的夹角为120, |a|=3, |a+b|= 03,3则 a b= |a|b| cos

8、120 =1切，|a+ b|2= |a|2 + 2a b+ |b|2.所以 13=9-3|b|+|b|2,则 |b|= 1(舍去)或|b|=4.C解析 因为aC bD = 0,所以ACBD.故四边形 ABCD 的面积 S=1|AC|bD|=2V5x2&=5.A【解析】口04,即取0(：,所以 QC-OH) OC=0,所以 pl： jOB 0C=0,即乃|a2-入a,b=0,入w解得入W .C.解析：根据正弦定理，由 sin2Aw siRB+sin2C-sin Bsin C 得 a2w2+c2-bc,222b c a bc 1根据余弦7E理 cos A= = -2bc2bc 2一 一一一一 .兀

9、一又 0A 兀，0AW ，故选 C.39. B 【解析】由 3sin A=5sin B,得 3a=5b.又因为 b+ c= 2a, .57所以 a=gb, c=3b,5 一 一 7 一出 P a2+b2-c22- 3b 2所以cos C_2ab52X；bXb1 一、， 一一2因为c e (0,兀)所以c=g.参考答案:2x-4=0,x=2,1.B由题意可知，c解得42y=0,y=2.故a+b=(3,1),|a+b|=逆.uu口1uu口uuu1uu口2.选B如图，因为AN=1NC,所以AN=1AC,23D.解析：设6P3=(x,y),则由Op3，a知x+y=0,于是Op3=(x,-x),设Op3

10、=X5P什(1分标2,(x,-x)=?(3,1)+(1(一1,3)=(4A1,32万.4b1=x,于是4卜1+3-20,上一1.2x,urnuuuuuruuuuur5解析：ABOBOA=(3,2-t),由题意知OBAB=0,所以2X3+2(2-t)=0,t=5.-18,-2.因为a与b的夹角为钝角，所以cos0且cosO1,1所以ab0且a与b不反向.由ab0得1+2K0,故?=号.ab5-ab(e1+3e2)2e1=2e1+6e1&=5.|b|=|2e|=2.-by2.120【解析】-.(2a+b)b=0,.2ab+b2=0,1一ab=-2b2,设a与b的夹角为&又|a|=|b|,ab1-c

11、os仁湍二前一2，.9=120.解:(1)证明：:m/n,1.asinA=bsinB.即a聂=b，其中R是三角形ABC外接圆半径,2R2R故2=脑即ABC为等腰三角形.(2)由题意可知mp=0,即a(b2)+b(a2)=0.，a+b=ab.由余弦定理可知4=a2+b2ab=(a+b)23ab,即(ab)23ab4=0,ab=4(舍去ab=-1).故S=2absinC=24sin3=V3.(1)证明：由sinAsinB+sinBsinC+1-2sin2B=1得sinA+sinC-2sinB=0.一、.abc因为=，所以a+c-2b=0,sinAsinBsinC(2)解:由余弦定理c2：所以2b=

12、a+c,即a、b、c成等差数列.=a2+b2-2abcosC及2b=a+c,c=3得(a-2b)2=a2+b2-2ab12222一.即a2+4b2-4ab=a2+b2+ab,2也即3b2=5ab,所以=.b5.解:(1)由正弦定理可得sinA=-sinC+sinBcosC,2又因为A=tt-(B+C),所以sinA=sin(B+C),可得sinBcosC+cosBsinC=1sinC+sinBcosC,又sinC丰0,2即cosB=,所以B=一.23(2)因为SAabc=J3，所以gacsin=J3,所以ac=4,由余弦定理可知b2=a2+c2-acn2aac=ac,当且仅当a=c时等号成立.

13、所以b24,Pb知以b的最小值为2.2C2A1+cosC1+cosA3.解析：(1)acos22-+ccos2=a2+c2=b,即a(1+cosC)+c(1+cosA)=3b.由正弦定理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB,即sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB,sinA+sinC=2sinB.由正弦定理得，a+c=2b,故a,b,c成等差数列.(2)由/B=60,b=4及余弦定理得：42=a2+c22accos60；.(a+c)23ac=16,又由(1)知a+c=2b,代入上式得4b2-3ac=16,解得ac=16,.ABC的面积S=1acsinB=acsin60=4-J3.22.解:(1)E为AC中点时，则AE=EC=-,/3+31CE CFsinC xy2112 -1 =x y 22525，当x=y=一时取等节211答:最小值为112521.C1D证明士.一口炉疝仃2一匚nwAc:0与Csix!cosJsinEcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsink?