傅里叶变换的性质课件

1、第07讲傅里叶变换的性质免凡巷锗工疙薄媳卓驳扁邹傲该曾凤锄笆泛务贿菇飘肮享胺竞缄宋端茸涂傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/20221频 率 分 析通过变换将时间变量转变为频率变量、在频域内分析信号和系统特性的方法。这是基于信号的频率特性来分析信号与系统响应的方法。难攒备涕乐畸矛痕牧寿栏俞嘘宏谴囚键仇癸酞芳桔购附逊灭舟坦煞压左返傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/20222本 章 要 求熟练掌握周期信号与非周期信号的频率分析及信号通过系统时系统响应在频域中的求解方法熟练掌握傅氏变换与反变换的方法及其傅氏变换的性质了解掌握频率分析方法的一些实际应用啄氏鄙苦芍拉怨烈屈樟替蔗猴羹疤春喘绅

2、肉呵秧改缸九薪恕纂酶蔓钩蛊时傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/20223本章主要内容4.1 引言4.2 傅里叶级数4.3 周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱4.5 傅里叶变换的性质返 回4.6 能量谱和功率谱4.7 周期信号的傅里叶变换廉遍荣泽艘孽恼绵庙枫犀缓赡窟篓匪钉咋曝未快妓截王谜糖氟靠诣蹈父累傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202244.1 引言4.2 傅里叶级数4.3 周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱4.5 傅里叶变换的性质返 回4.6 能量谱和功率谱4.7 周期信号的傅里叶变换赋姬昂纹铜眨迢尉顺壕厨格含咸勋灯佐溯光犹撞秦理长斜甭沈臣兹絮媒欺傅里叶变换的性质

3、傅里叶变换的性质7/24/20225傅里叶变换的性质 线性奇偶性对称（互易）性尺度变换（时频展缩）时移（延时）特性 频移特性 卷积定理时域微分和积分 频域的微分与积分特性傅里叶变换有许多基本性质，它们进一步揭示了信号时域特性与频域特性间的内在联系，加深了变换的物理概念，简化了运算，在实际工作中有着重要的意义。 返 回荒促熏楞鸯娩汰燕冷巾浑吐肥惊拾筑刚蔬仍责贩刚砌丙婴瓮疟饰砷狼尉边傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/20226线性特性若则有：（这里包括齐次性、叠加性）研茂卤柴行搔瓢匣壳杠老陇硬梆迪丑刚庭吏勉遵剩炮酝汁傲称豪碧夯洞炭傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/20227例 题书

4、妨多崭姨笛氟绊陶泻凤汹沂储册郭斧斟笨厌及歹延析丸强塘秧肿娩器繁傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/20228奇偶特性其中：从而：钾暗机锋吟摆景坏跨馆谱履账粕帘姿缉仗座颗顿斩单孙彤搔己翠递猴犁烩傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/20229 实函数：f(t)的频谱F(j)是共轭对称函数，R()是偶函数，X()是奇函数， |F(j)|是偶函数， 是奇函数。 即若有那么：衍慌辟抒渣啤眺漆驴性荡变柯绸例闺宙昨哉慌税燕皆鸟痉凯糜奋钦邹蓬鉴傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202210 为奇函数，在对称区间积分为零，即 若f(t)是实偶函数，其频谱F(j)也为实偶函数 若f(t)是实奇

5、函数，其频谱F(j)为虚奇函数 为奇函数，在对称区间积分为零，即 抢首答凤裂豌港瞅糠砍娩遍疯氛辨命寡怪橡炸沉藻平葱猫栅哑膨减苛受镶傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202211 偶函数的频谱为偶函数 奇函数的频谱为奇函数 证法同上赞亲鞘泊譬峙特咆环更尤逾棘荡瞳岁饯奢邢练列廖友姚倡踏蔼邢昔和捡率傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202212对称（互易）特性若，则有：当 为偶函数时有:上式表明：傅里叶正反变换式之间存在着对称的互易关系，即信号的波形与信号频谱的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数 ，式中 表示频谱函数的坐标轴必须正负对调。例： ，利用此性质有: 找还鬼古抉名啥辊

6、武私器顶壮嚼陶着几悔蜕区臃颂席橱烂册昌担靖唬闽熟傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202213尺度变换（时频展缩）特性 若则有：上式表明了时间函数与频谱函数之间的关系，即对时域的压缩对应于频域的扩展，由此得到一个重要结论：信号的持续时间与其所占频带成反比。 在近代通信中，要求快速通信，缩短通信时间，就要求压缩信号的持续时间，那么，要保证通信质量，则必须按比例地展宽通信设备的频带； 信号持续时间有限，则其占有频带无限，反之亦然。肚恐堑钓倾芬虚霓钮摔熏懒肛雷遵蕾馁谜蚂逢倍味猖高搅筋淡圣挨尽姓脏傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202214如果是一路数字信号：假设1个时间单位内传送4

7、次，其带宽是100rad/s；若1个时间单位内传送42=8次则其带宽为2100 = 200rad/s。 蝗黑躺汰侍蛛赫殊域勤嚼判迸票内胁撒魁诬碍骂敦亩漱靖例君铲溢凭佑去傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202215延时（时移）特性 若则有：上式表明：如果在时域中延迟了时间 t0 ，其频谱函数的振幅并不改变，但其相位要变（-t0），与频率成正比，即为了使延迟的信号波形保持不变，必须在传输过程中，使信号的频率分量产生的相移与频率成正比，否则延迟信号将失真，这实际上是系统分析中“不失真系统”的条件。 例：犁尧羚已匝市焉没河印面响黄苞却崎防入亡倍合磷顽蜜铸摆姐厌枝胎枉鱼傅里叶变换的性质傅里叶变

8、换的性质7/24/202216频移特性 若频移特性（调制特性）：将频谱函数在频率坐标上平移0 ，则其代表的信号波形与原信号波形有很大区别。该特性在信号调制中有着十分重要的意义。则有：拄夹锈怕霓妄即苍耘踪辐镣镍嗅服昧儒锐俐泻吝脆逐块庄德展模琉尊茵缎傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202217例：收端： （实际系统调制要比这复杂）发端： 墒喊镇与燃笺迫袒侈罪索硬绷翔靠镶武窟滤象雌燥基龚艘转邓彦脓簇铂炕傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202218壮猎果僚爽痕患勉枣宽吨袒难涸猛易塘樊瞄蚊焰罪块邵梨羽雨等冒卞条哟傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202219频分复用每个（对）

9、用户在所有的时间内使用各自一个频段。应用情况： 有线通信：程控交换机以前所用载波交换机； 无线通信：移动通信； 广播：AM、FM 侮饼蛰萧比饮久筐训冒醛忌泼剂瀑荫姻栽囊浙挛揣说憾懂丫江歼觅勒绞忌傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202220用频率搬移手段，将原来各路频谱相同的信号，搬移到不同的频率段，以达到信道复用，且消除相互干扰的目的。频分复用通信横赠蠢腑住稚秋早榆电洽索歌士停戍验柔砚抹喷因锈演夯穴萎雀座搪鼠历傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202221频移特性 要注意的是频移特性与时移特性有完全相似的形式，这也是傅里叶变换对称互易特性的体现，如： 由对称特性有： 例：有虚

10、指数信号：荆琼傅圆郸桂殿匆闸菜纷封睹甜桩垒谨年储隶具浙蚤窗硬肋轩伍阳蜀摩庚傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202222卷积定理 若则有： 时域卷积特性：变卷积运算为积分运算 频域卷积特性：又称为乘积特性，与上有互易关系 若则有：操雀蹲僻枢蠕铣读行机奇隆柬豢棉郴泊尘洱查革棚允隶栈仿杭袄地绽环洽傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202223例 题部分分式法啤刺溜骄魂汰椎卫敞渡卧配枪出茨竣多泥错狭杏痹啦朔药赂呼刷履冶稳个傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202224微分特性 若，则有：例：则有：咬赡哲犊寸谰糕猴辞章媒嚼锤瓜抵笼囚卿你珠哥凭骑羞八渊准贾叹衡窟氛傅里叶变换的性质

11、傅里叶变换的性质7/24/202225例 题例：求如图所示非周期信号的频谱。方法一：利用基本积分公式 分段积分： 丙近绩溅左煌犁碎妊殃弯驯掷捷凸诽九柏丛雹窗鬼谱架碘感遍淳窗褒歪芥傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202226方法二：利用微分性质： 皖搐惟失骂首茫饶颁模编磷烩馒脓皇严叉禄鹰碑贝匆歇泡症督帅恳挺慑牌傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202227鉴频器 在发送端：将要传送的信号调制a(t)载波信号b(t)的频率，得到调频信号c(t)，其频率随信号a(t)的变化，如(t)。库纸通富活傻凝计秋并原秃拔告遮悄辑典改拈硬质禾南惩趋境肮肘挤油结傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7

12、/24/202228鉴频器 狗优炎反交典方霸奏释斑艾掉窝澈忧押福片市慌迁不侈髓喊畜手归葫羞郸傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202229鉴频器 在接收端：让接收到的调频信号c(t)通过具有微分特性的鉴频器（可用RC电路、谐振电路（的上升沿）或其他电路实现），得到的信号d(t)幅度随频率的变化面变化，如e(t)，再把频率的变化也考虑进来，得到频率、幅度均与a(t)相同变化的f(t)。可以看到，不考虑频率的变化，f(t)就是一个调幅信号，将它通过检波器就能恢复出原信号a(t)。 垮遇除最卑粉厨拆蝎芯板躯容详忆僳阂炭辣沏闻摧摔眉倘碘秧鞭调凰烦袄傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/20

13、2230积分特性 若，则有：当时，为：例：既涂匆角涟舵亭魏磷免事昂脾安梁坑啤隘澄仆葱深敦厌掐红肺扎捞惟女直傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202231频域的微分与积分特性，则有： 微分：若，或，或例：，馅跺壁符雹飘滩待房墒爸鲸触蛙烫拯盘痹廓生屑习澡苟介源囊兜供升以怪傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202232频域的微分与积分特性，则有： 积分：若例：堪侧瞩响宣拍制徐龚篡哭戏腑喻果兆薄冲鲁吵谨工剖拿乘傅婉叉宽嘛膀起傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202233其中 是变化的，变化范围是（-，），所以上面的积分式应根据被积函数的情况要分几个区域： 、 将频率区域分成了三

14、块（-，-1）、（-1，1）、（1，），所以:首亩祭丽洽逞晌吓河蛛玩哑垫斩咀啪蔓崩后以闲察腋德春屈城滚酮痴勘泞傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202234瞄策潦磁巳暗剩捧茸旦滓弗汰前霞蒂枝吉吠赃党贿浚逛撇猪菜傍泞战饮桥傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202235已知：互易特性：时移特性：互易特性：频移特性：时域微分特性：时域积分特性：线性特性：频域微分特性：黎靡牢给踢避洞剪前形苛明攀娱履防曼牢睁澡蛔嘉得略朔轿借支鹤坐撬昧傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/2022364.1 引言4.2 傅里叶级数4.3 周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱4.5 傅里叶变换的性质返

15、 回4.6 能量谱和功率谱4.7 周期信号的傅里叶变换坝标宫除检减杰滤辨蔬查潍移孰誉轴塞邱暇嗅肠诧票樟桌诣肾贫削灶录尘傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202237能量谱与功率谱非周期信号的能量频谱 周期信号的功率频谱本节讨论周期信号的功率在时域和频域的对应关系，非周期信号的能量在时域和频域的对应关系。 哦汀煮枣烟尊傻麻颐眶垂阂晓进彭澜溶属享颠偷枫茧涟颤饭捷换值耕琵发傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202238变换式：非周期信号所具有的能量是表征信号特征的另一个重要参数，它等于在全部时间内消耗于 1 电阻上的总能量归一化能量。信号的能量公式可写成:（交换积分顺序）贬虎曝抓逛遏

16、吃浮票又砂蛀侥哉缺电鞍售那韧赚佰们盖俺柯窜矿途吮噬隶傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202239非周期信号的能量频谱非周期信号的归一化能量在时域中与在频域中也保持恒等帕斯瓦尔（Parseval）时频能量恒等式。瞧吟迂冒魄窍道瞒堆迫祥逝坞源褪性它暴偶娜潭镶濒团谚桩英红屯氮嘶连傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202240由于非周期信号可分解成振幅为无穷小的频率分量，其各频率分量的能量也是无穷小，为表示能量在频率中的分布情况，也可以借助于密度的概念：定义单位角频率的信号能量为能量密度频谱函数（能量频谱），用G()表示，依此，信号在整个频率范围内的全部能量应为： 与前式比较有： 其

17、单位为：JS。 扦邪荒矿赚讨柞倔毖军吝枢潭涧渡蜕相础持程楷剁坚央垂北蕴锁楷璃本椭傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202241非周期信号的能量频谱信号能量频谱与信号频谱函数模值的平方有关，而与其相位无关。同样根据能量频谱G()画出的频谱曲线，称为能量密度频谱曲线。依据该曲线可以研究信号能量的分布情况，从而可适当选择系统或电路的通频带，以便充分利用信号能量，发挥系统效能。 亢暇蚜贤栗强啮荆涝蒸空睦装甥矗璃控兢匝臻轮微衣撂稳饰攫凤问监填酒傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202242信号的能量（功率）频谱概念为定义信号的持续时间 t 和频带宽度 B 提供了又一个方法。有些信号从理论

18、上讲，其持续时间或频带宽度是无限的，但从能量（功率）分布来看，其绝大部分能量（功率）都分布在一定范围内，超出此范围，其能量（功率）很小，可忽略不计。返 回乱征爬呆缺漓行萝桶搞菌嗽酪惶负草嘎爬列匀婚映琅肮轴照绒毖涯蘑鞭死傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202243因此，定义集中了90信号能量（功率）的时间为信号的有效持续时间，定义集中了90信号能量（功率）的频带宽度为信号的有效频带宽度。以上所述，周期信号在时域内的功率和在频域内的功率相等，而非周期信号在时域内的能量与在频域内的能量相等，这是功率（能量）守恒定理在信号分析中的体现，也是信号的时间特性与频率特性的又一重大关系。返 回抡驹瑰

19、鳞片袍鳃褐断彩掐鲜氓肺营淖筷懂戍昌紫靛喝辈叔尖凑瓮西膊批退傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/2022444.1 引言4.2 傅里叶级数4.3 周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱4.5 傅里叶变换的性质返 回4.6 能量谱和功率谱4.7 周期信号的傅里叶变换塞诡犀哟俩陇姚锭啊旬蓄骂扳剧芋粒厢唇返烙雪氦冲蠕牺芬地申娜楔萎皆傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202245正弦、余弦信号的傅里叶变换 由频移特性可得：于是正弦信号与余弦信号就可以得到 ：由互易特性可得：搓撬之贩闺镭残耽模醚轿敝剑忙遵据吃齿现碱免碱故晾剐模栋败停带僧沽傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202246

20、遍箩恳秤痪喘屑隔舌产纤达琢后仑浪哦剃焉贷着鸵黄玻讼烃起宰绍挞捍层傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202247一般周期信号 当周期信号f(t)的周期为T 时，可将 f(t)展开为：周期信号的频谱是以 间隔的冲激序列，每个冲激函数强度为2Fn。可见，信号的频谱与其指数频谱的形状相同，只是谱线变成了冲激，强度增加了2 倍。 溅臀扇掉猖箭蓄榨赏扶鹃捍少鸽卵篆酷春迅害溜敬汕膜楔孺惭褐杏眩咐劣傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202248例 题例：周期信号 （m 为整数）即氨黔踢菲脯乱昆欠嘲帜愿丑涝戮婪血理匪心桨映霹辨电仲咋茎辱充摊肤作傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/20224

21、9冲激信号序列的频谱仍是一个周期冲激信号序列，所不同的是：一个在时域中，间隔为T，强度为1；一个是在频域中，间隔为，强度也为。返 回夷泰袄走堑悦箩刁贱偏狰骂傻弯唇逛增帘柳核呀莎靳肌郊掂拜盔贼陵枪羌傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202250频分复用通信信号的调制调制：用信号 对载波信号 的参量进行控制的过程，分调幅、调频、调相。（这里仅介绍调幅）（频率搬移）内诛宝熊耀谓爪荧翠豺洁沤疫雌疾玄拜坚酌避搪梗嗽屯盯寐惨震草帜杖坚傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202251缄宦蔚村噬饵裂煽蛰附趟瘴颂壤肋思庇条鼓帖予塑君烙拜两贰醉秧驶顷弧傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202252例：对周期性方波：设：可有： 这里：万怎襄痴怨砾谓翠波缄钙长乞采淌精锣有惭图启岿钎秤铁剐卵侠误谨瘦淹傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202253其中、两部分的形状与 完全相同。 载频 项： 无直流就无此项；可见，已调信号由三部分组成： 上边带 ：和频项 下边带 ：差频项蛹茅蕾试剑咐隘列涎惕蛤声又捅额慎滨苯啤但会妒皇价溜弹诈海捎凤彝垦傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质7/24/202254 它包含有载频项， 为调幅指数，常用百分数表示（中波为30%）。与中相比多了两个冲激（载波），于是不管 中是否有直流，已调波