选修2-213导数在研究函数中的应用

1、导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数问题1：函数单调性的定义 是什么?1.一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于这个个区间内任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时,(1)若f(x1)f (x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.2、由定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)设x1、 x2是给定区间的任意两个值，且x10f(x)单调增f(x)单调减下面我们通过函数y=x24x3的图象来考察一下：观察函数y=x24x3的图象：2yx0.K0 思考:从图像中你发现了什么?1. 函数的导数与函数的单调性的关系：x切线的斜率(正或负)f(x)(0)f(x)=x2-4x+3

2、(增或减)(2，+)(,2)增函数减函数正负00oxyabcd推广到一般情况结论： 设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内f(x) 0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f(x) 0思考:下列命题正确吗? (用I表示某个区间)(2)在区间I内f(x) 0 函数y=f(x)在I内单调增 (1)函数y=f(x)在区间I内单调增 f(x) 0不能不能例题分析例1 (1) 确定函数f(x)=x24x+3在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.(2) 确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间 内是增函数，哪个区间内是减函数.解:f(x)=(2x36x2+7)=6

3、x212x令6x212x0，解得x2或x0当x(，0)时，f(x)0， f(x)是增函数. 当x(2，+)时，f(x)0， f(x)是增函数.令6x212x0，解得0 x2.当x(0，2)时，f(x)0，f(x)是减函数.解题小结：如何用导数判断单调性、求单调区间？ 用导数法确定函数的单调性时的步骤是：注：单调区间不以“并集”出现。 （2）求出函数f(x)的导函数（3）在定义域内求解不等式f (x)0，求得其解 集，再根据解集写出单调递增区间（4）在定义域内求解不等式f (x)0 (B) 1a1 (D) 0a0f (x)0,那么函数y=f(x) 为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f (x)

4、 0 得f(x)的 单调递增区间; 解不等式 f (x) f(x),则称 f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值.记作:y极大=f(x0)2.函数极值的定义(2)如果对x0附近的所有点x,都有f(x0) 0 右侧f /(x)0, 那么f(x0)是极大值（左正右负）(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)0, 那么f(x0)是极小值（左负右正） 从曲线的切线角度看,如果曲线在极值点处有切线，那么曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点处切线的斜率左侧为正,右侧为负;曲线在极小值点处切线的斜率左侧为负,右侧为正.oaX00bxyoaX0bxy结合导数的几何意义

5、思考探索思考: 导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.思考：y=x3在x=0处的导数？三、例题精讲:例1.解:令 ,解得x1=-2,x2=2.当x变化时, ,y的变化情况如下表: x(-,-2) -2(-2,2) 2 (2,+) y + 0 - 0 + y 极大值28/3 极小值-4/3 因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大=28/3;当x=2时有极小值,并且,y极小=- 4/3.987654321-3-2-143210yx (1)确定函数的定义域 (2)求导函数f (x)； (3)求解方程f (x)=0

6、； (4)检查f (x)在方程f (x)=0的根的左右的 符号，并根据符号确定极大值与极小值. 小结:用导数法求解函数极值的步骤： x(-,-a) -a(-a,0)(0,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(x) 极大值-2a 极小值2a 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a; 当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.例2:求函数 的极值.解:函数的定义域为令 ,解得x1=-a,x2=a(a0).当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:练习:求函数 的极值.解:令 =0,解得x1=-1,x2=1.当x变化时, ,y的变化情况如下表: x(-,-1) -1

7、(-1,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 极小值-3 极大值3 因此,当x=-1时有极小值,并且y极小=-3; 当x=1时有极大值,并且y极大=3.例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a、b的值. (2)若 ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k, 若k-1恒成立，试求a的取值范围 . 解:(1)由 得x=0或x=2a/3.故2a/3=4,a=6.由于当x0时, 故当x=0时,f(x)有极小值f(0)=b,所以b=-1.(2)等价于当 时,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax

8、-10对一切 恒成立.由于g(0)=-10,结合图像知只需g(1)=2-2a0,即a1.例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1处有极值,且极大值 为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:由题意, 应有根 ,故5a=3b,于是:(1)设a0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 + 0 - f(x) 极小值 极大值 由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.四、课堂总结2.若函数f(x)可导,

9、判别f(x0)是极大(小)值的方法是: (1) 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f(x0)是极大值; (2) 如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极小值. (1)确定函数的定义域 (2)求导函数f (x)； (3)求解方程f (x)=0； (4)检查f (x)在方程f (x)=0的根的左右的 符号，并根据符号确定极大值与极小值. 1.用导数法求解函数极值的步骤： (1.3.3) 函数的最大(小)值与导数 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数

10、值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值. 函数极值的定义复习: 如果x0是f(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f(x)0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值. 如果x0是f(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f(x)0，在x0右侧附近f(x)0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值 (1)求导函数f (x)； (2)求解方程f (x)=0； (3) 列表: 检查f (x)在方程f (x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。 用导数法求解函数极值的步骤： 在某些问题中，往往关心的是函数在整

11、个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题. 函数最值问题.极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质。极大值点 ，极小值点你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点 ：a ，最小值点：d观察区间a,b上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？最小值是f (b).单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数y=f(x)在区间a,b上最大值是f (a),1)在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题. 2)在闭区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线

12、,则它必有最大值和最小值.xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)oxyaboxyaboxyaboxyaby=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.导数的应用之三、求函数最值. (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值. 求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) x (-,-2)-2 (-2,2)2 (2,+) +0 -0 +f(x)单调递增28单调递减-

13、4单调递增例1、求函数f(x)=x3-12x+12在0, 3上的 最大值，最小值。例1、求函数f(x)=x3-12x+12在0,3上的 最大值，最小值。解：由上节课的例4知，在0,3上， 当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值，并且极小值为f (2)=-4.又由于f (0)=12,f (3)=3,因此，函数 f(x)=x3-12x+12在0, 3上的 最大值为12，最小值为-4。例2、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理例2 求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的极值与最值

14、故函数f(x) 在区间1，5内的极小值为3，最大值为11，最小值为2 解法二、 f (x)=2x-4令f (x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112例3、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a;(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。令 0,解得x3解: (1) =-3x2+6x+9函数f(x)的单调递减区间为 (-,-1) ,(3,+)-123(2) f(-2)=8+12-18+a=2+af(2)=-8+12+18+a=22+af(2)f(-2)于是有22+a=20,解得a=-2f(x)=-x3+3x2+9x-2f(x)在-1,2上单调递增在(-1,3)上 0, 又由于f(x)在-2,-1上单调递减，即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7。 f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的 最大值和最小值。f(-1)=1+3-9-2=-7,例4、证明：当x0时，xln(1+x)解：设f(x)=x-ln(1+x).即xln(1+x).又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)