机械制图第三章-换面法课件

1、第三章 换面法主要内容1、换面法的目的、概念、基本原则。2、点的投影变换规律。3、基本作图问题：1）一般位置直线投影面平行线2）一般位置直线投影面垂直线3）一般位置平面投影面垂直面4）一般位置平面投影面平行面4、应用举例。第一节 更换投影面的基本概念 当空间几何要素对投影面处于一般位置时，解题过程繁琐。利用更换投影面的方法，改变几何要素对投影面的相对位置，把一般变为特殊,从而有利于解题，是更换投影面的 空间几何要素对投影面处于特殊位置，某些度量问题（如实形、距离、夹角等）的答案可在投影图中直接反映，在解决定位问题（如交点、交线、垂足等 ）时，问题可简化。求平面实形反映实形求点到正垂面ABCD的

2、距离EK反映距离实长求一般位置直线与铅垂面的交点一、更换投影面的目的求交点较容易目的X2、基本原则：1）新设的投影面（V1或H1）必须垂直于一个原有的（V或H）投影面，以保证形成新的两投影面体系，继续使用正投影规律。VV1HABCa(b)cabca1c1b1例:ABC平面在V/H投影面内ABC为铅垂面。OO1X1二、建立新投影面体系1、更换投影面：空间几何要素位置不动，用新的投影面代替旧的投影面，从而建立新的投影面体系，使空间几何要素对投影面处于有利于解题的位置。在H面为一条直线在V面为类似形用平行于ABC的投影面V1更换V，V1垂直于H，与H构成新两投影面体系，V1面内可反映ABC实形。2）

3、新投影面必须使空间几何要素处于有利于解题的位置。aaa1O一、更换正立投影面 点的投影变换规律：1、点的新投影和不变投影的连线垂直于新投影轴；第二节 点的投影变换规律 更换面法首先要解决，根据原有投影怎样求新投影的问题。点是最基本的几何要素，先分析点是如何由原有投影求新投影？VHXAaaaxV1O1X1a1ax1OXVHaxO1X1ax1用V1面更换V面新轴位置与点的距离无关V1HV1面应与H面垂直O1X1为轴向下旋转V1 面与H面重合a a1 o1x12、点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。aO二、更换水平投影面 点的投影变换规律：1、点的新投影和不变投影的连线垂直于新投影轴；VH

4、XAaaaxH1O1X1ax1OXVHaxaO1X1ax1a1a1VH1H1面应与V面垂直用H1面更换H面 2、点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离.V1不变投影 有时需要连续两次更换投影面，解决一些实际问题。注意： 1、分清各投影；2、作图准确。三、连续两次更换投影面OXVHaaO1X1axax1HV1a1O2X2ax2V1H2a2变换两次投影面时，求点的新投影的原理和方法和变换一次投影面相同旧投影H不变投影新投影旧投影新投影新投影到新轴的距离=旧投影到旧轴的距离 当连续两次更换投影面时，必须使V面与H面交替进行变换，不能连着变换同一个投影面。四种 利用更换投影面法解决空间几何元素问

5、题时，可归结为四种基本作图问题：第三节 基本作图问题一、将一般位置直线变换为投影面平行线一般位置直线变换为投影面平行线一般位置平面变换为投影面垂直面投影面垂直线；投影面平行面。例：求直线AB实长及其对H面的倾；一、将一般位置直线变换为投影面平行线分析：1、投影面的平行线反映线段的实长和对投影面的夹角；如：水平线水平投影反映实长和角。 正平线正面投影反映实长和角。2、若求线段实长，应使新设投影面与线段平行。若求夹角，应使线段变换为正平线。所以应用V1面更换V面，即用（V1H）替换（VH）两投影体系。3、新设V1面与AB线段平行，则AB线在新的（V1H）两投影面体系里为正平线，AB在V1面的投影反

6、映实长，也反映线段对H投影面的夹角，可满足题的要求。XHOABbaabV例：求直线AB实长及其对H面的倾；一、将一般位置直线变换为投影面平行线XVHOABbaabV1O1X1a1b1OXVHababO1X1HV1a1b1变换1次投影面可将一般位置直线变为投影面平行线（1次）用V1面更换V面O1X1应与ab平行1、新设V1面与AB线段平行2、求AB线段在V1面的投影3、求AB线段与H面的夹角作图：投影图：O1X1应与ab平行简单小结：通过一次更换投影面，可将一般位置直线投影面的平行线。用H1 H面，AB为水平线，H1面反映实长及对V面的夹角。用V1 V面，AB为正平线，V1面反映实长及对H面的夹

7、角 。XOO1X1X2O2二、将一般位置直线变为投影面垂直线1、空间直线对V、H面均倾斜，若新设一个投影面既垂直于一般位置直线，同时又要垂直于一原有的（V、H）投影面，是不可能做到的。分析：2、通过上一例题说明，将一般位置直线，通过一次换面（V1）可以变换为投影面的平行线（即：正平线）。此时，新设投影面可以垂直于正平线，又可以垂直于V1面是可以实现的。3、故先设新投影面将直线变换为投影面的平行线，再次设新投影面将平行线变换为投影面的垂直线，以实现题意要求。XOO1X1X2O2二、将一般位置直线变为投影面垂直线作图：1、设新投影面V1，将一般位置直线变换为投影面的平行线（即：正平线）。3、通过连

8、续两次换面，将一般位置直线变换为投影面的垂直线。2、再设新投影面H2，将投影面的平行线（即：正平线）变换为投影面的垂直线。平行H2V1和直线V1 Ha2b2OXVHababO1X1HV1a1b1投影图：二、将一般位置直线变为投影面垂直线O1X1abO2X2a1b1XOO1X1X2O2O2X2H2V11、第一次变换V1V，将一般位置直线AB变换为投影面平行线，即：O1X1ab。2、第二次变换H2H，将投影面平行线AB变换为投影面的垂直线，即：O2X2a1b1。一般位置直线1次投影面平行线1次投影面垂直线（2次）O三、将一般位置平面变换为投影面垂直面VHABCabcabcX将一般位置ABC平面变换

9、为正垂面：1、 新设V1面应与ABC垂直，在V1面的投影应积聚为一条线，使其ABC在新的（V1H）两投影面体系里为正垂面。2、 根据两面垂直的条件：若V1 面垂直于ABC面内的任一条线，则V1 与ABC两面即垂直。分析：三、将一般位置平面变换为投影面垂直面VHABCabcabcXDddV1a1b1c1d1X1将一般位置ABC平面变换为正垂面：（1次）O12、设V1 面垂直于CD直线，即O1 X1垂直与cd。作图：1、在ABC平面取一条水平线CD O3、求 ABC平面在V1 投影面上的投影（c1d1为重影点）。4、ABC平面在V1 面上的投影积聚为一条线 。5、该积聚线与O1X1轴的夹角，是AB

10、C平面与H 上的夹角。下面在投影图中作图通过分析、 作图，需要几次换面？ABC平面在V1H 两投影体系中为正垂面三、将一般位置平面变换为投影面垂直面VHABCabcabcXDddV1a1b1c1d1X1将一般位置ABC平面变换为正垂面：（1次）O1投影图作图：Oa1d1(c1)OXHabcabcddO1X1HV1b1V1、在ABC平面取一条水平线CD。 2、设V1 面垂直于CD直线，即O1 X1垂直于cd。3、求 ABC平面在V1 投影面上的投影（c1d1为重影点）。5、该积聚线与O1X1轴的夹角，是ABC平面与H 上的夹角。4、ABC平面在V1 面上的投影积聚为一条线 。三、将一般位置平面变

11、换为投影面垂直面VHABCabcabcXDddV1a1b1c1d1X1将一般位置ABC平面变换为正垂面：（1次）O1投影图作图：Oa1d1(c1)OXHabcabcddO1X1HV1b1V简单小结：1、变换为正垂面在平面上取水平线设立V1 代替V反映2、变换为铅垂面在平面上取正平线设立H1 代替H反映若要反映倾角，应怎样更换投影面四、将一般位置平面变换为投影面平行面新设的投影面要平行于三角形平面，同时还要垂于一个原有投影面（V或H），不可能存在这样的平面。分析：XVV1HABCa(b)cabca1c1b1OO1X1在V1面为实形VHABCabcabcXDddV1a1b1c1d1X1O1O四、将

12、一般位置平面变换为投影面平行面1、此图已分析说明，将一般位置的三角形平面，通过一次换面可以变换为投影面的垂直面(正垂面)。2、又由此图可知，投影面的垂直面(正垂面)通过一次换面，可以换为投影面的平行面，得到实形。3、因此，将一般位置平面变换为投影面的平行面时，可以通过两次换面实现。为铅垂面V1面为正垂面为一般位置面（2次）一般位置平面1次投影面垂直面1次投影面平行面图片将一般位置平面通过两次换面，变换为投影面的垂直面。当连续两次更换投影面时，必须使V面与H面交替进行变换。c2db画投影图：OXVHacabc1、在ABC平面内找一水平线，用V1更换V面，O1X1cd，在V1H两面体系里为正垂面。

13、dO1X1HV1d1a1b1O2X2V1H2a2b2c12、第二次换面，用H2更换H面，O2X2积聚线，使面在V1H2两面体系里为水平面，是投影面的平行面。四、将一般位置平面变换为投影面平行面四种 利用更换投影面法解决空间几何元素问题时，可归结为四种基本作图问题：一般位置直线变换为投影面平行线一般位置平面变换为投影面垂直面投影面垂直线投影面平行面小结：（1次）（2次）（1次）（2次）换面1、点投影变换规律；2、新轴的设置，与投影积聚线平行或垂直。掌握：m1mmb2(a2)m2n2例1：用换面法求点M到一般位置直线AB的距离。第四节 换面法应用举例2、根据换面法基本作图方法，确定变换次数和变换步

14、骤，具体作图。一、应用换面法解题的步骤1、空间分析，确定空间几何要素与新投影面应处于何种位置有利于解题。二、应用举例解： 介绍两种方法方法一：abOXVHO1X1HV1abO2X2V1H2a1b12、须要将AB变换为投影面垂直线，则M到AB的垂线MN (点N为垂足)是投影面平行线，反映距离实长。将一般位置直线AB变为投影面垂直线需要2次变换投影面。3、首先将AB线变换为投影面平行线，并同时变换M点。5、求出垂线MN的实长n1nn6、垂线MN投影要返回实长1、空间分析：求点到直线的距离，就是由点向直线作垂线并相交，垂线的实长就是题意中所求的距离。4、再将AB线变换为投影面的垂直线，连同变换M点。

15、mc实长m2b1O2b2a1m1c1n1ab方法二：1、分析：直线AB和线外一点M确定一平面。若能得到该平面ABM的实形，点M到直线AB的垂线（距离）MN的实长可在实形中自然求得。将一般位置平面ABM平面变换为投影面平行面需2次换面。OXVHabm2、首先将平面ABM变为投影面垂直面。cX1O1HV13、再将 ABM平面变换为投影面平行面，得实形。X2V1H2a2n24、求点到线的距离MN。nn例1：用换面法求点M到一般位置直线AB的距离。5、返回垂线（距离）MN投影。c111k1kk例2：求点S到ABC平面的距离(应作出垂足的投影)。OXVHabcabcss1、空间分析：求点到面的距离即：求

16、由点向面作垂线并与平面相交，垂线段的实长即为所求。 使距离（垂线）反映实长，须为投影面的平行线。 若将平面变换为投影面垂直面，则垂线（距离）则为该投影面平行线，即求可出实长。12、将平面变换为投影面垂直面（1次）及同时变换S点。1O1X1HV1a1b1s13、求距离及垂足的投影实长已知条件：点的两个投影， ABC面是一般位置平面。4、返回垂足 K点的投影m2n2bmnbb1m1例3、求AMN和BMN两平面的夹角。OXVHamna1、空间分析：线段MN是两平面的交线，为一般位置直线。当交线MN为投影面垂直线时，则两平面均为投影面垂直面。在有积聚性的投影中，则可反映两面夹角。AMNBamnb2、当使一般位置直线MN变换为投影面的垂直线时，需要更换2次投影面。首先将MN交线变换为投影面的平行线。O1X1HV1a1n13、再将MN交线变换为投影面垂直线，即得到两面夹角。O2X2V1H2a2b2距离a2f2c2e2例4：求两交叉直线AB和CD间的距离OXVHababcdcd1、空间分析：AB、CD均为一般