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文档简介

1、第五节 行列式按一行（列）展开一、余子式、代数余子式的概念二、行列式按行（列）展开法则2三阶行列式与二阶行列式的关系3其中分别称为的余子式，分别称为的代数余子式。数余子式的乘积之和。3阶行列式等于它的第一行元素与自己的代说明：上述结论对于n阶行列式的任意一行也成立。猜想：4 阶行列式中, 把元素称为而的代数余子式在所在的第行和第列划去后, 留下来的阶行列式称的余子式, 记作如：一、余子式与代数余子式定义：为元素5式和一个代数余子式。行列式的每个元素分别对应着一个余子注：6一个n 阶行列式,如果其中第例如引理行所有元素除外都为零，那末这个行列式等于与它的代数余子式的乘积，即二、行列式按行（列）展

2、开法则7当 aij 位于第一行第一列时,又从而证明8把D的第i行依次与第i-1行,i-2行,1行对调,得若aij位于第i行第j列,9把D的第j列依次与第j-1列,j-2列,1列对调,得1011中的余子式在中的余子式也是在12于是有13 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证定理1415 用行列式按行（列）展开法则可将行列式降阶。 将计算1个三阶行列式转换为计算3个二阶行列式。一个n 阶行列式按行（列）展开后，得到 n个n-1阶行列式，可以减少计算量。如说明：16计算行列式的基本方法之二 先利用行列式的性质将行列式的某一行(列)许多元素化成0，然后再按这一行(列)展

3、开。这样继续下去，总可以将一个高阶行列式的求值问题转化成2阶行列式的求值问题, 从而大大简化了计算。 为了尽量避免分数运算，尽可能选择1或-1所在的行(或列)把该行(或列)的许多元素化成0，然后按该行(或列)展开。说明17例118例2计算行列式（书 P22例152）解19例3证明证按行列式第一行展开左端20用数学归纳法可以证明：21问题： 把下述3阶行列式的第1行元素与第2行相应元素的代数余子式相乘再相加，结果如何呢？ 说明：3阶行列式的第1行元素与第2行相应元素的代数余子式乘积之和等于0。 猜想：n阶行列式也有类似结论. =0把D中的第2行元素换成第1行元素, 得下述行列式, 按第二行展开 =22 行列式D的任一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 即证定理设把D中的第j行元素换成第i行元素，得下述行列式230由于行列式的行与列的地位对称，因此也有将该行列式按第j行展开, 得24如上两个定理可以写成25例4设n 阶行列式求第一行各元素的代数余子式之和解：第一行各元素的代数余子式之和可以表示成2627 证用数学归纳法例5证明范德蒙德(Vandermonde)行列式28看n 阶范德蒙行列式，假设（1）对于 n-1阶范德蒙行列式成立，按第1列展开，并把每列的公因子提出，就有29 n-1

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