三平面与圆锥面的截线课件

1、学习目标1.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影.2.会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).3.能够用运动变化的观点理解柱面、旋转面的概念，进而掌握圆柱面的性质.4.在一般截面的几何性质的探究中，体验使用焦球的意义，逐步培养对几何图形中不变量的研究意识.5.用平面截圆锥面研究所得曲线的基本特征并加以证明，从新的角度认识椭圆、双曲线和抛物线.知识链接1.一个圆所在的平面与平面平行时，该圆在平面上的正射影是什么图形？ 提示圆.2.一个圆所在的平面与平面不平行时，该圆在平面上的正射影是什么图形？ 提示椭圆.3.回想一下，椭圆是如何定义的？ 提示平面上到两个定点的距离之和

2、等于定长的点的轨迹叫做椭圆.4.用一个平面去截一个圆柱，截面将是怎样一个平面图形？ 提示用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆，当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆，当平面与圆柱两底面垂直时，截面是一个矩形.预习导引1.正射影(1)定义：给定一个平面，从一点A作平面的垂线，垂足为点A.称点A为点A在平面上的正射影.一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影.(2)圆面的正射影：一个圆所在的平面与平面平行，那么该圆在平面上的正射影显然是一个圆，并且是和原来的圆相同的圆；如果圆所在的平面与平面不平行且不垂直时，从生活经验我们知道，正射

3、影的形状发生了变化，就好像一个圆被压扁了，我们称之为椭圆；如果圆所在的平面与平面垂直时，那么该圆在平面上的正射影是一条线段，其长度等于圆的直径.2.平行射影3.定理1文字语言圆柱形物体的斜截口是椭圆符号语言平面与圆柱OO的轴斜交，则截口是椭圆图形语言作用判断截口形状是椭圆4.椭圆(3)Dandelin双球探究椭圆性质：如图所示，设球O1，O2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为，椭圆所在的斜截面与它们的交线分别为l1，l2，与所成的二面角为，母线与平面的夹角为.由于，都是确定的，因此交线l1，l2也是确定的，且，均为定值.5.定理2文字语言若用一个平面去截一个正圆锥(两边可以无限延伸)，而且这个

4、平面不通过圆锥的顶点，则会出现下列情况：(1)如果平面与一条母线平行，那么平面就只与正圆锥的一半相交，这时的交线是抛物线；(2)如果平面不与母线平行，当平面只与圆锥的一半相交，这时的交线为椭圆；当平面与圆锥的两个部分都相交，这时的交线是双曲线.符号语言在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面.任取平面，若它与轴l的交角为(当与l平行时，记0)，则：(1)，平面与圆锥的交线为椭圆；(2)，平面与圆锥的交线为抛物线；(2)，平面与圆锥的交线为双曲线.图形语言作用确定交线的形状6.圆锥曲线的结构特点(1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之和

5、为常数(长轴长2a).(2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(实轴长2a).(3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等.7.圆锥曲线的几何性质要点一正投影例1P是ABC所在平面外一点，O是点P在平面内的正射影. (1)若P点到ABC的三个顶点等距离，那么O点是ABC的什么心？ (2)若P点到ABC的三边距离相等，且O点在ABC的内部，那么O点是ABC的什么心？ (3)若PA，PB，PC两两互相垂直，O点是ABC的什么心？规律方法确定一个几何图形的正射影，其实质是确定其边界点的正射影的位置.在解决此类问题时，一定要全面考虑.跟踪演练1已知l1，l2为不垂直的

6、异面直线，是一个平面，则l1，l2在平面上的正射影有可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点.其中结论正确的是_(写出所有正确结论的编号).解析如图所示，可知正确，而对于，若两直线的正射影是同一条直线，则两直线必共面，这与l1，l2异面矛盾，错.故填.答案要点二平行投影例2如图所示，边长为20的正ABC的顶点A在平面内，B，C在平面同侧，且B，C到的距离分别是10和5，求ABC所在平面和所成的二面角的大小.解设BD，CE是点B，C到平面的距离，则BD，CE，BD10，CE5，由直线与平面垂直的性质，得BDCE，B，D，E，C共面.BDCE，BC，DE必相交，设交

7、点为F.DF，F.BC平面ABC，F平面ABC，F是平面ABC和平面的又一公共点.规律方法在必修中，我们讨论了点、直线在平面上的射影，也就是正射影，因而利用平行投影及其性质可以讨论立体几何中有关射影问题，如直线与平面所成的角、二面角的大小等.跟踪演练2有下列4个命题：矩形的平行射影一定是矩形；矩形的正射影一定是矩形；梯形的平行射影一定是梯形；梯形的正射影一定是梯形.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析矩形的平行射影可以是矩形、平行四边形或线段，因而一定是矩形不成立.矩形的正射影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，因而矩形的正射影一定是矩形不正确.梯形的平行射影可以是梯形、

8、线段，因而梯形的平行射影一定是梯形不正确.中梯形的中正射影可能是梯形、线段，因而梯形的正射影一定是梯形的说法是错误的.故选A.答案A规律方法判断平面与圆锥面的截线的形状的方法：(1)求圆锥面的母线与轴线的夹角，截面与轴线的夹角；(2)判断与的大小关系；(3)根据定理2判断截线是什么曲线.跟踪演练3在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切，若平面与双球的切点不重合，则平面与圆锥面的截线是()A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线解析由于平面与双球的切点不重合，则平面与圆锥母线不平行，且只与圆锥的一半相交，则截线是椭圆.答案B跟踪演练4如图

9、，讨论其中双曲线的离心率，其中是Dandelin球与圆锥面交线S2所在的平面，与的交线为m.1.一个平面图形在平面上的射影形状取决于该平面图形所在平面与投影平面的空间关系：所在平面与投影平面平行，射影图形与原图形全等，圆的射影仍然是圆；所在平面与投影平面垂直，射影图形是一条直线或线段或点，圆的射影是线段；所在平面与投影平面斜交，圆的射影是椭圆.1.下列说法正确的是()A.两条相交直线的平行射影还是相交直线B.两条平行直线的平行射影还是平行直线C.线段中点的平行射影仍然是该线段平行射影的中点D.角的平分线的平行射影还是该角平行射影的平分线解析两条相交直线的平行射影可能是相交直线，也可能是一条直线，A错，两条平行直线的平行射影可能是平行直线，也可能是一条直线，甚至是两个点，B错，角