重庆2017年中考数学二轮复习新定义题真题演练

1、题型六新定义题针对演练1. (2016林B州)设a, b是任意两个实数，规定 a与b之间的一种运算“”为： b ,仆. o (a0). 一3 一， 一一- _ . 2a b= a.例如：1 (3) =j-=- 3, (3) 2 = ( - 3) - 2 = - 5, (x +a- b (aw。),X 1、r 2) (X-1) = x2y.(因为 X2+ 10)参照上面材料，解答下列问题：(1)2 4 =, ( 2) 4 = ;_1 一-2,、，(2)右 x,且?M足(2x- 1) (4 x - 1) = ( - 4) (1 - 4x),求 x 的值.2n , n 10平方和.例如：F(6) =

2、62=36, F(123) =f(123) = 12+02= 1 ,.规定 F1(n)=F(n), Fk+1( n) = F( Fk( n),例如：E(123) = F(123) =10, Fz(123) =F(F(123)= F(10) = 1.(1)求:F2(4)和 F2015(4)；(2)若F3m(4) = 89,求正整数 m的最小值.如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数” .如：2=13-(- 1) 3,26= 33- 13,所以2、26均为“麻辣数”.【立方差公式：a3 b3= (a- b)( a2 + ab+ b2) 请判断98和169是否

3、为“麻辣数”，并说明理由；(2)求在不超过2016的自然数中，所有的“麻辣数”之和为多少？ (2015 重庆A卷)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为 “和谐数”.例如自然数1232 + 22= 131,从最高位到个位依次排出的一串数字是：1,2, 3, 2, 1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1, 2, 3, 2, 1,因此1232+22= 131是一个“和谐数”.再如22 , 545, 3883, 345543,，都是“和谐数”.(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四

4、位“和谐数”能否被 11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为 x（1 WxW4,x为自然数）, 十位上的数字为 y,求y与4的函数关系式.（2016重庆一中三模）当一个多位数为偶数位时， 在其中间位插入一位数 k（0wkw9）得到 一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数.如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数 4356729 ,其中 435729 = 729 + 435X 1000 , 4356729 = 729 + 6X 1000 + 435X 10000.请阅读以上材料，解决下列问题.（1）若一个三位关联数是原来两位数的9倍

5、，请找出满足此条件的三位关联数；（2）对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m得其关联数（0w me9,且m为3的倍数），试证明：所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除.（2016重庆外国语学校二诊）定义：如果 M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两 个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为 M个数的祖冲之数组. 如（3 , 6）为两个数的祖冲之数组，因为 3X6能被（3+6）整除；又如（15 , 30, 60）为三个数的祖冲之数组，因为 （15X30）能被（15+30）整除，（15X60）能被（15+60）整除，（30 X 60）能被（30 + 60）整除. （1）我们发现，

6、3和6, 4和12, 5和20, 6和30,，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测 n和n（n1）（ n2, n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想； （2）若（4 a, 5a, 6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a.（2016重庆南开阶段测试三）进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的 数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为 n,即可称n进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字09进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n（nbc,则abc经过一次“ F运算”得(用代数式表示)；(3)猜想：任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到

7、一个定值，请证明你的猜想.(2016 大渡口区诊断性检测)若一个整数能表示成 a2+b2(a, b是整数)的形式，则称这 个数为“完美数”.例如， 5是“完美数”，因为 5=22+12.再如，M= x2+2xy + 2y2=(x + y)2 + y2(x, y是整数)，所以M也是“完美数”.(1)请你再写一个小于10的“完美数”，并判断 29是否为“完美数”；(2)已知S= x2+4y2+4x- 12y+k(x, y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出 符合条件的一个k值，并说明理由；如果数m n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”. (2016重庆西大附中第九次月考)对于实数x

8、,y我们定义一种新运算L(x,y) = ax+by(其中a, b均为非零常数)，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L(x, y),其中x, y叫做线性数的一个数对.若实数 x, y都取正整数，我们称这 样的线性数为正格线性数，这时的x, y叫做正格线性数的正格数对._一3 1若 L(x, y) = x+3y,则 L(2 , 1) =, L(, -) =;(2)已知 L(1 , 2) = 1, L(1 1) =2.3 2 a =, b =；若正格线性数 L(m m- 2),求满足50VL(3m- 2)1, k 3, k、n都为整数)，, 3- 22 4-3如第1个

9、二角形数N1 , 3) =2-x 1+一天* 1 = 1； 人一3- 22 4-3第 2 个二角形数 N2, 3) =-2-了-2x-10,_24x2 1 (2 x-1) (4 x - 1) = -4-(1 4x),2x 1即 2x + 1 = 5+ 4x, 解得x= 3. .x的值为3.2.解：(1) Fa(4) =F(F1(4) = F(F(4) = F(16) =12+62= 37;F1(4) =F(4) =16, F2(4) =37,&4) =58, F，(4) =89,F5(4) =145, F6(4) =26, F?(4) =40, F8(4) =16,通过观察发现，每进行7步运算

10、是一个循环，2015+7 = 2876,因此 F2015(4) = R(4)=26.(2)由(1)可知，每进行 7步运算是一个循环,F4(4) =89=Fh(4)=曰(4) =F4+7i(4),其中i=0, 1, 2, 3,，要求 m的最小值，则(4+7i)为3的最小公倍数，因为3m4,所以3m= 18,所以 m= 6.解：(1)98是麻辣数，169不是麻辣数，理由如下：设k为整数，则2k+1, 2k1为两个连续奇数，设M为麻辣数，则 M= (2 k+ 1)3-(2k-1)3=24k2+2,98 = 53-33,98是麻辣数；M= 24k2+2为偶数，故169不是麻辣数.(2)同(1)令 MC

11、 2016,贝U 24k2 + 22016, - 2 1007解得 k & R84,故 k2=0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,故 M的和为 24X(0+ 1+4+9+ 16+25+ 36+49+64+ 81)+2X10= 6860.所以，在不超过2016的自然数中，所有的“麻辣数”之和 为6860.解：(1)1331 , 2442, 1001.猜想：任意一个四位“和谐数”能被11整除.理由：设一个四位“和谐数”记为xyyx,用十进制表示为：1000 x+ 100y+ 10y + x= 1001x+ 110y=11(91 x+10y),.x、y是09之间的整

12、数，11(91 x+10y)能被 11 整除.任意一个四位“和谐数”能被11整除.(2)设这个三位“和谐数”为 xyx,用十进制表示为：100 x+ 10y+ x= 101x+ 10y,它是11的倍数，10仅10y为整数11将这个式子变形：9x y2x y1110仅 10y = 99x 11y 2x y1111.x、y是09之间的整数,. 2y应为整数.11又.1WxW4, 0WyW 9,-22x8, -9- y0r,.一 7W2 x一 yW8,.要使2x 丫是整数,则2x y只能是0, 11-2x-y= 0,即 y=2x,，y与x的函数关系式是y = 2x(1 x4, x为自然数).(1)解

13、：如：135, 225, 315, 405.【解法提示】设原来的两位数为 xy,插入的数字为k.由题意得：9(10 x + y) = 100 x+ 10k+ y, 化简彳导:4y5x=5k,当 k=0 时，4y- 5x= 0,贝U x= 4, y= 5;当 k= 1 时，4y-5x=5,贝U x= 3, y= 5;当 k=2 时，4y- 5x= 10,贝U x = 2 时，y = 5;当 k=3 时，4y 5x= 15,则 x= 1, y= 5.(2)证明：设一个位数为 2n位的多位数为ab,中间插入数字 m得其关联数(0W 亦9,且m 为3的倍数)为amb由题意得，amb- 10ab= ax

14、 10n+1+ mx 10n + b 10(ax 10n + b) = mx 10n9b, m是3的倍间间间间间间间间，mx 10n能被3整除，又=9 b能被3整除，mx 10n9b能被3整除，故对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m(0 2, n为整数,.n-1是整数，n和n( n- 1)( n2, n为整数)组成的数组是两个数的祖冲之数组.(2)解：(4 a, 5a, 6a)是三个数的祖冲之数组，4a5a(4a5a)m，可设4a6a(4a6a)n ,5a6a(5a6a) p20a 9m即 12a 5n ,30 a 11p, n ；.2._ (2) . ( abc)7 = aX7 +

15、bx7+c, (cba) 5 = cx 52+bx 5+ a,25c+ 5b+ a= 49 a+ 7b+ c,即 24a+ b= 12c,.a、b、c是06的整数，1.b= 0, c= 2a,当a=1时，c= 2,这个十进制的数为 51；当a=2时，c=4,这个十进制的数为 102；当a=3时，c= 6,这个十进制的数为 153. (1)证明：设此两位数为 a 2a, ; a2 a= 10a+2a= 12a为6的倍数，轮换后 2aa=20a + a= 21a为7的倍数， .a 2 a为6的一个轮换数.故这个两位自然数-一定是“轮换数”.(2)解：二此三位.数为 2bc= 200+ 10b+c=

16、198+9b+(2+b+c),为 3 的倍数， .(2 +b+c)为3的倍数， 第一次轮换后：bc2=100b+ 10c+2=100b+8c+(2 c+ 2),为 4 的倍数，(c+1)为 2 的倍 数，即c为奇数，n=第二次轮换后：c2b= 100c+20+b,为5的倍数，则b为0或者5.当b=0时，2+b+c=2+c,为3的倍数且c为奇数，则c=1,或7,即三位数为201或207;当b=5时，2+b+c=7+c为3的倍数且c为奇数，则c=5,即三位数为255. p,201230 i化简彳导:22P=25n = 27mm. n、p均为整数，.m=22X25X i (i 为整数)，9.a=2x

17、 22X 25i9 11 5i2.a是整数, . .i为偶数,当 i = 2 时，a=495,当 i = 4 时，a=990,当i=6时，a= 1485,不是三位数，舍去,综上所述，满足条件的所有三位正整数a为495和990.27.解：(1)(331) 5=3X5 +3X5+1 = 91;(46) 7=4X7+ 6=34.综上所述，这个三位自然数abc为201 , 207或255.9.解：(1)最小的两位“快乐数”是10; 19是“快乐数”.证明：由题意可知，用反证法证明数字4经过若干次运算后都不会出现数字1即可.4一 16-37-58-89- 145-42-204一 164 出现两次，后面将

18、重复出现，永远不会出现1,任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4.(2)设这个三位“快乐，数”为abc,由题意知，经过两次运算后结果为1,所以第一次运算后结果一定是10或100,所以a2+b2+c2=10或100,又因为a、b、c为整数，且aw0,所 以 a2+b2+c2= 12 + 32+ 02= 10 或 a2+b2+c2=0+ 62+ 82= 100.(i)当a=1, b=3或0, c=0或3时，这个三位“快乐数”为130, 103;(ii)当 a = 2 时一，b、c 无解;(iii) 当a= 3时，b= 1或0, c= 0或1时，这个三位“快乐数”为310,301;同理当a

19、2+b2+c2=100时，因为62+82= 100,所以这个三位“快乐数”的所有可能为 680, 608, 806, 860.综上所述，一共有 130, 103, 310, 301 , 680, 608, 806, 860 八个.又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2,经计算知只有310和860满足条件.解：495.【解法提示】 975 579=396;963 369=594;954 459=495.(2)99( a-c).【解法提示】(100 a+ 10b+ c) (100c+ 10b+a) = 100a+ 10b+c 100c 10b-a = 99a-99c =

20、99( a - c).(3)证明：设这个三位数中三个数字为a, b, c,且abc, ac+1,则经过“ F运算”有 abc- cba= 99( a- c) = 100(ac1) + 10 x 9+ (10 +ca),因此所得的三位数中必有一个9,而另外两个数字之和为9,共有990, 981 , 972, 963, 954五种情况；以 990 为例得，990099 = 891, 981- 189=792, 972-279=693, 963-369=594, 954 459=495,，由此可知最后得到495时就会循环.任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个定值，这个定值为495.解：(1)0 , 1, 2, 4, 8, 9 均可.-29 = 52 + 22,，29 是“完美数”.(2)根据题意 S= x2+4y2 + 4x 12y + k= (x2 + 4x) + (4 y212y) + k= (x+2)24+(2 y 3)2 -9+k=(x+2)2+(2y- 3)2+(k 13).要使S为“完美数”，则 k13=0,即k=13.设 m= a2+b2, n=c2+d2(a, b, c, d都是整数)，则mn= (a2+ b2)( c2 + d2) = a2c2 + a2d2 + b2c2+ b2d2=a2c2+ 2abcd+ b2d2+ b2c2