重庆各区2021年中考模拟数学试题汇编：图形的变化解答题

1、重庆市各区2021年中考模拟数学试题汇编:图形的变化解答1 . ( 2021 ?九龙坡区校级模拟)在 ABC中，/ BAC = 90 ,点E为AC上一点，AB= AE, AGXBE,交BE于点H,交BC于点G,点 M是BC边上的点.(1 )如图1 ,若点M与点G重合，AH = 2, BC=JE诏，求CE的长；(2)如图 2,若 AB=BM ,连接 MH , / HMG =/ MAH ,求证：AM=2&HM ;(3)如图3,若点M为BC的中点，作点 B关于AM的对称点N,连接AN、MN、EN,请直接写出/ AMH、/ NAE、/ MNE之间的角度关系.2. ( 2021 ?万州区模拟)如图，点

2、B, C, D在同一条直线上， BCF和4ACD都是等腰直角三角形.连接 AB , DF ,延长DF交AB于点E.(1 )如图1 ,若AD = BD , DE是 ABD的平分线，BC = 1 ,求CD的长度；(2)如图 2,连接 CE,求证：DE=&CE + AE;(3)如图3,改变 BCF的大小，始终保持点 F在线段AC上(点F与点A, C不重合).将ED绕点E顺时针旋转90。得到EP.取AD的中点O,连接OP.当AC = 2 时，直接写出OP长度的最大值.=/ ACB = 30, AE =3. (2021 ?九龙坡区校级模拟)在 ABC 和4AEF 中，/ AFE = Z ABC = 90

3、 , / AEF,连接EC ,点G是EC中点，将 AEF绕点A顺时针旋转.(1 )如图1 ,若E恰好在线段 AC上，AB = 2 ,连接FG ,求FG的长度；(2)如图2,若点F恰好落在射线 CE上，连接BG,证明：GB=”AB+GC;2(3)如图3,若AB = 3,在 AEF旋转过程中，当 GB -GC最大时，直接写出直线AB, AC, BG所围成三角形的面积.4. (2021 ?沙坪坝区校级模拟)如图 1,在四边形 ABCD中，AC交BD于点E, AADE 为等边三角形.(1 )若点E为BD的中点,AD = 4, CD = 5,求 BCE 的面积;(2)如图2,若BC=CD,点F为CD的中

4、点，求证：AB = 2AF；(3)如图 3 ,若 AB / CD , / BAD = 90，点P为四边形 ABCD内一点，且/ APD=90 ,连接 BP ,取 BP 的中点 Q ,连接 CQ .当 AB = 6& , AD = 4n , tan / ABC=2时，求CQ+ : BQ的最小值.1( 2021 ?沙坪坝区校级模拟)如图，已知ABC中，/ ABC =45 , CD是边AB上的高线，E是AC上一点，连接 BE ,交CD于点F.(1 )如图 1 ,若/ ABE =15 , BC =73+1 ,求 DF 的长；(2)如图2,若BF = AC,过点D作DGXBE于点G,求证：BE=CE+2

5、DG；(3)如图3,若R为射线BA上的一个动点，以 BR为斜边向外作等腰直角 BRH , M为RH的中点.在(2)的条件下，将 CEF绕点C旋转，得到 CEF, E, F的对 应点分别为 E, F,直线 MF与直线 AB交于点P, tan Z ACD =y,直接写出当 MF 取最小值时t的值.( 2021 ?北暗区校级模拟)在 ABC中，/ CAB =90 , AC=AB .若点D为AC上一点，连接BD ,将BD绕点B顺时针旋转90。得到BE ,连接CE,交AB于点F.(1 )如图 1 ,若/ ABE =75 , BD =4,求 AC 的长；(2)如图2 ,点G为BC的中点，连接 FG交BD于

6、点H.若/ ABD =30 ,猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；(3)如图3 ,若AB =4 , D为AC的中点，将 ABD绕点B旋转得 A BD ,连接A C、A D,当 A D+fA C 最小时，求 SAA- BC .（ 2021 ?渝中区校级二模）如图 1 ,在 Rt ABC 与 RtAABD 中，/ ACB = Z ADB =90 , / BAC = 60 , CELAB交AB于点E, AE=AD,点F在线段BD上，连接AF.(1 )若AC = 4,求线段BD的长；(2)如图2,若/ DAF=60 ,点 M为线段 BF的中点，连接 CM,证明：2CM = BF+修C;(

7、3)如图3,在(2)的条件下，将 ADF绕点A旋转得 AD F,连接BF ,点 M为线段BF 的中点，连接 D M,当D M长度取最小时，在线段 AB上有一动点 N,连接MN ,将线段MN绕点M逆时针旋转60 至MN ,连接D N ,若AC = 4 , 请直接写出(2MN - V2D, N)的最小值.8.( 2021 ?渝中区校级三模)如图 1,等腰Rt ABC中，/ BAC = 90, AB = AC = 8,AD平分/ BAC交BC于点D,点E、F分别是线段 AC、AB上两点，且 AE=AF,连 接BE交AD于点Q,过点F作FGXBE交BE于点P,交BC于点G.(1 )若BF=2,求DQ的

8、长;(2)求证：&AC-2AQ二B。；(3)如图1 , AE = 4,连接EF,将 EAF绕点A顺时针旋转，点 M为EF中点，连 接BM , CM ,以BM为直角边构造等腰 Rt BMN ,过点N作NRLBC交BC于点R, 连接RM,当NR最小时，直接写出 MR的长度.9.( 2021 ?重庆模拟)如图，正方形 ABCD的对角线AC, BD交于点O,以正方形的边长BC为斜边在正方形内作 Rt BEC , / BEC =90 .(1 )求证：BE CE = f2OE;(2)若 CE = 3, BE = 4,4 OBE的面积为 (直接写出结果)；点P为BC边上的动点，则 OPE周长的最小值为 (直

9、接写出结果)10.(2021 ?铜梁区校级一模)4ABC为等边三角形，将线段CA绕点C顺时针旋转60 得到线段CD, F为平面内一点.接 BF,作/ABF的角平分线交CF延长线于点E,连 接DE .(1 )如图1 ,连接BD ,若点F恰好在线段BD上，CEXBC, BC = 2,求EF的长度；(2)如图 2,若/ FBC = 2/ECD,证明：BE + DE=bEC;(3)如图3,当BC=2, / ACE = 45 时，以 CE为斜边构造直角 PEC, Q为CP 中点，连接AQ .当AQ最大时，求 ACQ的面积.11.(2021 ?重庆模拟)如图，在 Rt AABC 中，/ ABC =90。，

10、/ BAC = 30。，点 D 在 直线BC上运动，连接 AD ,以AD为斜边在直线 AD的右侧作Rt AADE ,其中/ AED =90, / DAE = 30.(1 )如图1 ,点D运动到点B的左侧时，DE与AB相交于点 O,当AO平分/ DAE 时，若DC =6,求AD的长；(2)如图2 ,点D沿射线BC方向运动过程中，当 BD =AB时，连接BE ,过点B作 BF，BE交EA的延长线于点 F,取CD的中点G,连接EG .求证：DE+AE/EG;(3)如图3 ,点D沿射线CB方向运动过程中，连接 BE ,将线段BE绕点E顺时针方 向旋转60 ,得到线段EH ,连接AH、CH .若AB =

11、 6,当CH+AH取得最小值时， 请直接写出 ABE的面积.12( 2021 ?两江新区模拟)如图， ACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ ACB = ZDCE = 90 , AC = BC, DC = EC ,现将 DCE 绕点 C 旋转.(1)如图1 ,若A、D、E三点共线，AD=*J5,求点B到直线CE的距离；(2)如图2,连接AE、BD,点F为线段BD的中点，连接CF,求证：AEXCF；(3)如图3,若点G在线段AB上，且AC = 8, AG=7a/2,在 ACG内部有一点 O,请直接写出OC+ JQA+OG 的最小值.13.(2021 ?沙坪坝区校级一模)如图 1,在RtABC中，

12、/ BAC = 90, AB = AC,点D是BC边上一动点，连接 AD ,把AD绕点A顺时针旋转90。，得到 AE ,连接DE . (1 )如图1所示，若BC = 4,在D点运动过程中，当tan / BDE =春时,求线段CD的长；(2)如图2所示，点F是线段DE的中点，连接 BF并延长交CA延长线于点 M,连 接DM ,交AB于点N,连接CF, AF,当点N在线段CF上时，求证：AD + BF = CF;(3)如图3,若AB = 2/j,将 ABC绕点A顺时针旋转得 AB C,连接CC , P为线段CC上一点，且 CC =dPC,连接BP,将BP绕点B顺时针旋转60 得到BQ,连接PQ,

13、K为PQ的中点，连接 CK,请直接写出线段 CK的最大值.图1图2S314 . ( 2021 ?沙坪坝区模拟)如图，在锐角 ABC中，/ ACB=45。，点D是边BC上 一动点，连接 AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段 AE,连接DE交AC 于点F.(1 )如图 1 ,若/ ADC = 60 ,求证：DF =AF+EF ;(2)如图2,在点D运动的过程中，当/ ADC是锐角时，点 M在线段DC上，且AM=AD ,连接ME ,猜想线段ME , MD , AC之间存在的数量关系， 并证明你猜想的结论；(3)在点D运动的过程中，当/ ADC是钝角时，点N是线段DE上一动点，连接CN , 若

14、CF=*F = m，请直接用含m的代数式表示2CN+mNE的最小值.15 . ( 2021 ?潼南区一模)如图1.4ABC为等边三角形，D为AC右侧一点，且 AC =AD,连接BD交AC于点E,延长DA、CB交于点F.(1 )若/ BAF = 30, AF = 2CT,求出 CT,可得结论. 10【解答】(1)解：如图1中，过点C作CHLBD于H,设EH=x. ADE是等边三角形， .AD = DE =4, /AED=/CEH=60. / CHE =90 ,CE = EH ?tan60 = V3x,cdSABEC =解法二：过点 B作BJ XAC交AC的延长线于 J,过点D作DTXAE于T.

15、= ch2+dh2,.25=3x2+ (x+4) 2,-4x2+8x -9=0（舍弃），V3-2V3 证明BJ=DT,求出DT,即可解决问题.(2)证明：如图2中，延长AF至ij G,使得FG = AF,连接DG , CG ,延长GC交BD于T,过点C作CHLBD于H.图2%. AF= FG, CF = FD , ，四边形ACGD是平行四边形，. AC / DG , GC / AD, CAD+/ADG =180,. ADE是等边三角形，.AE=AD, Z AED = Z ADE=Z EAD =60./ AEB =/ ADG = 120,CGD=Z EAD =60 =Z GDT ,. DGT是等

16、边三角形，.DG = DT, /CTE = /CET=60 ,.CET是等边三角形，.CT=CE, / CTE = /CET =60 ,. CB = CD, CH BD ,.BH =DH , TH = EH , . BT=DE,. BE =DT= DH ,.AEBQADG （SAS）,.AB = AG= 2AF .(3)解：如图3中，取AD的中点O,连接OP, OB, OC,取OB的中点J,连接QJ , CJ ,过点C作CF AB于F,在JB上取一点T,使得JT=，连接QT, TC .AC图3. AB /CD, / BAD =90./ ADC =90,. CFXAB,./ CFA = 90 ,

17、，四边形AFCD是矩形,.AD = CF = 4/2, . BF=2近,. tan / CBA =CF-r= 2.奸2AB = 6/2,.AF = 4/2,.AD=AF,四边形AFCD是正方形， BC = TbPhEP = J（2加）屋（西）2 = 2 Vui , CO = VoD2CD =2（2V2+（W2）2=2/10, ob Aoam=4诉, . CB = CO,. CF = CD, /CFB=/CDO=90 ,RtACFBRtACDO (HL), ./ BCF =Z DCO,./ BCO =/ DCF = 90 ,. BJ = JO ,. BQ = QP, BJ=JO,OP=6,QJ

18、=CT =- qj2=jt?jb ,八反-TQJ2 = 2, TJ?JB=1x2-/5=2 , 55.【分析】(1)如图1中，过点F作FHLBC于H.设FH=CH = m,则BH = 根据BC=V3+1 ,构建方程求出 m,即可解决问题.(2)如图2中，连接 DE ,过点 D作DH，DE交BE于H.证明BH = EC , DHE是等腰直角三角形即可解决问题.MJ(3)如图3中，过点 M作MJ，BC于J,过点P作PKBC于K.证明tan / MBJ =2,推出点M的在射线BM上运动，推出当C, F , M共线，且CMLBM时,F M的值最小.设 AD = m,想办法求出 RM, PF可得结论.

19、CDXAB,过点F作FH，BC于H ./ BDC = 90 ,. / DBC = 45 ,./ DCB = 90- 45 0 =45. FH CH ,.Z FHC = 90 ,./ HFC =Z HCF = 45 . CH = FH ,设 FH =CH = m ,. / ABE = 15 ./ FBC = 45 - 15 = 30 ,BH =/1hF =V3m ,：Jm + m=向+1 , -cf=22ch =V2,_ _ _ VsWs 历 V&_V2DF =CD -CF = -72=-J1!=1 I - /(2)证明：如图2中，连接DE,过点D作DH IDE交BE于H .BF =AC,. /

20、ADC =/FDB =90 , DB=DC,RtABDFRtACDA ( HL ),./ DBF =/ACD ,. / BFD =Z CFE ,BFD s CFE ,工电EF CF 工盟 BF丽. / DFE =Z BFC ,. DFE sBFC ,./ DEF =Z BCF =45,. DH IDE ,，/ HDE =90,.Z DHE =Z DEH = 45 ,DH =DE ,. / BDC =Z EDH =90 ,./ BDH =Z CDE ,. DB = DC, DH = DE ,BDH CDE (SAS),BH =EC, . DH =DE , DG EH , . GH = EG ,.

21、 DG=yEH ,.BE =BH+HE =EC+2 DG .(3)解：如图3中，过点 M作MJ，BC于J,过点P作PKLBC于K.BHR, DBC都是等腰直角三角形, TOC o 1-5 h z ./ DBC =/ HBR =45,./ HBC =90,. / H = / HBJ =/ MJB =90,四边形BHMJ是矩形，BH = MJ , HM = BJ ,. BH =HR, HM =MR,.MJ =2BJ , .tan / MBJ见BJ=2,，点M的在射线 BM上运动,当C, F , M共线，且CMBM时，F M的值最小. tan / ACD =1 AT3-CD 5 .CD = BD =

22、3m,DF = AD = m, CF=CF =2m, BCCMB =90,.BM=m, 一 CM - tan /CBM - 口从-2)CM =-m ,. BJ = HM =pm , JM - BH = HR =pm ,.MR =逗5 m，设 BK = PK=n , CK = 2n,n=V2m ,. BK = PK=V2m, CK = 2应m, PC = 7m,.PF，=PC-CF，= Vlbm - 2m ,6.【分析】(1)通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；(2)通过作辅助线，构造全等三角形，设AC=a,利用中位线定理，解直角三角形,的数量关系;用a的代数式表示 C

23、D和HG ,即可得 CD与HG(3)构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定A (4)的位置，继而求得相关三角形的面积.【解答】 解：(1 )过D作DG，BC ,垂足是G ,如图1 :将BD绕点B顺时针旋转90。得到BE ,./ EBD =90. / ABE =75./ ABD =15Z ABC =45 ,DBC =30,，在直角 BDG中有DG =2,= 2-/3,ACB =45,，在直角 DCG 中，CG = DG = 2,. BC = BG+CG= 2+2VS,AC = y-BC = V2+V6；73(2)线段DC与线段HG的数量关系为：HG =-CD ,证明：延长 CA,过E作EN垂

24、直于CA的延长线，垂足是 N,连接BN , ED ,过G作GM XAB于M ,如图：02./ END =90 ,由旋转可知/ EBD = 90 ,./ EDB =45.Z END =/ EBD =90 ,.E, B, D, N四点共圆，/ BNE = / EDB = 45, / NEB + / BDN =180. / BDC +/ BDN =180, / BCD = 45 ,./ BEN =Z BDC ,./ BNE =45 =Z BCD ,在 BEN和 BDC中，ZBFE=ZBCDZBEK=ZBDC, BEKBBEN 八 BDC (AAS),BN = BC,BAC =90,在等月BNC中，由

25、三线合一可知 BA是CN的中线,. / BAC =Z END = 90 ,. EN /AB,.A是CN的中点，.F是EC的中点，.G是BC的中点，FG是4BEC的中位线，. FG / BE, FG=BE , 2. BE BD ,. FGXBD ,. / ABD =30 ,./ BFG = 60 ,. / ABC =45 ,Z BGF =75 ,设 AC = a,则 AB = a,在 RtABD 中，AD=退如 BD = BE=1, 33FG =yBE , 旷FG=xa,. GM AB,BGM是等腰三角形， MG = MB =BG* 应考 Xy xV2AC=1a,在 RtAMFG 中，Z MFG

26、 = 60 ,.V3MF = MG ,返.MF=a, o3+V3BF = BM+MF=-a, 6在 Rt A BFH 中，Z BFG = 60 ,V3L厂c. HG = FG -FH= a-, a=WMT%,一Vs,不一又CD = a-a=- W3 l)a ,CD 4HG=JHG =-CD;4(3)设 AB = a,则 BC = V2a,取 BC 的中点 N,连接 A D, A C, A N,连接DN，如图3,D图3由旋转可知A B = AB=a,劈=*=6，耗二号, B _ BC 厂又/ ABN =/ CBA, . .A BNA CBA根据旋转和两点之间线段最短可知,C最小，即是AD+AN最

27、小,此时D、A、N共线，即 A在线段DN上，设此时A落在A处，过 A”作AFAB于F,连接AA,如图4,D副BD, N分别是AC, BC的中点,. DN是 ABC的中位线，. DN / AB ,. ABXAC,. DNXAC,/A=/A”FA = /A”DA = 90,四边形A FAD是矩形，.AF = A”D, AF = AD = 2,又 A”B = AB = 4,设 AF = x,在直角三角形 AFB中，A”B2=A”F2+BF2, - 42= 22+ (4 -x) 2,解得 x= 4-2V3.此时 SaaBC= SA ABC SAAAB SAAAC =-AB?AC -2AB?AF-2AC

28、?AD 弓 X4X4 一X4 X2 一X 4 X ( 4 - 25) = 4a 4 4 .7.【分析】(1)利用30 角求出AB和AE的长度，AE即为AD长度，利用勾股求出BD长度；(2)构造两个120。的等腰三角形，底边FF=V3AF=V3AC,得出J&AC+ FB = FB , 根据SAS证ABFABF,得FB=BF,由中位线得 BF = 2CM,即可得证结论；(3)延长 FD,使 DF=DF,由 D、M 分别为中点， 得 DM = F”B,当 F”、A、B 三 点共线时FD最小，则DM最小，确定此时点 D在AC上，过M作AC平行线MP, 易得 DPM为等边三角形，由 MNN 是等边三角形

29、，根据 SAS证 DMN A PMN , 可得/ MDN = Z MPN =60 =/ PDM ,即确定了 N运动轨迹在直线DP上，2MN+&DN,可转化为等腰直角三角形得斜边和直角边数量关系，最后根据三角形两边之差w第三边(共线时取等号)求出最小值即可.【解答】 解：(1 ) / ACB = 90, / BAC = 60 , AC=4,.AB = AC+cos60 =8,. CEXAB,.AE=AC?cos60 =2,.AD=AE=2,. / ADB =90,. BD=心讲泊/=凡2=2任;(2)延长 FD 至 F,使 DF=DF ,延长 BC 至 B使 CB = CB ,连接 FB、AB、

30、AF,. DF=DF, CB=CB, /ADF = /ACB=90 AF = AF, AB =AB,. / CAB =/ DAF =60,.BAB = Z FAF=120 ,/ BAB+ / FAB = / FAF + / FAB ,即/ BAF = Z BAF,. ABFAABF (SAS), .BF=BF,C、M分别是BB、FB的中点，.BF = 2CM ,. AC = 2AE, AF = 2AD, AD=AE, .AC = AF,. AF = AF, / FAF= 120,. FF=V3AF=/3AC,. BF+73AC= BF + FF = BF=BF = 2CM , 即 2CM =

31、BF+V3AC ;(3)延长 FD至 F,使 FD=FD D、M分别为FF、FB中点，DM / FB 且 DM = 7J-FB ,当F”在线段AB上时，FB最小此时D在线段AC上，此时DM过点M作MP / AC,交AB于点连接 DP, DN,.MP /AD, AP/ DM, AD=DM = 2,四边形 ADMP是菱形，. / CAB =60,. DMP是等边三角形，/ MPN =60.MN绕点M旋转60 ,（如右图3）,AD,P,， MNN，是等边三角形， . DMN APMN (SSS),.Z MDN=Z MPN=60=Z PDM ,即N，运动轨迹在DP,以为斜边作等腰直角三角形 ODN，,

32、则 0N =挚N， (2MN-J2DN) = 2 (MN ,-y-DN) = 2 (MN-ON),.当NOM 三点共线时 MNON，最小为OM,. Z NDM= 60 , Z NDO=45 ,作/61/1口=/61/1=15,则/ MGD = 30,设 OM = x , OG = Xi3x, GM = D G = 2x, D O = 2x+-/3x ,DO2+MO2=DM2,(2x+VSx) 2+x2 = 22,图38.【分析】(1 )过点E作EH，BC于点H ,根据等腰直角三角形的性质求出 AD = BD = CD = 4炎，由 EHXBC 可得出 EH = HC =CE=-72,则 BH

33、= BC - CH = A/2 , 证出AD / EH ,可得 BDQs BHE ,根据相似三角形的性质即可得 DQ的长；(2)过点A作AKLBE交BC于点K,延长BA至点R,使得AR=AE,连接CR, 延长BE交CR于点T,利用ASA证明 BAQAACK (ASA),根据全等三角形的性 质得 AQ=CK,再证 ABEA ACR (SAS),得/ ABE = / ACR,可得出/ ETC = 90。，则 AK/CR,根据平行线分线段成比例定理可得GK=CK,则BC =72AC =BG+CG = BG+2CK = BG+2AQ,即可得出结论；(3)解：连接AM ,过点M作MSXBC于点S,根据等

34、腰直角三角形的性质求出AM=EF =2衣，则点M在以A为圆心，26为半径的。A上移动，利用 AAS证明 MBSA BNR (AAS),可得 BS = NR, MS = BR ,则当NR最小时，即 BS最小，由 图可得当且仅当 MS与。A相切时，BS取得最小值，此时， AM = ME = 2施，点E落 在线段 AB上，AE=BE = 4, BS = ES = 2f2,在Rt MSR中，根据勾股定理即可求 解.【解答】(1)解：过点E作EH，BC于点H ,. AB = AC=8, / BAC =90 ,BC=VAB = 8 /ABC=/ACB = 45 . AD 平分/ BAC , . . AD

35、BC, AD= BD = CD = 42, .AE=AF, .AB - AF = AC - AE , . BF = CE=2, . EH BC , .AD / EH , / EHC = 90 , .Z HEC =Z HCE =45 ,HE = HC = CE=/2, .BH =BC - CH = 772, . AD / EH , . BDQA BHE ,(2)证明：过点 A作AKXBE交BC于点K,延长BA至点R,使得AR=AE,连接CR,延长BE交CR于点T,R”li. AD 平分/ BAC , / BAC =90/ BAD = 45 ,./ BAD =/ACB,. AKXBE,./ ABQ

36、+Z BAK =90. / BAK + /CAK = 90在 ABQ ACAK 中， rZABQ = ZCAK AB=CA,:ZBAQ=ZACK=45fl . BAQAACK (ASA),. AQ = CK,在ABE和ACR中， rAB=AC/BAE=/CAR=90。， AE=AR.ABEQACR (SAS),./ ABE =Z ACR,. /ABE + /AEB =90 , /AEB=/CET,/ ACR+/CET = 90 , ./ ETC = 90,即 CRBE ,. AKXBE,. AK / CR,AE=AF = AR,. GK = CK,. BC =f/2AC = BG+CG = B

37、G +2 CK, .6aC=BG +2 AQ, a/1aC -2AQ = BG ；(3)解：连接AM ,过点M作MSXBC于点S,. AE=AF = 4, / EAF =90,. EF = &AE=4 近,点M是EF的中点，.AM=yEF=2V2,点M在以A为圆心，2近为半径的。A上移动, BMN是等腰直角三角形，.BM =BN , / MBN = 90 ,.Z NBR + /MBS =90 ,. NRXBC, MS BC ,./ NRB = Z BSM =90 ,./ NBR + /BNR =90,./ MBS =Z BNR ,在 MBS和 BNR中，/MBS匕取ZBSZNRB,bm=nbM

38、BS BNR (AAS),BS = NR, MS = BR,当NR最小时，即BS最小，如图当且仅当 MS与。A相切时，BS取得最小值,此时，AM = ME =2的，点 E 落在线段 AB 上，AE = BE = 4 , BS=ES=2/,MS = BR = ME+ES = 4在，. SR=BR- BS = 2、历在 Rt MSR 中，MR =dllS+S2=|V（4）2:（2扬=2师,当NR最小时，MR的长度为2丁而.9.【分析】（1）如图1中，设BE交AC于点J,过点O作OTLOE交BE于T.证明 OBTA OCE （ASA）,推出 BT=CE, OT=OE, OET是等腰直角三角形，即 可

39、解决问题.（2）如图2中，过点O作OTLBE于T.利用（1）中结论，求出 OE, OT,可得 结论.如图3中，作点 O关于BC的对称点T,连接OT交BC于R,连接ER, ET, ET 交BC于O,连接OP,此时PE+PO的值最小， OPE的周长也最小.四边形 ABCD是正方形,1中，设BE交AC于点J,过点O作OTXOE交BE于T. ACXBD, OB=OD=OA=OC,./ BOC =/TOE = 90 ,/ BOT = / COE ,. / BOJ = / CEJ = 90, / OJB = / CJE , ./ OBJ =/ ECJ ,.OBTQOCE (ASA),. BT=CE, OT

40、=OE,.OET是等腰直角三角形，./ OEB =45 ,ET = 2OE,. BE =BT+ET,. BE =EC+xOE,.BE - EC = /2OE . BE=4, EC = 3,(2)解：如图2中，过点O作OTBE于T.BE - EC=V2OE,OTE = 90, / OET =45- 1 .OT=ET = ,Ui,Sobe = /?BE?OTX 4 X如图3中，作点 O关于BC的对称点T,连接 OT交BC于R,连接ER, ET, ET 交BC于O,连接OP,此时PE+PO的值最小， OPE的周长也最小. OB = OC, OTXBC,. RB = RC,/ BOC =Z BEC =

41、90. OR=ER= BR=CR = TR,- B, C, E, O四点共圆，OT是直径,./ OET = 90,BC=Mbe% 由 c42+32=5,.OT=5,. OE = .ET =POEVOTOE.OP+PE的最小值=故答案为：4版.10.【分析】(1)由CA旋转60 得到CD可知/ DBC =30 ,由BE平分/ ABF可得/ EFB =45 ,由CE，BC可求出EC , FC的长度，EC - FC即为EF长度；(2)过C作/ ECG = 120 交EB延长线于点 G,根据SAS证 BCG DCF ,得 出 EG=d5EC,即可得证 BE+ED=V1eC;(3)根据 PEC为直角三角

42、形，得P至ij CE中点H距离为定值，求出Q到CH中点K 距离为定值，当 AKQ三点共线时AQ最大，利用相似求出高 QJ,再求出面积即可.【解答】解：(1 ) .CA绕C点旋转60。得到CD , ABC是等边三角形，. BC = CD, / BCD =120,./ DBC =Z BDC = ( 180- 120) + 2 =30, BE 平分/ ABF ,/ EBF =/ (/ ABC - Z DBC) =X3。)= 15/ EBC = / DBC +/ EBF =30 +15= 45. CEXBC, BC = 2,=2, .FC = BC?tan30 =2 乂叵= , EC = BC ?ta

43、n45 33. EF=EC-EF = 23(2)如右图2,过C作/ ECG =120 交EB延长线于点 G,/ FBC =30./ ECD = 15/ BCE = / ECG - / ECD = 120- 15 = 105. / EBC = 15 +30 = 45 ,/ BEC = 180 - Z EBC - / BEC = 180 - 45 - 105 = 30. / ECG = 120,/ G= 180 -Z BEC - / ECG = 30,即/ G=Z BEC ,. CG = CE ,/ ECG =/ DCB ,/ BCG =Z DCE , . BC = DC, GC=EC,.BCG，

44、DCF (SAS),.ED = BG,.EG = EB+ED. EG=2EC?cos30 = /1eC ,. eb+ed=V3ec；. / ACE =45, / EBC =45 ./ BCE = 105,过点C作CM，BE于M , . BC = 2,. BM=CM=e，CE = 2CM=2,取CE中点H ,取CH中点K,连接PH、QK,直角 PEC ,PH=yCE,PH =考Q、K分别为PC、HC中点,. QK.Q点轨迹是以K为圆心，返为半径的圆,2当Q在AK延长线和圆K交点时AQ最大, 如图3,过K作KN LAC,过Q作QJ AC交AC延长线于点J ,.CK - QK 号 AC=BC = 2

45、,ZACE=45.CN = KN= CK?sin45AN = AC - CN = 2 . AK =HA春管. AK + QKAQ ,当A, K, Q三点在一直线上时 AQ最大,a/W V2AQ 取大= / QAG = / QAJ , / ANK = / AJQ = 90 ,. AKNA AQJ解得 JQ =101011【分析】(1 )如图1中，过点D作DM AC于M,证明 ADM是等腰直角三角形 即可解决问题.(2)如图2中，取AD的中点H,连接BH , GH , EH .证明 EBG是底角为30 的 等腰三角形，即可解决问题.(3)如图3中，当点D在射线CB上时，点E在射线BE上运动，此时/

46、 EBC = 30 , 当点C, H, N三点共线时，CH+/AH = CH + HN最短，此时点 E也在线段CN上，由 此即可解决问题.【解答】(1)解：如图1中，过点D作DM AC于M ,在 Rt CDM 中，Z DCA = 60 , DC=6, .CM = 3, DM =3E OA 是/ DAE 的角平分线，/ DAE = / BAC = 30 TOC o 1-5 h z ./ DAO =15,./ DAC =45,./AMD =90,.AM = DM =3 百，.AD=V2AM =3 代(2)证明：如图2中，取AD的中点H,连接BH , GH , EH ./ BAE + /BDE =1

47、80. / BAE + Z FAB = 180./ FAB = Z BDE ,FBI BE,./ FBE =/ABD =90./ FBA = Z EBD ,AB = BD, . FABA EDB (SAS), . AF= DE, BF = BE ,在 Rt ABD 和 RtAAED 中，/ EAD = 30, / BAD =45点H为AD的中点，1BH AD , BH = EH =一AD , / DAC = / DHG = 15.G为CD的中点,.AC / HG ,./ DAC =Z DHG =15/ BHG = / BHD / GHD =90 15 = 75/ EHG = / EHD + /

48、 DHG =60+15= 75,b B BHG = / EHG ,且/ BHE =150 ,.BHG - EHG (SAS),:.BG = EG ,/ GBE = / GEB = / HBD - / HBE = 30 ,.EBG是底角为30。的等腰三角形，.be=Vsge,DE +AE = AF +AE = EF = &BE =。后GE .在射线CB上时，点E在射线BE上运动，此时/ EBC =(3)解：如图3中，当点D则线段EB绕点E顺时针旋转60。得到线段EH ,则点H在AB上运动，在点 A的左侧作射线 AM,使得/ BAM =30 ,过点 H作HN XAM于N, 当点C, H, N三点共

49、线时，CH+AH = CH + HN最短，此时点 E也在线段CN上，则/ BCH =30 , AH = CH = 2BH , .3BH = 6,BH = 2,SAABE =1?AB?EG =X6 x3於.过点E作EG BH于G,则EG=V3,12【分析】(1)作BG LCE交CE延长线于G,求出BG的长即为B到直线CE的距离;(2)先证 CDF HDB ,得出BH / CF,再根据 SAS证 HCB EAC ,根据角的关系导出/ EOC = 90 ,进而得出 AELCF;(3)当O为 ABC的中垂线交点时 亚OC+百OA+叵OG的值最小，根据数据求值即可.【解答】 解：(1 )如图1 ,作BG

50、XCE交CE延长线于G,. /ACD+/DCB=90, / DCB+/BCE =90,./ ACD =/ BCE ,又. AC=BC, CD=CE, . CDAACEB (SAS),. BE=AD=五, /CEB = /CDA,. / CDE =45 ,.Z CDA =135 =Z CEB ,=45/ GEB =180 - Z CEB = 180 - 135BG = BE ?sin452即点B到直线CE的距离为谷必；1(2)如图2,延长DC,使CH = DC,连接BH,设EA交CF于O,/ CDF =Z HDB ,. CDFA HDB ,./ FCD =Z BHD ,BH / CF,HCB =

51、/ECH+/ECB , / ECA = / ECB+/BCA , / ECH = / BCA = 90.Z HCB =Z ECA,又.CH =CE , BC =AC,.HCB - EAC (SAS),./ BHC =Z CEA,. / BHC =Z FCD ,./ BHC =Z FCD = Z CEA,. / ECF+Z FCD =Z ECD =90./ ECA + Z ECF =90,. / CEA + /ECF+/ EOC = 180./ EOC=90 ,. AEXCF;(3)如图3, OG逆时针旋转90 且OG=2OG,即OO=%后OG,作AGXAG,且AG = 2AG ,并延长 AG交

52、BC于M ,Z OGA + Z AGO= 90 , Z AGO+Z AGO = 90,. AOGsAOG,且相似比为 1:2,. . OA=2OA,即 OC + OO+OA = OC+2OA+dOG,OC+OA+OG =(OC+2OA+JOG),当 OC + OO+OA最小时,OC+V2OAOG有最小值,即当OO在线段CA上时OC+V2OA+y-OG有最小值，最小值为 W:AC,作AHCB延长线于H,. ABC为等腰直角三角形,./ MBG =45,又. GM AB,. .MGB为等腰直角三角形，. AC = 8, AG = 7 心. AB = 8血，MG = BG=AB - AG = 8&-

53、7迎=乃，MB =/2BG = 2, . AG = 2AG= 14 m,.AM=AG+MG=15&, .HMA=45. AMH为等腰直角三角形,.AH=MH =rf-AM = 15 ,.CH = BC+MH - MB =21 ,.AC =/卜 MkH忆弓15幻2冒=3/74,oc+4%a+邛OG的最小值为零AC =4 x SV74 = 3/37.图2S 113 .【分析】(1)根据SAS证ABE0ACD,再证出BE BC ,然后根据tan Z BDEBE 81 5 _=吕口 =，设BE = 8x = CD ,斛出x即可；(2 )连接BE ,过点A作AG AF ,交CF于点G,根据SAS证 ABM AACN ,再同理证 ABF AACG ,得出 AD+BE = GF + BF = GF + CG = CF,即可得证；(3)在AC上取点M,使AC = /3AM ,将BM绕点B顺时针旋转60。得BN ,连接MN, R为MN的中点，根据旋转和等边三角形的性质得证“ACC,得出边的比例关系即可求出CK最大值.【解答】解