数字信号处理课件：7 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

1、第7章 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的设计方法7.1 引言7.2 线性相位FIR滤波器的特点 7.3 用窗函数法设计FIR滤波器 7.4 用频率采样法设计FIR滤波器 7.6 FIR滤波器和IIR滤波器的比较7.1 引言 FIR数字滤波器的特点：(与IIR数字滤波器比较)优点： 很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理,图象处理、数据传输等系统中非常重要； FIR滤波器的单位抽样响应是有限长序列，即h(n)绝对可和，故滤波器一定是稳定的; 任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是满足； 结构上主要是非递归结构

2、，无反馈运算，运算误差小； 可以采用快速傅里叶变换（FFT）算法来实现过滤信号，从而大大提高运算效率。 缺点： 因为没有非零极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价； 无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。7.2 线性相位FIR滤波器的特点 （）如果FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是实数序列，而且满足偶对称或奇对称的条件，即则滤波器就具有严格的线性相位特性。一、线性相位特性 (1) h(n)偶对称的情况 （令m=N-1-n） h(n)=h(N-1-n) 0nN-1 其系统函数为： （等式两边同加H(z)，再乘1/2） （据z变换定义） 滤

3、波器的频率响应为 上式的以内全部是标量，可将频率响应用相位函数()及幅度函数H()表示为 其中： 标量函数，可为正值和负值严格的线性相位图7-3. h(n)偶对称时的线性相位特性 则该FIR滤波器的群延迟() 为 上式说明：当h(n)满足偶对称时，FIR数字滤波器具有(N-1)/2个采样的延时， 它等于单位脉冲响应h(n)长度的一半。也就是说，FIR数字滤波器的输出响应整体相对于输入延时了(N-1)/2个采样周期。相位函数：其系统函数为 因此 h(n)=-h(N-1-n) 0nN-1 (2) h(n)奇对称的情况 同样可以改写成 其频率响应为记作 即：相位函数()及幅度函数H()为 幅度函数H

4、() 可为正值或负值；相位函数既是线性相位的，又包括/2的相移，如图7-4所示。 群延迟为：可以看出，当h(n)为奇对称时，FIR滤波器不仅有(N-1)/2 个采样的延时， 还产生一个90的相移。这种使所有频率的相移皆为90的网络，称为90移相器，或称正交变换网络。 图7-4 h(n)奇对称时的90相移线性相位特性 h(n)有奇对称和偶对称两种情况，而h(n)的点数N又有奇数、偶数两种情况，因而h(n)可以有4种类型，分别对应于4种线性相位FIR数字滤波器。图7-1 h(n)偶对称 图7-2 h(n)奇对称(a) N为奇数；(b) N为偶数 (a) N为奇数；(b) N为偶数二、 幅度函数特点

5、 1. 第一种类型： h(n)为偶对称，N为奇数 h(n)偶对称的幅度函数式为： h(n)和 同时对于(N-1)/2 呈偶对称，满足将内两两相等的项合并，幅度函数就可以表示为 （令）可表示为 式中: n=1,2,3,(N-1)/2 由于cos(n)项对于=0, ,2皆为偶对称，因此幅度函数H()对于=0, ，2也呈偶对称。 2. 第二种类型：h(n)为偶对称，N为偶数 （令 ）因此 由于N为偶数，因此式中无单独项，全部可以两两合并得式中: n=1,2, 3, , N/2 1）当=时， ，余弦项对=呈奇对称，因此H()=0，即H(z)在z=ej=-1 处必然有一个零点，而且H()对=呈奇对称。

6、2）当=0或2时， 或-1，余弦项对=0, 2为偶对称，幅度函数H()对于=0, 2也呈偶对称。 3）如果数字滤波器在=处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。 3. 第三种类型： h(n)为奇对称，N为奇数 h(n)奇对称的幅度函数式如下： 分析：h(n)对于(N-1)/2 呈奇对称，即h(n)=-h(N-1-n)，当n=(N-1)/2时， 因此，, 即h(n)奇对称时，中间项一定为零。此外，式中 也对(N-1)/2 呈奇对称。因此，在中第n项和第(N-1-n)项是相等的，将这两两相等的项合并，即 （令）可写为 式中: n=1, 2, 3, , (N-1)/2 1

7、）由于sin(n)在=0, , 2处都为零，并对这些点呈奇对称，因此幅度函数H()在=0,2处为零，即H(z)在z=1上都有零点，且H()对于=0,2也呈奇对称。2）如果数字滤波器在=0, 处不为零，例如低通滤波器、 高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计， 除非不考虑这些频率点上的值。 4. 第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数由于N为偶数，式中无单独项，全部可以两两合并得（令 ）因此 式中: 1）当=0, 2时， ，且对=0, 2呈奇对称，因此H()在=0, 2处为零，即H(z)在z=1处有一个零点，且H()对=0, 2也呈奇对称。 2）当=时， 或1，则 对=呈偶对称，幅

8、度函数H()对于=也呈偶对称。 3）如果数字滤波器在=0, 2处不为零，例如低通滤波器、 带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。 表7-1 四种线性相位FIR滤波器特性表7-1 四种线性相位FIR滤波器特性三、线性相位FIR滤波器的零点位置 线性相位FIR滤波器的系统函数为： H(z)=z-(N-1)H(z-1)1）若z=zi是H(z)的零点，即H(zi)=0，则z=1/zi=zi-1也一定是H(z)的零点(因为H(zi-1)=zi (N-1) H(zi)=0）。2）当h(n)是实数时，H(z)的零点必成共轭对出现，所以 z=zi*及z=(zi*)-1也一定是H(z)的零点。 线性相位FI

9、R滤波器零点分布特点是零点必须是互为倒数的共轭对。确定其中一个，另外三个零点也就确定了。这种互为倒数的共轭对有四种可能性。 图 7-5 线性相位FIR滤波器的零点位置图 由幅度响应的讨论可知：1）第二种类型的线性相位滤波器 H()=0， 因此必然有单根 z=-1。2）第四种类型的线性相位滤波器 H(0)=0, 因此必然有单根 z=1。3）第三种类型的线性相位滤波器 H(0)=H(）=0， 因此必然有两种单根 z=1 。 线性相位FIR滤波器的H(z)只可能由以上几种情况组合而成，了解了线性相位FIR滤波器的特点，便可根据实际需要选择合适类型的FIR滤波器，同时设计时需遵循有关的约束条件。下面讨

10、论线性相位FIR滤波器的设计方法时，都要用到这些特点。 如果希望得到的滤波器的理想频率响应为: 窗函数设计法（时域逼近） 频率采样法（频域逼近） 最优化设计（等波纹逼近）那么 FIR滤波器的设计就在于寻找一个去逼近 ,逼近方法有三种：7.3 用窗函数法设计FIR滤波器 一、设计方法1.设计思想 先给定所要求的理想滤波器的频率响应 ，要求设计一个FIR滤波器频率响应 , 去逼近理想的频率响应 。2. 设计过程 先用傅氏反变换求出理想滤波器的单位冲激响应hd(n)，然后加时间窗w(n)对hd(n)截断，以求得所设计的FIR数字滤波器的单位抽样响应h(n)。 窗函数法设计FIR数字滤波器是在时域进行

11、的, 从单位脉冲响应序列着手，使你所设计的FIR滤波器单位冲激响应序列h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。因此，必须首先由理想频率响应 的傅里叶反变换推导出对应的单位脉冲响应: （7-36） 由于许多理想化的系统均用分段恒定的或分段函数表示的频率响应来定义，即 逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因此hd(n)一定是无限长的序列，且是非因果的。 而我们要设计的是FIR滤波器，其h(n)必定是有限长的，所以要用有限长的h(n)来逼近无限长的hd(n)，最简单且最有效的方法是截断hd (n) 。0nN-1 其他 式中如果采用简单截取，则窗函数为矩形窗。 通常，可以把h(n)表示为所需单位脉

12、冲响应与一个有限长的窗口函数序列w(n)的乘积，即 h(n)=hd(n)w(n) 相应的单位脉冲响应为： hd(n)是一个中心点在的偶对称、无限长、非因果序列，为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2 对称，故中心点必须取=(N-1)/2 。 例如要求设计一个线性相位FIR数字低通滤波器，假设理想低通滤波器的频率响应为：（7-39）设截取的一段用h(n)表示，则理想低通的单位脉冲响应及矩形窗 3. 分析窗口函数法对频响产生的影响 逼近程度 根据复卷积定理，由 可得h(n)的频率特性 H(ej)逼近Hd(ej)的好坏，取决于窗函数的频谱特性

13、W(ej)： （7-42）这里选用矩形窗RN(n)，其频谱特性为 幅频特性和相频特性为 （7-45）式中： 其中，WR()是连续函数，主瓣宽度为4/N，两侧有许多衰减振荡的旁瓣。通常主瓣定义为原点两边第一个过零点之间的区域。 若将理想滤波器的频率响应也写成 则其幅度函数为 将式（7-45）和式（7-47）代入式（7-42），就可以得到实际设计的FIR滤波器频率响应为： （7-47）设 则实际设计的FIR滤波器的幅度函数为 显然，对实际FIR滤波器的幅频特性H()有影响的是窗函数的幅频特性WR()。实际FIR滤波器的幅频特性是理想低通滤波器的幅频特性与窗函数的幅频特性的卷积。 （7-51） 卷积

14、过程说明:（1）=0 时的响应H(0)，应该是图中(a)和(b)两个函数乘积的积分，即H(0)等于WR()在=-c到=+c一段的积分面积。通常c2/N，H(0)实际上近似等于WR()的全部积分（= -到=+）面积。 （2）=c时的响应H(c)，Hd()刚好与WR(-)的一半重叠，如图(c) 。因此卷积值刚好是H(0)的一半，即H(c)/H(0)=1/2，如图（f）。 (4)当 时， WR(-)的主瓣全部在通带Hd() 的通带（|c）之外，而通带内的旁瓣负的面积大于正 的面积，因而卷积结果达到最负值，频响出现负肩峰。(3)当 时， 的主瓣全部在 的通带内，这时应出现正的肩峰。 (6)当 时， 的

15、右边旁瓣将进入 的通带，右边旁瓣的起伏造成 值围绕 值而波动。(5)当 时，随 增加， 左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积 也随着 的旁瓣在通带内的面积变化而变化，故 将围绕着零值而波动。加窗处理对理想频率响应产生以下几点影响(P335)： （1）H()将Hd()在截止频率处的间断点变成了连续曲线，使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带的宽度等于窗的频率响应WR()的主瓣宽度=4/N，即正肩峰与负肩峰的间隔为4/N。窗函数的主瓣越宽，过渡带也越宽。 （2）在截止频率c的两边即=c(2/N)的地方，H()出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而

16、振荡的多少，则取决于旁瓣的多少。 （3）改变截取长度N，只能改变窗谱函数的主瓣宽度和WR()的绝对值大小。例如，在矩形窗情况下 式中，x=N/2。 当截取长度N增加时，只会减小过渡带宽度（4/N），但不能改变主瓣与旁瓣幅值的相对比例; 同样，也不会改变肩峰的相对值。这个相对比例是由窗函数形状决定的，与N无关。换句话说，增加截取窗函数的长度N只能相应的减少过渡带，而不能改变肩峰值。 增加截取窗函数的长度N只能相应的减少过渡带宽度，而不能改变肩峰值。例如在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为8.95%，该值不会随着N的增加而增加，最大相对肩峰值则总是8.95%，这种现象称为吉布斯效应。 由于肩峰值的大小

17、直接影响通带的平稳和阻带的衰减，所以对滤波器的性能影响较大。例如矩形窗截断造成的肩峰值为8.95%，则阻带最小衰减为20 lg(8.95%)=-21 dB, 这个衰减量在工程上常常是不够大的。 为了加大阻带衰减， 只能改变窗函数的形状。二、 各种窗函数由频域周期卷积式看出，只有当窗谱逼近冲激函数时，也就是绝大部分能量集中于频谱中点时，H()才会逼近Hd()。这相当于窗的宽度为无限长，等于不加窗口截断，这没有实际意义。 但我们可以使窗谱尽量接近冲激函数的特性，从以上讨论中看出，窗函数序列的形状及长度的选择很关键，一般希望窗函数满足两项要求： （1）窗谱主瓣尽可能地窄，以获取较陡的过渡带。 （2）

18、尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度。也就是能量尽量集中于主瓣，这样使肩峰和波纹减小，就可增大阻带的衰减。 但是这两项要求是不能同时都满足的。当选用主瓣宽度较窄的窗函数时，虽然能得到较陡的过渡带，但通带和阻带的波动较明显；当选用的窗函数有最小的旁瓣幅度时，虽能得到平坦的幅度响应和较小的阻带波纹，但过渡带较宽，也即主瓣较宽。因此, 实际选用窗函数时往往要折衷考虑，在保证主瓣宽度达到一定要求的前提下，适当牺牲主瓣宽度以换取相对旁瓣的抑制。 以上是从幅频特性的改善对窗函数提出的要求。实际上设计的FIR滤波器往往要求具有线性相位： h(n)=hd(n)w(n) 因此，除了要求hd(n)满足线性相位条件外，

19、对w(n)也要求长度N有限，且以(N-1)/2为其对称中心，即w(n)=w(N-1-n)综上所述，窗函数不仅起截断作用，还能起平滑作用，在很多领域都得到广泛应用。因此, 设计一个特性良好的窗函数有着重要的实际意义。 1. 矩形窗 0nN-1 其他 2. 巴特列特（Bartlett）窗（又称三角形窗） w(n)的频响为 近似结果在N1 时成立。此时，主瓣宽度为8/N, 比矩形窗主瓣宽度增加一倍， 但旁瓣却小很多。另外，三角形窗的频谱密度函数永远是正值。 3. 汉宁（Hanning）窗(又称升余弦窗) 其频响为 当N1 时，N-1N, 所以窗函数的幅度函数为 这三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集

20、中在主瓣，但是代价是主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍，即为 8/N。 4. 海明（Hamming）窗（又称改进的升余弦窗）w(n)的频率响应的幅度特性为 与汉宁窗相比,主瓣宽度相同为 8/N,但旁瓣又被进一步压低, 结果可将99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内. 5. 布拉克曼（Blackman）窗(又称二阶升余弦窗)w(n)的频率响应的幅度特性为 主瓣宽度是矩形窗的主瓣宽度的3倍（12/N） 为了进一步抑制旁瓣，对升余弦窗函数再加上一个二次谐波的余弦分量， 变成布拉克曼窗。 图 7-10 五种常用的窗函数 图 7-11 图 7-10 的各种窗函数的傅里叶变换（N=51）(a) 矩形窗;

21、(b) 巴特利特窗（三角形窗）; (c) 汉宁窗; (d) 海明窗; (e) 布拉克曼窗 旁瓣衰减逐步提高同时主瓣宽度增加图 7-12 理想低通滤波器加窗后的幅度响应（N=51）(a) 矩形窗; (b) 巴特利特窗（三角形窗）; (c) 汉宁窗; (d) 海明窗; (e) 布拉克曼窗 6. 凯泽（Kaiser）窗 这是一种适应性较强的窗，其窗函数的表示式为 0nN-1 式中，I0(x)是第一类变形零阶贝塞尔函数，是一个可自由选择的参数。图7-13 凯塞窗函数 表7-2 凯泽窗的性能表7-3 六种窗函数基本参数的比较（） 窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/dB主瓣宽度/ （2/N）

22、过渡带宽/ （2/N）阻带最小衰减/dB矩形窗巴特列特汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗（=7.865）-13-25-31-41-57244460.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80（）阻带最小衰减只由窗形状决定，不受窗宽N的影响；而过渡带的宽度既和窗形状有关，且随窗宽N的增加而减小。三、窗函数法的设计步骤（1） 给定希望逼近的频率响应函数Hd(ej)。 （2） 求单位脉冲响应hd(n)=IDTFTHd(ej) ，即 如果Hd(ej)很复杂或不能直接计算积分，则必须用求和代替积分，以便在计算机上计算，也就是要计算离散傅里叶反变换， 一般都采用FFT来计算。 （3）由过渡

23、带宽及阻带最小衰减的要求，利用表7-3可选定窗形状w(n)，并估计窗口长度N。 设待求滤波器的过渡带用表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。因过渡带近似与窗口长度成反比， NA/，A决定于窗口形式。例如，矩形窗A=1.8，海明窗A=6.6等，A参数选择参考表7-3。按照过渡带及阻带衰减情况，选择窗函数形式。原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下， 尽量选择主瓣窄的窗函数。（5）由h(n)求FIR滤波器的系统函数H(z)或频率响应H(ej)=DTFTh(n)，检查是否满足设计要求，如不满足，则需重新设计。 通常整个设计过程可利用计算机编程来实现，可多选择几种窗函数来试探，从而设计出性能良好的FIR滤波器

24、。 （4） 求得所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应 h(n)=hd(n)w(n) 0nN-1 【例7-1】()：根据下列技术指标，设计一个线性相位FIR低通滤波器。 抽样频率为 s=2*1.5*104(rad/sec) 通带截止频率为 p=2*1.5*103(rad/sec) 阻带截止频率为st=2*3*103(rad/sec) 阻带衰减不小于50dB。解: (1) 求对应的数字频率通带截止频率：p=pT= p / fs=2p /s=0.2阻带截止频率：st=stT= st / fs=2st /s=0.4阻带最小衰减：2=50dB (2) 求hd(n)。设Hd(ej)为理想线性相位低通滤波器频

25、响由此可得理想单位脉冲响应为： 由所需低通滤波器的过渡带求理想低通滤波器的截止频率c :图7-14 要求的低通滤波器特性(3) 求窗函数。 由阻带最小衰减2确定窗形状，由过渡带宽度确定N。查表7-3可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于50dB的衰减。但海明窗具有较小的主瓣宽度，故选择海明窗作为窗口函数。由表7-3可知，利用海明窗设计的滤波器的过渡带宽=6.6/N，所以所设计的低通滤波器单位脉冲响应序列h(n)的长度为 确定N：根据题意，所要设计的滤波器的过渡带为 确定:(4) 求h(n)。海明窗为 则所设计的滤波器的单位脉冲响应为 所设计的滤波器的频率响应为 设计结果如P345. 图7-15

26、所示，满足要求 。（5）由h(n)求FIR滤波器的H (ej)=DTFTh(n)。检查是否满足设计要求。 如不满足要求，则要改变N，或改变窗形状，或两者都改变，然后重新计算 。一、设计方法基本思想：使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需（理想）滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则要有较好的逼近。内插公式7.4 频率采样设计法内插函数:二、 线性相位的约束 设计线性相位的FIR滤波器，则其采样值H(k)的幅度和相位一定要满足前面所讨论的四类线性相位滤波器的约束条件。 （7-91）1. 第一类线性相位滤波器(即h(n)偶对称,长度N为奇数时)其中幅度函数

27、H() 为偶对称，即 （7-92）第一类线性相位滤波器的频响为H(ej)在=02之间的N点等间隔采样值为： 其中： 表示采样值H(k)的幅值（纯标量）； 表示其相角。第一类线性相位FIR滤波器采样点的幅值和相位满足：2. 第二类线性相位滤波器(即h(n)偶对称,长度N为偶数时)3. 第三类线性相位滤波器(即h(n)奇对称,长度N为奇数时)4. 第四类线性相位滤波器(即h(n)奇对称,长度N为偶数时)三、逼近误差及其改进措施 频率采样法是比较简单的，但是我们还应该进一步考察，如此设计所得到的频响H(ej)与要求的理想频响Hd(ej)会有怎样的差别？ 在各频率采样点上，滤波器的实际频率响应是严格地

28、和理想频率响应数值相等的。但是在采样点之间的频响则是由各采样点的加权内插函数的延伸叠加而成的, 因而有一定的逼近误差，误差大小取决于理想频率响应曲线形状。图 7-16 频率采样的响应 2）如果抽样点之间的理想频率特性变化越陡，则内插值与理想值之误差就越大，因而在理想频率特性的不连续点附近，就会产生肩峰和波纹。 1）理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理想值，逼近误差越小； 在FIR滤波器的设计中，经常需要逼近理想的矩形特性，如低通、高通、带通滤波器等都是如此。这些理想的矩形特性经过采样，在通带的边缘，都会由于采样点之间的骤然变化而引起频响发生很大的起伏振荡，这种起伏振荡使得阻带的最小衰减变小。那么，如何提高逼近质量，使逼近误差变小呢？可采用如下方法： 1）在理想频率响应的不连续点