金融工程学课件：1-4 预备知识

1、一、债券利率第一章：第四节 预备知识1.单利和复利 投资者投入资金或购买某种债券，期望本金经过一段时间后能够增值。债券的价格是指投资者为取得这笔收入目前愿意投入的资金。如果按照某种方式计算出来的这笔收入的现在价值高于当前的债券购买的市场价格，则投资是合算的。一笔收入的未来值与现值的差额即所谓资金的时间价值，即投资者的利息收入。假设投资的利率为R，若进行一项为期n年的投资P0，到第 n 年时的货币总额为 复利计算 （1）（2）或 单利计算 式中：Pn为从现在开始n时期后的未来值； P0为本金； R为每期利率；n为时期数。反过来，如果已知一笔收入的将来值 Pn，R 利率，n期数，则可求得的该笔收入

2、的现值： 这里需要指出的是单利在期限中间获得的利息收益不进行再投资，而复利方式在期限中所获得的利息则要进行再投资。 （3）（4）2.一年内支付 k 次则复利计算公式如果把这种一年多次支付利息看成为是连续均匀的支付过程,则有：例：P=100, n=1, R=0.10, 则 P 以连续复利计息将增加到： （5）（6） 上述连续复利计算结果与用每天计复利得到的结果一样。因此，通常认为连续复利与每天计复利等价。对一笔以利率R连续复利n年的资金，其结果是乘上 。 一笔以利率R连续复利贴现 n 年的资金，则应乘上 。 假设 R1是连续复利的年利率 R2是每年计k次复利的年利率 假设k足够大，忽略（5）和（

3、6）的差，我们有： 则有：或即 3 . 到期收益率 我们知道资本利得与利息收益两者之和是债券的总回报。 通常使用到期收益率来测定投资者的债券收益。到期收益是使所有未来现金流的现值等于债券购买市价的折现率。它是衡量将债券持有至到期日止的情况下所得收益率的指标。投资者完全地和适时地收到发行者承诺的所有现金流。 在市场价格为P0元、利息收益为C元、到期时偿还额为M元、距到期日止的期限为n期，到期收益率可以用满足下式条件的来定义： 假定市场价格是102.95元，偿还额为100元，利息率为7.6，求残存期限为2年的息票债的最终收益率。其中，利息收益在年末支付；且每年一次。设最终收益率为 ，根据收益率的定

4、义式得： 因为上式为二次方程式，故有两个根，一个是负根不合题意，另一个根求出约为0.06，即最终收益率为6%。一般在期限为t的情况下，方程式就是t次的多项式。求解的方法之一就是采用迭代法。 整理得： 将任意正值代入方程式，如果方程式的值大于零，说明的取值过大，应缩小；而如果方程的值小于零，则说明的取值过小，应增大。如此反复，直至取值满意为止。 近似到期收益率计算公式：据上例 ：4.债券的内在价值 债券作为固定收入证券吸引了许多投资者，这是因为债券提供给投资者稳定的利息所得流和到期时的本金回报。除非发行者违约，投资者总能按时收到息票利息并且到期时收回本金。因此，在进行债券分析时，首先要决定债券的

5、价值和测定债券的收益。 债券内在价值的估计值是证券代表的资产产生的预期现金流的现值。如利息或股息，或只是最终价格或赎回值，或它们的一个组合。要确定证券的价格，就要估计它的内在价值。 这些折现的现金流之和是内在价值的估计值。 因此，可表示为 其中： V 一 证券现值； 一 t 时期的预期现金流； 一 投资者的应得回报率或折现率； 一 预期的时期数目。 从上式可以看出，为得到证券的内在价值的估计值，需要确定以下三个因素： 预期现金流: 股息、利息、到期收到的面值或在未来时点上的预期价格。 时机 是指能够确定证券回报出现的时点以及到期期限。 折现率 或投资者要求的应得回报率(必要收益率)反映货币的时

6、间价值和这个证券的风险。它是机会成本，即投资者在相同期限和相同信用程度的类似证券中赚取的现时市场利率。因此，市场利率直接体现在折现率中。 5. 即期利率与远期利率 （1）即期利率 n 年期的即期利率是从今天开始计算并持续n年期限的投资的利率。比如3年期即期利率是投资 持续3年的利率，利息和本金 在n年末一次支付给投资者，中间没有支付所使用的利率。 一般来说，n年投资的即期利率可通过下式求解Rn：或者0即期利率零息票债券的到期收益率即可见零息票债券的到期收益率即为即期利率。 对于到期期限较长的附息票债券，知道了一年期的即期利率R1（可由一年期贴现发行的国库券来求得），即可计算出两年期的即期利率R

7、2：式中：C1 : 债券第一年所付票息。 同理，可求出其他投资期限的即期利率Rn，只要求解下列方程 这种方法称为息票剥离法（Bootstraping），其结果不一定与实际相符，但通常该差异可忽略不计. （2）远期利率 一种合约，它是由现在签订的，规定从现在起的 t 年后将资金贷出，在 T（ t）年后偿还所使用的利率。远期利率是由当前即期利率隐含的将来时刻的一定期限的利率。比如第二年的远期利率是隐含在第一年末和第二年末之间期限的利率。设f1,2 ，即为第一年末到第二年末这一期间的隐含远期利率。可见，一年期即期利率 R1 ，两年期即期利率 R2 及第一年到第二年远期利率 f1,2 的关系为：在连续

8、复利计息条件下，计算远期利率公式 设 是 T 年期即期利率； 是 年期即期利率，且 T； A 为面值； 为期限为（ ）期间的远期利率，在不存在无风险套利情况下，必有： 解得：二、债券利率期限结构第一章 第五节1.债券利率期限结构定义 债券的利率（票面利率或息票利率）通常在发行时即已确定，而债券的价格则随着市场利率的变动而变动。市场利率的变动直接影响着投资者的收益率。因此，正确分析和预测未来市场利率的变动趋势对债券发行者和投资者都至关重要，也是正确评价债券价格的主要部分。 不同的债券有不同的期限，债券的期限不同，其到期收益率也可能不同。我们把同一时点上，除期限外其他条件相同的债券的到期收益率与期

9、限之间的关系称为利率的期限结构（the Term Structure of lnterestrates）。 用图形表示的利率期限结构称收益率曲线。 收益率曲线形状可以分为四个基本类型: A正常收益曲线； B负收益曲线； C弓形型收益曲线； D水平收益曲线。 图中 i 表示债券利率，n 表示债券年限。收益率曲线的形状包含了未来利益的信息，所以了解收益率曲线和收益率曲线的决定因素对于投资者非常重要。图 1.5.1 收益率曲线的四种形态2.利率期限结构理论 对利率期限结构的解释有三种理论，它们是纯预期理论。流动性补偿理论和市场分割理论。 (1）纯预期理论假设：债券交易不考虑成本 没有违约 短期利率的

10、未来变化趋势是可以预期的（上升或下跌） 债券未来利率水平的预期是确定的 可以自由套利 纯预期理论认为：在上述假设下，长期债券的到期收益与短期债券的平均收益大致相等。 例如，市场有1年期和2年期债券，其年利率分别为3和4，如果投资者有一笔金额10 000元、预计有两年闲置期。此时他有两种方案可供选择，买进2年期债券，或买进1年期债券，待其到期后，再买进另一新的1年期债券。根据投资收益平衡（无套利）的要求，如果他买进1 年期债券，那么，1年过后，新的1年期债券的年利率必须在 5以上。否则，他将选择2年期的债券。 因为如果他购买两年期的债券，其收益为 10 000 (1+4)210 816元 而购买

11、1 年期债券，第一年的收益为 10 000 (13)10 300元 第二年购买的新债券利率为5时，他的总收益也只有 10 300 (15) =10 815元 比第一种投资方案还少得1元。所以，新债券的利率在5以上，他才可能做第二种选择。 由于市场自由竞争，交投双方的不断套利，使得在资金闲置期间，资本所有人在两种选择上大致可以获得相等的预期收益。此时即有： 10 000 (1r2) 2 =10 000 (1r1) (1f1,2)即： (1r2) 2 = (1r1) (1f1,2)或： 1r2 = (1r1) (1f1,2) 1/2 式中： 为n年期债券的市场利率； 为在第 t 年的预期利率，称为

12、第 t 年的远期利率。 一般： 市场预期理论认为：远期利率即是市场整体对未来短期利率的预期，即 在市场均衡条件下，有 投资于n年期债券的到期收益相当于重复转投资于一年期债券所获得的收益，即 假设目前一年期债券利率为6，第二年期望利率为8，第三年期望利率为9，那么三年期债券的市场利率应为： 预期理论认为，证券期限对投资者是无差别的，确定长期债券利率是高于或低于短期债券的唯一因素是投资者对未来利率的期望。 预期理论的基本结论：债券的长期利率或利率的平均水平是短期利率的函数。预期理论对收益率曲线的解释如下： （1）如果预期未来每年的短期利率一样，那么，现期长期利率就等于现期短期利率，收益率曲线表现为

13、一条直线。 （2）如果未来的短期利率预期要上升，那么，现期长期利率将大于现期短期利率，收益率曲线表现为一条向上倾斜的曲线。 （3）如果未来的短期利率预期要下降，那么，现期长期利率将小于现期短期利率，收益率曲线表现为一条向下倾斜的曲线。 (2）流动性补偿理论 流动性补偿理论认为期望固然重要，但是决定利率结构的一个重要因素是投资者对流动性风险的回避，投资者相对来说更偏好短期债券，因为当市场利率波动时，长期债券的利率风险更大。因此，投资者对长期债券所要求的收益率也必然比短期债券的要求收益率高。 这种因债券到期期限的长短而导致的要求收益率的差距，称为债券的流动性补偿。在其他条件相同的情况下，短期债券的

14、市场利率要低于长期债券的市场利率，收益率曲线向上倾斜。 流动性补偿理论和纯预期理论并不矛盾，纯预期理论又可称为无偏见期望理论，流动性补偿理论考虑了投资者的流动性偏好，从而对纯预期理论做出了必要的修正和补偿，两者结合，可以更好地解释债券市场的实际操作情况。流动性偏好纯预期理论 根据预期理论，收益率曲线可能向上倾斜，可能保持水平，也可能向下倾斜。考虑了流动性补偿后，前两种收益率曲线都应该向上倾斜 ，而第三种曲线则应比较流动性补偿大小和原来向下倾斜程度，以决定倾斜的方向。 (3）市场分割理论 市场分割理论认为不同的债券投资者对债券的期限有不同的偏好。例如，商业银行和企业偏好短期资金，贷款机构偏好中期

15、资金。养老金及保险公司偏好长期资金。当投资者专门投资于某一部分市场时，能够节省信息成本和转换成本。 所以，根据期限的不同，市场分割成一些相互独立的部分，每一部分市场的利率完全由这部分市场的供给和需求决定。该理论的收益率曲线如图1.5.2所示。如果市场的不同部分是完全相互独立的，则收益率曲线可能会由互不相连的一些线段构成。但是在实际中没有出现过这种形式的收益率曲线。在不同市场的接合部，投资者可以将期限稍有不同的债券看成是互相替代的。如果收益率曲线呈现出图所示的形式，就存在套利的机会。套利的投资活动将使收益率曲线变成不间断的曲线。图 1.5.23.收益率曲线与利率期限结构 对于具有相同信用风险和不

16、同期限结构的债券，描述其收益率与期限间关系的曲线称之为收益率曲线。由于国债的信用风险极小，所以由国债收益率与期限来构建的收益率曲线充分反映了期限对收益率的影响。市场交易者谈到“收益率曲线”一般指的都是国债收益率曲线。 收益率曲线：是付息票债券的收益率与其期限的关系。 利率期限结构：描述零息票债券的收益率与期限的关系。 我们知道零息票债券的收益率实际等于即期利率。(1) 远期利率、 零息票债券与附息票债券的关系 零息票收益率曲线 零息票收益率曲线（zero coupon yield curve）是表示即期利率（即零息票收益率）与到期日之间关系的曲线。图1.5.3 表示了表1.5.1 中数据的零息

17、票收益率曲线，区分零息票收益率曲线与附息票债券收益率曲线是很重要的。在图 1.5.3 所示的情况下，收益率曲线是向上倾斜的，零息票收益率曲线总是在附息票债券收益率的上面。这是因为零息债券的现金流总是到最后才支付，而同样期限的附息票债券现金流在到期前各期支付。 由于收益率曲线是向上倾斜的，前者所使用的贴现率（再投资利率）比后者要高。年(n)n年的即期利率%n年的远期利率%110.0210.511.0310.811.4411.011.6511.111.5表1.5.1 远期利率的计算我们可以将连续复利计息条件下，远期利率公式改写为这表明, 如果收益率曲线是向上倾斜，即远期利率高于零息票收益率(即期利

18、率)。 图1.5.4图1.5.3 表1.5.1中数据的零息票收益率曲线 图1.5.4是当收益率曲线向上倾斜时的零息票收益率曲线、附息票债券的收益率曲线和远期利率曲线。由于上述理由， 远期利率曲线 零息票收益率曲线 零息票收益率曲线 附息票债券的收益率曲线 图1.5.5说明了当收益率曲线向下倾斜的情况。类似在向上倾斜收益率曲线中的讨论，可知在收益率曲线向下倾斜情况下，附息票债券的收益率曲线在零息票收益率曲线之上，而零息票收益率曲线又在远期利率曲线之上。图1.5.5(2)建立利率期限结构的“剥离法” 现假设有10种(零息票和付息票)国库券，相关资料如表所示。一个长期附息债券可以分解为多个零息票债券

19、的组合。 现在已知0.5和1年期的零息国库券的收益率或即期利率为0.08和0.083。1.5年期付息国库券可以拆分为0.5、1和1.5年期的现金流分别为4.25、4.25和104.25的三个零息债券现值之和，其值应与1.5年期的国库券价格$99.45相同。由此我们可以求出1.5年期零息国券的即期利率。现设1.5年期付息国库券市场价格为99.45 ，则 由表4.1:将数据代入上式可求得。即有1.5年期的即期利率R3为0.08930。期限（年）息票率到期收益率价格0.50.00000.08096.15010.00000.08392.1901.50.08500.08999.45020.09000.0

20、9299.6502.50.11000.094103.4930.09500.09799.4903.50.10000.100100.00040.10000.10498.7204.50.11500.106103.16050.08750.10892.240表4.110种期限的债券设2年期的国债市场价格为 99.65，则求得： 。即有2年期的即期利率为9.247%。同理可有：求得： 由此，我们可得出零息票债券的不同期的理论即期利率，即构造出一个利率期限结构。期限（年）到期收益率理论即期利率0.50.0800.0800010.0830.083001.50.0890.0893020.0920.092472.

21、50.0940.0934730.0970.094683.50.1000.1012940.1040.105924.50.1060.1085050.1080.11021表4.2理论即期利率收益率曲线在债券分析中的用途： 利率期限结构是评价其它债券的基础，为其它债券确定合理价格和利率提供依据。公司债券的发行者借此结构可以决定合理的发行利率。可以从目前利率期限结构中，观察市场对远期利率的预期。 寻找一种比其他债券收益率高的债券。如果发现了某种债券的收益高于其他债券，而且该债券收益率脱离了收益率曲线会很快回落。这种债券便是一种比较好的投资对象，因为不久之后，伴随着收益的下降，它的价格将会上升，会给投资者带来资本收益。寻找发行新债券的有利时机。筹资资者不仅通过观察市场得知各种债券的收益率是多少，而且对已公开发行并售出的到期日债券总量也有所把握，将两因素综合，找出一种最易于被投资者吸收、需求量较大的债券，在收益率比较理想的时刻，向市场推出。为在具有不同期限的各种债券中选择最佳投资对象提供了分析依据。如果收益率曲线是上扬的，可以投资于长期债券；如果收益率曲线是下倾的，可以投资于短期债券。经济学家认为国债的收益率曲线-10年期国债的利率与短期国库券利率