测试信号分析与处理——随机信号处理课件

1、第八章 随机信号处理 随机信号的基本概念 8.1随机信号的描述 8.2 随机信号通过线性系统的分析8.3功率谱估计8.4内容提要 随着现代测试技术的广泛应用，测试对象和参数也日益复杂，愈来愈多地涉及到随机信号分析与处理的知识。本章主要介绍随机信号的基本概念、随机信号的相关分析和谱分析、线性非移变系统对随机信号的响应、功率谱估计等。 第一节 随机信号的基本概念 从第一章的信号分类中我们已经知道，随机信号是一种不确定性信号，不能表示为一确定的时间函数，即信号的变化不存在任何确定的规律，因而不可能预见其未来任一时刻的数值，也就是说它是一种在相同试验条件下，不能重复出现的信号。显然，它与确定性信号是两

2、类性质完全不同的信号，对随机信号的描述、分析和处理方法也完全不同于确定性信号。随机信号在客观实际中普遍存在，在测试过程中也相当常见。例如：陀螺的漂移、测试系统中电子元器件产生的热噪声、机械传动中随机因素影响引起的振动、以及测试过程中的随机误差等，都可以抽象为随机信号。图8-1为某船舶在航行中所产生的振动信号，这是一种典型的随机信号。第一节 随机信号的基本概念图8-1 船舶振动信号 第一节 随机信号的基本概念仅在离散时间点上给出定义的为离散时间随机信号，即随机序列。随机序列可以是连续随机信号的采样结果，也可以是客观存在的随机物理现象的表示。对随机物理现象每次的观察结果都不一样，每次观察得到的时间

3、函数只是可能产生的无限个时间函数中的一个“样本”，随机现象可能产生的全部样本的集合（总体）称为随机过程，随机信号实际上也就是随机过程。第一节 随机信号的基本概念在分析随机信号中由于它的不可重复性，似乎应当分析无限长的信号才能得到准确的分析结果，然而这在实际工作中是不可能做到的。对随机信号的分析只能限定于下面所描述的平稳且各态历经的随机过程。这类信号便于研究，同时具有普遍性。如果随机过程的统计规律不随时间而改变，则称为平稳随机过程，否则称为非平稳随机过程。若一个随机过程在某一时刻的所有样本的统计特征和单一样本在长时间内的统计特征一致，则称为各态历经（或各态遍历）的随机过程，否则是非各态历经的随机

4、过程。 第一节 随机信号的基本概念对于平稳的各态历经的随机过程，从总体各样本中所能获得的信息并不比从单个样本获得的信息多，因此在实际应用中，只要对一个样本进行分析计算，就可以得知随机过程的统计特征。与确定性信号相比，随机信号有三个主要特点：1）随机信号的任何一个实现，都只是随机信号总体中的一个样本，任何一个样本都不能代表该随机信号。 第一节 随机信号的基本概念2）在任一时间点上随机信号的取值都是一个随机变量，从而随机信号的描述与随机变量一样，只能用概率密度函数和数学期望这样的数字特征值来描述。若是各态历经的随机信号，那么数学期望可用一个样本的时间平均来代替。3）平稳随机信号在时间上是无始无终的

5、，其能量是无限的，且不存在傅里叶变换，因此平稳随机信号不能用通常的频谱来表示，也不能采用常规的滤波方法进行处理，而需要用基于最小估计理论的广义滤波维纳滤波、卡尔曼滤波和自适应滤波来实现。另外由于随机信号能量是无限的，平均功率是有限的，所以采用功率谱来描述随机信号的频域特性。 第二节 随机信号的描述 由于随机信号不能用确定的时间函数来表示，因此随机信号只能用其统计特性来描述，一般采用四种统计特征量来描述其基本特点：均值（数学期望）、均方值和方差；概率密度函数和概率分布函数；相关函数和协方差；功率谱密度。 主要内容均值、均方值、方差一 概率密度函数和概率分布函数 二 相关函数和协方差三功率谱密度四

6、白噪声和有色噪声信号五一、均值、均方值、方差对于各态历经连续随机信号x(t)的数学期望Ex(t)，可以用一个样本的时间平均即均值求得，即数学期望Ex(t)也称随机信号的均值，描述了随机信号中的静态分量或称直流分量。由于不同时刻有不同的数学期望，所以 是x(t)在各个时刻的摆动中心，故又称为一阶原点矩。描述随机信号随时间变化的量有均方值和方差。均方值表示为（8-1） （8-2） 一、均值、均方值、方差均方值反映了随机信号x(t)的强度和功率，它也可看作是随机信号对零值波动的分量，因此也称 为x(t)的二阶原点矩。均方值的正平方根称为均方根值，又称有效值，它也是信号平均能量的一种表达。方差是随机信

7、号x(t)相对均值波动的分量，表示为（8-3） 一、均值、均方值、方差 方差反映了随机信号各可能值对其平均值的偏离程度，方差 又称为x(t)的二阶中心矩。 越大，随机信号x(t)各样本值的分散程度也越大。均值、均方值、方差之间有如下关系相应地，对于各态历经平稳随机信号序列x(n)的均值、均方值和方差分别定义为（8-4） （8-5） 一、均值、均方值、方差随机信号序列均值、均方值、方差之间有如下关系（8-6） （8-7） （8-8） 二、 概率密度函数和概率分布函数 概率密度函数表示随机信号x(t)瞬时值落在x值附近x范围内的概率密度，若对某一随机信号x(t)进行观察，T为观察时间，Tx为T时间

8、内x(t)落在(x，x+x)区间内的总时间，其幅值落在(x，x+x)区间内的慨率可以用Tx/T反映，当T，其概率为而随机信号x(t)的概率密度函数定义反映了信号幅值落在某一极小范围（x0）内的概率，其表达式（8-9） （8-10） 二、 概率密度函数和概率分布函数值得注意的是，概率密度函数不是概率，p(x)dx才代表随机信号x(t)取值在x与x+dx之间的概率。根据概率密度函数的定义，很容易证明概率密度函数具有如下性质：（8-11） （8-12） （8-13） （8-14） 二、 概率密度函数和概率分布函数概率分布函数是信号瞬时值小于或等于某指定值的概率，表示为因此有概率分布函数具有以下性质：

9、 0F(x)1 （8-17） F(-)=0 （8-18） F()=1 （8-19）（8-15） （8-16） 二、 概率密度函数和概率分布函数 若ab，则F(a)F(b) （8-20） Faxb= F(b)-F(a) （8-21）在测试技术中，许多随机信号服从或近似服从正态分布，并且大量独立随机分量的叠加近似服从正态分布，正态分布是最常用的一种分布，其概率密度函数和概率分布函数分别为（8-22）（8-23） 二、 概率密度函数和概率分布函数连续随机信号的均值、均方值、方差与概率密度之间存在如下关系对于离散随机信号序列的情况，如果信号序列x(n)在幅值上是量化了的，设量化单位为Q， 是幅值落在

10、到 之间的序列点数，N是被观察序列的总长度，则概率密度函数为（一阶原点矩）（8-24）（二阶原点矩）（8-25）（二阶中心矩）（8-26）二、 概率密度函数和概率分布函数在数字信号处理中，常用无因次表示概率密度，即为概率分布函数为 （8-27） （8-28） （8-29） 二、 概率密度函数和概率分布函数若被观察信号的长度N有限，则只能得到均值、均方值、方差、概率密度函数和概率分布函数在该序列长度内的估计值（8-30） （8-31）（8-32） （8-33）（8-34）二、 概率密度函数和概率分布函数例8-1 设随机变量x(t)的概率密度为求其均值、均方值和方差。解：根据前面的公式可得：三、

11、相关函数和协方差同确定性信号的相关函数相类似，平稳随机信号x(t)的自相关函数定义为自相关函数反映了x(t)的幅值在t和t+两个不同时间点上瞬时值之间的关联性。在实际计算中，不可能对无限长信号进行积分计算，一般用有限长样本作其估计（8-35）三、 相关函数和协方差自相关函数 具有以下几个性质：1）在=0时， 具有最大值，即2） 是偶函数3） （8-36）（8-37）（8-38）三、 相关函数和协方差4）当时，随机变量x(t) 与x(t+)互不相关，由于x(t)是平稳的，均值为常数，所以有5）将式（8-38）和式（8-39）代入式（8-8）可得若将x(t)的均值扣除，则所得的自相关函数称为自协方

12、差，表示为（8-39）（8-40） （8-41）三、 相关函数和协方差当=0时，自协方差即为方差，即两个不同随机信号x(t)和y(t)之间的互相关联的特性用互相关函数和互协方差函数表示，互相关函数定义为互协方差函数定义为 （8-42） （8-43） （8-44）三、 相关函数和协方差互相关函数具有下列性质；1） 不是偶函数，通常它不在=0处取峰值，其峰值偏离原点的位置反映了两信号相互有多大时移时，相关程度最强。2） 和 是两个不同的函数。3） （8-45）（8-46） 三、 相关函数和协方差由于信号x(t)和y(t)本身的取值大小导致计算相关函数结果取值的大小，因而在比较不同的两组随机信号相关

13、程度时，仅视其相关函数值大小是不确切的。为了避免信号本身幅值对其相关性程度量的影响，就将相关函数作归一化处理，引入一个无量纲的函数：相关系数函数，其定义是若 ，说明x(t)与y(t)完全相关；若 ，说明x(t)与y(t)完全不相关；若 说明x(t)与y(t)部分相关。（8-47）三、 相关函数和协方差随机信号序列x(n)的自相关函数定义为自协方差函数定义为随机信号序列x(n)和y(n)的互相关函数定义为（8-48）（8-49） （8-50）三、 相关函数和协方差互协方差函数定义为（8-51）四、功率谱密度随机信号是在时间上无始无终地向正负方向无限延伸的、具有无限大能量的信号，它显然不满足狄里赫

14、利条件，不存在傅里叶变换，因此不可能用频谱在频域上对随机信号进行分析处理，但可以认为它是一种功率信号，这与确定性周期信号相似，可以用信号的平均功率相对频率的分布情况，即功率谱密度来分析描述随机信号在频域上的特性。随机信号的功率谱密度有两种定义方式：单边功率谱密度和双边功率谱密度。四、功率谱密度设x(t)为平稳随机信号，则x(t)的自相关函数为自相关函数 的傅里叶变换为其反变换为当=0时，由式（8-52）和（8-54）可得（8-52） （8-53） （8-54）（8-55） 四、功率谱密度上式左边可理解为随机信号电压x(t)通过单位电阻时产生的平均功率，因此，由积分的意义， 可看成x(t)的平均

15、功率相对频率的分布函数，所以称 为双边自功率谱密度，简称功率谱密度。式（8-53）和式（8-54）称之为维纳一辛钦定理，定理表明：平稳随机信号的自相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换对。由于 是实偶函数，有(8-56) 四、功率谱密度则式（8-55）可写成 令 ，则上式中的 也是功率谱密度，它反映了x(t)在正频率轴上的功率分布状况，称之为单边功率谱密度。显然有(8-57) (8-58) (8-59) 四、功率谱密度两个随机信号频域特性的相互关系用互功率谱密度来描述，互功率谱密度与互相关函数也是一对傅里叶变换对，为同样 为双边互功率谱密度， 是单边功率谱密度。显然也有 (8-60) (8-61

16、) (8-62)四、功率谱密度由于互相关函数 不一定是偶函数，也不一定是奇函数，所以互功率谱密度具有复数形式上式中 称为共谱密度函数， 称为重谱密度函数。(8-63)(8-64) (8-65) 四、功率谱密度自功率谱与互功率谱间有如下关系 式（8-60）式（8-66）中各式对单边、双边功率谱都成立。对于离散随机信号序列 的自功率谱密度 与自相关函数 为其中=Ts，Ts为采样周期。 (8-66) （8-67） （8-68） 四、功率谱密度 为实偶函数，从而有 同样地，互功率谱密度与互相关函数也是一对傅里叶变换对 互功率谱密度具有如下性质（8-69） （8-70） （8-71） （8-72） 四、

17、功率谱密度例8-2 已知平稳随机信号序列x(n)的自相关函数 ，求其功率谱密度Sx()。解：（8-73） 四、功率谱密度例8-3 设随机相位余弦信号 式中，A、0为常数，为在（0，2）上均匀分布的随机变量，其概率密度为 试求其自相关函数Rx()和功率谱密度Sx()。解：1）由自相关函数定义，有四、功率谱密度 因此，周期函数的自相关函数也是周期函数，且具有相同的周期。2）由功率谱定义，得四、功率谱密度因此，其功率谱为两个冲激函数的叠加。五、白噪声和有色噪声信号在测试系统中，除有用信号外的一切不需要的信号和干扰都可称为噪声。但通常，噪声是指随机产生的各种干扰。如某些电气设备在工作时发出的电磁干扰，

18、自然界的雷电干扰，以及电子元器件中由于电子等的无规则运动而产生的起伏噪声等。各种噪声按其不同的发生机制而有不同的特性。这里主要讨论测试系统中最常见的噪声信号即白噪声和有色噪声。最典型的白噪声是电阻热噪声，它是由导电媒质中的电子热运动引起的起伏电压，一个电阻就是一个噪声源。在20世纪20年代时，人们就从理论和实验求得温度为T，阻值为R的电阻的噪声起伏电压均方值为五、白噪声和有色噪声信号其中k为玻尔兹曼常数，B代表测量设备的带宽，单位为Hz。由于热噪声是平稳随机过程，上式中 的即表示此有限频带B内的噪声功率，因此相应的功率谱密度为此式表明，热噪声的功率谱密度仅由温度T和电阻R决定，而不随频率变化。

19、这种频谱为一常数的性质，可以到频率高达 Hz量级还能成立。五、白噪声和有色噪声信号理想的白噪声是指对所有的频率其功率谱密度都是一非零常数的随机过程，即其自相关函数为（8-74）（8-75） 五、白噪声和有色噪声信号白噪声信号的自相关函数和功率谱密度如图8-2所示。白噪声在=0时，其自相关函数为无穷大，在0时，Rx()=0，即表明白噪声x(t)在t1t2（t2=t1+）时，x(t1)与x(t2)是不相关的。白噪声这一名称是由白色光谱包含了所有可见光频率分量这个概念借用过来的。实际上这种理想白噪声是不可能得到的，一般将功率谱密度在比实际考虑的有用频带宽得多的范围内均匀分布的噪声，近似为白噪声。图8

20、-2 白噪声信号的自相关函数和功率谱密度五、白噪声和有色噪声信号如果噪声不是白噪声，功率谱为有限带宽，通常称为有色噪声，有色噪声的情况有多种多类，若设某类有色噪声的自相关函数为对Rn()作傅里叶变换，可得该有色噪声的功率谱为五、白噪声和有色噪声信号该有色噪声的功率谱和自相关函数如图8-3所示。利用相关函数的特性从背景噪声中提取周期信号。如一个周期信号，其相关函数也是周期的，而白噪声的自相关函数是非周期的，记为Rwn()=k()，即当0时，Rwn()=0。 图8-3有色噪声的功率谱和自相关函数五、白噪声和有色噪声信号设信号是由周期信号p(t)和白噪声n(t)所构成，为且信号p(t)和白噪声n(t

21、)相互统计独立，从而有当0时，则有所以，可以通过测算Rx()，就能确定周期信号p(t)是否存在。 （8-76）五、白噪声和有色噪声信号若信号 是随机相位正弦波，则其自相关函数为若信号p(t)和有色噪声n(t)相互统计独立，则五、白噪声和有色噪声信号上式运算所得的自相关函数表示成如图8-4所示。由图和上式可知，增加到足够大时，信号x(t)的自相关函数只取决于周期信号p(t)的自相关函数，可以利用这一结果的特征判断周期信号是否存在。在MATLAB信号处理工具箱中提供了计算随机信号自相关和互相关函数的函数XCORR（），其具体调用格式可参见本书附录。图8-4 从有色噪声中提取周期信号五、白噪声和有色

22、噪声信号例8-4 用MATLAB中的函数XCORR求出下列两个周期信号的互相关函数，式中的f=10Hz。解: 计算两个周期信号互相关函数的MATLAB程序N=500;Fs=500;pi=3.1416;Lag=200;五、白噪声和有色噪声信号n=0:N-1;t=n/Fs;x=sin(2*pi*10*t);y=2*sin(2*pi*10*t+pi/2);c,lags=xcorr(x,y,Lag,unbiased);subplot(3,1,1),plot(t,x,k);xlabel(t);ylabel(x(t);grid;subplot(3,1,2),plot(t,y,k);五、白噪声和有色噪声信号

23、xlabel(t);ylabel(y(t);grid;subplot(3,1,3);plot(lags/Fs,c,k);xlabel(t);ylabel(Rxy(t);grid;运算结果如图8-5所示。五、白噪声和有色噪声信号图8-5 互相关函数的计算结果五、白噪声和有色噪声信号由图8-5可见， 也是周期信号，周期同样是10 Hz，幅值为120.5=1，初始相角为90。从例8-4中可以得到互相关函数的一个重要性质：两个均值为零、具有相同频率的周期信号，其互相关函数保留原信号频率、相位差和幅值的信息。白噪声在随机信号处理技术中的作用非常重要，在下一节中，将介绍白噪声在系统传递函数辨识中的应用。第

24、三节 随机信号通过线性系统的分析当一个线性稳定系统在连续时间随机信号作用下，其输出也为随机信号。由于随机信号的随机性，因而只能根据输入随机信号的统计特征和系统的特性确定该系统输出信号的统计特征。下面主要分析随机信号通过线性连续系统，当输入信号是广义平稳时，输出随机信号也进入平稳状态后的均值、相关函数、自功率谱密度以及输出与输入之间的互相关函数、互功率谱密度等统计特征。主要内容时域分析一频域分析二利用白噪声输入来辨识系统传递函数三一、 时域分析任何线性、集总参数的动态系统均可以用卷积函数描述它的输出输入关系，即式中h(t-)代表在时输入端加以冲激信号而在t时输出端的响应，即系统的单位冲激响应。设

25、线性非时变系统的单位冲激响应为h(t)。输入信号x(t)是双边平稳随机信号，且有界（如图8-6所示），则其输出零状态响应y(t)表示为（8-77）（8-78）一、 时域分析即输出为输入函数和系统冲激响应的线性卷积。在t=0时，系统的输出响应已达到稳态，故y(t)也是平稳随机信号。现求y(t)的均值，由于x(t)为平稳随机信号为常数，故 图8-6 随机信号通过线性系统一、 时域分析 为一常数，当 时， 。输出信号的自相关函数为（8-79）一、 时域分析由于输入为平稳随机过程 ，故有即输出的自相关函数与t无关。（8-80）（8-81） （8-82）一、 时域分析由上可见，输出的均值是与t无关的常数

26、，相关函数与时间起点无关。这说明线性非时变系统输入是平稳随机信号时，其输出也是平稳随机信号。同理可得输入与输出之间的互相关函数为一、 时域分析即由上可见，互相关函数与时间起点无关，是时差的函数。说明经过动态系统后的输出y(t)与输入x(t)之间是联合平稳的。 （8-83）（8-84）二、频域分析在输入输出均为平稳随机信号时，由于不能直接利用傅里叶分析的方法分析系统，故可以通过维纳辛钦公式（8-53）、式（8-54）实现傅里叶分析系统的目的。由稳定系统频域的系统函数知由式（8-79）知系统输出的均值为 ，由于（8-85） 二、频域分析令 ，则（8-86） （8-87）二、频域分析上式说明，系统输

27、出信号的功率谱 可以由系统的幅频特性 与输入信号功率谱 确定。或者说，系统的幅频特性可由输入输出信号的自功率谱确定，即根据动态系统的特性可以写出它的转移函数，利用式（8-86）可以得到输出信号的 ，再利用傅里叶反变换即可求出输出信号的相关函数为输出信号的均方值为（8-88） （8-89）二、频域分析不难看出，采用功率谱密度方法是研究输出过程统计特性的一种比较简便的方法。同理可求出输入输出信号之间的互功率谱。对式（8-83）取傅里叶变换得即 （8-90） 二、频域分析相应的 可见互功率谱不仅包含有系统函数的幅度信息，而且还包含有相位信息，即通过测量互功率谱与自功率谱求得系统的频率特性。例8-5

28、设具有延时单元的线性系统，输入信号x(t)满足平稳性和遍历性，自相关函数 ，求系统输出y(t)的功率谱 。（8-91） （8-92）二、频域分析解： 根据线性系统是延时单元的特性，设系统的输入输出关系为 为实常数。输出的自相关函数为二、频域分析输出的功率谱密度函数为二、频域分析例8-6 试求功率谱密度 为常数的理想 白噪声，通过理想低通滤波器后的输出功率谱密度，自相关函数及输出的噪声功率。解：设理想低通滤波器的截止频率为，频域的系统函数表示为 其中A为常数，故 ，根据上述公式可得出功率谱密度二、频域分析输出自相关函数二、频域分析由上述可知， ，这说明 和 当 时正交。因输入过程的均值为0，故相

29、隔时间为 的两个值 不相关。输出噪声功率为三、利用白噪声输入来辨识系统传递函数 根据线性非时变系统中输入输出信号之间的互功率谱关系式（8-90），可以得到线性非时变系统中输入输出信号之间的时域互相关函数关系如下： 因此，若知道 和 后，就可求解出系统的单位冲激响应 。这是一个解卷积的问题，是卷积的逆运算。 利用式（8-74）、（8-75）的白噪声的性质，可以将白噪声作为输入系统的信号，则： （8-93） 三、利用白噪声输入来辨识系统传递函数将上式带入式（8-93）式（8-95）表明：当输入信号为白噪声时，输入输出间的互相关函数与系统的冲激响应仅差一比例系数 （称作白噪声强度）。对式（8-95）

30、进行傅里叶变换，在频域上有（8-94）（8-95） （8-96）三、利用白噪声输入来辨识系统传递函数此外，当输入信号中含有白噪声时，还可以进行系统的传递函数在线辨识。设系统在正常工作状态下，其输入信号为有用信号 叠加一白噪声 相应的实际输出 为三、利用白噪声输入来辨识系统传递函数式中， 和 分别是 和 引起的响应。 与 之间的互功率谱密度为 其中， 和 分别是 与 和 与 之间的互功率谱密度。通常， 与 是互相统计独立的，即（8-97）三、利用白噪声输入来辨识系统传递函数将上式代入式（8-97），并根据式（8-96），可得因此(8-98) 三、利用白噪声输入来辨识系统传递函数式（8-98）表明

31、：测量计算所得的仅与及输入的白噪声强度有关，而与系统的正常输入 、正常输出 无关。加入系统的白噪声强度是很小的量级，不会影响系统的正常运行，因此可以进行在线辨识，即使混入其他噪声，只要与白噪声不相关，就不会影响系统辨识的结果。所以，在线辨识具有一定的抗干扰能力。第四节 功率谱估计在一般工程实际中，随机信号通常是无限长的，例如，传感器的温漂，不可能得到无限长时间的无限个观察结果来获得完全准确的温漂情况，即随机信号总体的情况，一般只能在有限的时间内得到有限个结果，即有限个样本，根据经验来近似地估计总体的分布。有时，甚至不需要知道随机信号总体的分布，而只知道其数字特征，如均值、方差、均方值、相关函数

32、、功率谱的情况即估计值就够了。上述情形下，用有限个样本的估计值来推断总体或有关参数的真值，就是所谓的估计问题。本小节介绍相关函数和功率谱估计的最基本的方法。主要内容相关函数的估计一功率谱估计二一、相关函数的估计 对于平稳各态历经连续随机信号来说，任一样本的自相关函数与总体的自相关函数是相等的，即周期为T的周期信号，其自相关函数为（8-99） 一、相关函数的估计若用一长度为N的有限长序列来估计离散信号序列 的自相关函数时，应用下式 上式中求和的总项数只能是N-|m|，因为如果取i=N-|m|时，x(i+m)=x(N)，再长就超过了取样数据的长度N。可以证明，由上式算得的自相关估计函数是无偏估计。

33、但是，当m的值接近于N时，其方差变大，表明估计值很分散，虽然是无偏估计，实际上不常采用，多采用下面的估计式（8-100） 一、相关函数的估计但所得的自相关函数的估计是有偏估计，有而当N时，有（8-101）（8-102)（8-103） 一、相关函数的估计上式表明是渐近无偏估计。由式（8-102）还可以看出：|m|越大，偏差越大。但m大小不影响估计的方差，因此，这种估计方法比较常用。在用这种方法估计自相关函数时，|m|宜取小，N要取大，以减小估计的偏差。但随着N的增大，运算时间迅速增加，为了解决估计精度和速度的矛盾，又提出了一种用FFT进行相关函数估计的方法，利用相关与卷积之间的关系，有可以用FF

34、T来计算上述卷积，得出相关函数的估计。（8-104） 二、功率谱估计功率谱估计在雷达、声纳、语音、地震学和生物医学工程等领域有着广泛应用，如了解目标特性、进行目标识别；对运行机床、飞机、汽车等进行谱分析，可以检验设计效果和诊断故障。所以在分析随机信号时，功率谱估计的问题十分重要。功率谱估计分为经典功率谱估计法和现代功率谱估计法。经典功率谱估计法的主要特点是与任何模型参数无关，是一类非参数化方法；而现代功率谱估计法的主要特点是使用参数化的模型，是一类参数化的功率谱估计方法。下面只介绍经典功率谱估计法，主要讨论离散随机信号序列的功率谱估计问题，这是一种最基本最常用的经典功率谱估计方法。二、功率谱估

35、计由前面随机信号描述一节知道，连续随机信号的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对，即若 是 的抽样序列，由序列的傅里叶变换的关系，可得即 与 也是一对傅里叶变换对。显然，由序列傅里叶变换的频谱特性可知， 是以2为周期的。二、功率谱估计而实际计算只能从离散随机信号序列 的有限长（长度为N）的数据来对 与 进行估计。设有限长离散序列为 ，则由DFT的下列卷积特性： 若 ，则 从而有 即（8-105） 二、功率谱估计综上所述，先用FFT求出随机离散信号N点的DFT，再计算幅频特性的平方，然后除以N，即得出该随机信号的功率谱估计。由于这种估计方法是在将Rx()离散化的同时，使其功率谱周期化了，故称

36、之为“周期图法”，也称为经典谱估计法。周期图法进行谱估计，是有偏估计，由于卷积的运算过程会导致功率谱真实值的尖峰附近产生泄漏，相对地平滑了尖峰值，因此造成谱估计的失真。另外，当N时，功率谱估计的方差不为零，所以不是一致性估计。并且功率谱估计在等于 2/N整数倍的各数字频率点互不相关，其谱估计的波动比较显著，特别是当N越大、2/N越小时，波动越明显。但如果N取得太小，又会造成分辨率的下降。为此，人们提出了许多改进的周期图法，如分段平均周期图法、加窗平均周期图法等。二、功率谱估计分段平均周期图法就是将信号进行分段进行谱估计并将之进行平均，从而得到最终的谱估计。加窗平均周期图法就是在计算周期图法之前，对信号分段加非矩形窗，形成修正周期图法，加窗平均周期图