成考专升本高等数学重点及解析

1、高等数学(二)重点知识及解析I、函数、极限一、基本初等函数(又称简单函数)：(1)常值函数：y c(2)募函数：y xa (3)指数函数：y ax(a0,且a 1)(4)对数函数：y logax(a0,且 a 1)(5)三角函数： y sin x, y cosx, y tanx, y cotx(6)反三角函数：y arcsinx, y arccosx, y arctanx, y arccotx二、复合函数:要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：| y ln cosx是由y ln u , u cosx这两个个简单函数复合而成 .例如：| y arctane3x是由y arcta

2、nu , u ev和v 3x这三个简单函数复合而成 .该部分是后面求导的关键！三、极限的计算1、利用函数连续性求极限(代入法)：对于一般的极限式(即非未定式)，只要将x弋入到函数表达式中，函数值即是极限值，即 lim f(x) f(x0)o x x0注意：(1)常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即 limC C o(2)该方法的使用前提是当 x x0的时候，而x时则不能用此方法。例 1： lim 4 4, lim 33, limlg 2 lg2, limxx 1xx _6g Iim0 x2 3xx 102 3?0 10 1晒lim tan(x 1) tan(2 1) tan1 (非特

3、殊角的三角函数值不用计算出来)x 2 x 12 12、未定式极限的运算法(1)对于0未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将几代入后函数值即是极限0值。0未定式，提取公因式0,x2 9例1:计算lim -一9 x 3 x 3解：原式=Xm3T)网x 3) 6 TOC o 1-5 h z . x 2x 10 .例2：计算lim x 21. 丫未定式，提取公因式 x 1 x 102x 1x 10解：原式 =lim = lim=0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 12(2)对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次募，然后利用无穷大的倒数是无穷小 的这一关系进行计算。 2n 3未定式

4、，分子分母同时除以n例1:计算lim巴 n 3n 1解：原式limn2 03-0无穷大倒数是无穷小例2：计算lim x3x2 2x 1c 32-2x x 5 一未定式，分子分母同除以 x3解：原式=lim x无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2lim 一二1,称 与是等价无穷3、利用等价无穷小的代换求极限(1)定义：设 和 是同一变化过程中的两个无穷小，如果 小，记作(2)定理：设、均为无穷小，又，且lim 存在I则 lim = lim 或 lim ? lim ?(3)常用的等价无穷小代换：当x 0时，sinxx, tanxx例 1 ：当 x 0 时，sin2x 2x, tan( 3x)3

5、xsin2x 2x 2 2例 2：极卜M lims= lim = lim二一sin2x用 2x等价代换 x 0 5x x 0 5x x 0 5 5r tan3x 3x例 3： |极日M lim= lim 一=lim3 3 tan3x用 3x等价代换x 0 x x 0 x x 0n、一元函数的微分学、导数的表示符号(1)函数f(x)在点x0处的导数记作:f (Xo),或X X0dydxx Xo(2)函数f(x)在区间(a,b )内的导数记作:f (x ), y或 dy dx二、求导公式(必须熟记) .(c)0(C为常数)(3) (ex) ex(sin x) cosx1(2) (x )x,Zl 、

6、,1(4)(ln x)一 x一(6) (cosx) sinx(arcsin x)1(8) (arctan x)11 x2例：|1、 x3 =3x22sin =04、05x2 2x 36三、导数的四则运算U和V即可,运算公式(设U, V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的 代入后用导数公式求解.)(u v) u v(u?v) u v uv特别地(Cu) Cu (C 为常数) TOC o 1-5 h z (u) uv 2uv v v4-,1 一，一_4 _例1 ： |已知函致y x 3cos x 2 ,求y . I54 一, 33斛：y = x 3 cosx 2 =4x 3sin

7、x 0 = 4x 3sin x例 2： |已知函数 f(x) x2ln x,求 f(x )和 f(e).zwJ,、2 ,2 ,21斛：f (x)= x ln x x ln x =2x ln x x 一 =2x ln x x x一所以 f (e)=2e ln e e 2e e 3e(注总：lne=1,ln1=0 ) x阿一已知函数f (x) 2，求f (x ).1 x解：f (x) =222x 1 x x 1 x 1 x x 2x i1 x2 21 x2 22x7 x四、复合函数的求导1、方法一：2例如|求复合函数 y sin x的导数. TOC o 1-5 h z (1)首先刊明你复合函数是由

8、哪几个简单函数复合而成的如y sin x2由y sin u和u x2这两个简单函数复合而成(2)甩号婺仝苞四出每个简单函数的导数即 dy = cos u , du =2 xdudx(3)每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量x替代回去.dy dydu2 ?=2 x cosu =2x cosxdx du dx2、方法二(直接求导法)：复合函数的导数 等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例1 ： |设函数y cos( 3x),求y .斛：y = cox( 3x) = sin(

9、 3x) - ( 3x) = sin( 3x) - ( 3)=3sin( 3x)逗二I设函数y elnx，求y.公刀 ln xIn x 1 In x斛：y = e =e . (in x) =- e、x注意十个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。五、高阶导数1、二阶导数记作：y，_ d2yf (x)或一2 dx2我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数2、求法：(1)二阶导数就是对一阶导数再求一次导(2)三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导FTTI一.，、”例1 ： |已知y 5sin x ,求y .解： y=5cosx, . y = 5sin x.2x例2： |已知y

10、e ,求y x 0.解：: y = e2x 2x =2e2x,. y =2 e2x 2x =4e2x即 y x0=4六、微分的求法：(1)求出函数y f(x)的导数f (x ). 再乘以dx即可.即dy f (x)dx . TOC o 1-5 h z n-;1一，2例1 ： |已知y In x ,求dy .2 112 ,12斛：. y = ln x = x = 2x = xx xdy = 2 dx x例2: |设函数y x4 cosx，求dy .4434.解：- y = x cosx x cosx =4x cosx x sin xdy= 4x3cosx x4 sinx dx田、二元函数的微分学

11、一、多元函数的定义： 由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。其自变 量的变化范围称为定义域，通常记作D。 例如：二元函数通常记作：z f(x, y), (x, y) D二、二元函数的偏导数 1、偏导数的表示方法:(1)设二元函数zf (x,y),则函数Z在区域D内对x和对y的偏导数记为:f x(x, y)zx ；z 一，f y(x,y), zy y(2)设二元函数zf(x,y),则函数z在点 x0, y0处又tx和对y的偏导数记为:x0,y0 x0, y05 zxx0, y0 x0,y0 5 f y x0, y0，z yxo,yo 2、偏导数的求法(1)对x求偏导时，只要将 y看

12、成是常量，将 x看成是变量，直接对 x求导即可(2)对y求偏导时，只要将 x看成是常量，将 y看成是变量，直接对 y求导即可.如果要求函数在点Xo,yo处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将Xo和y0代入即可i-CT1 一，一、，一zzZ 一 Z例1:已知函数z x y 2yx,求和.x y TOC o 1-5 h z 解：=3x2 y 2 y之，=x3 4xy xy，一， 一 2Z 一 Z例2:已知函数z x sin 2 y , 求和.x yZZ_2_解：一 二 2xsin2y, = 2x cos2y xy三、全微分1、全微分公式：函数Z f(x,y)在点(x, y)处全微分公式为：dZ dx

13、 dy x y2、全微分求法：(1)、先求出两个一阶偏导数二和一Z.(2)、然后代入上述公式即可x y例 1 ： |设函数 z sin(x y) 3x2 y 1,求 dZ.解： = ycos(x y) 6x, Z = xcos(x y) 1 xy dZ dx dy ycos(x y) 6x dx xcos(x y) 1 dy x y例2： |设函数z e2x y,求dZ.z Z 2x y Z 2x y, Z , Z2x y , 2x y ,斛：,1 =2e , 一=edz dx dy 2e dx e dyxyx y四、二阶偏导的表示方法和求法：,、/ z、2z(1) () = - = f xx

14、(x,y)=Zxx两次都对x求偏导x x xz、 z一一， .一(2)()=f xy(x, y) = Zxy先对 x求偏导，再对 y求偏导y x x y一 , z、 z(3)一(一) = f yx(x, y) =z yx先对 y求偏导，再对 x求偏导x y y x两次都对y求偏导z、 z ，、”() = -= f yy (x, y) = z yy y y y可见二元函数的二阶偏导共四种，它们都是 量的求导次序(写在符号前面的变量先求偏导) x, y的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意对变例1:设函数z3 23x y 3xyxy2z2 .y解：: = 3x2x3y3z-=2xy29xy2得一2

15、=6xy2x= 6x2y9y2=6x2y9y2 12z=2x3 18xy y例2:设函数ycosx,求解：: xy sin xycosxsin xIV、一元函数的积分学、原函数的定义：设F(x)是区间I上的一个可导函数,对于区间I上的任意一点x ,都有F (x) f (x)，则称F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数. TOC o 1-5 h z 例1 ： | (sin x) cosx,因此 sinx是cosx的一个原函数，cosx是sin x的导数.由于(sin x c) cosx ,可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多个r-，、一 .1,例2:设f (x)的一个原函数为

16、一，求f (x). x 11 一 . .，11解：因为1是f(x)的一个原函数，即 F(x) =1 ,所以f (x) =F (x)=2.xxx x2、11得 f (x)= =-3(汪：一x 1) HYPERLINK l bookmark23 o Current Document 3x xx二、不定积分(一)、定义：我们把f(x)的所有原函数称为f (x)在区间I上的不定积分，记作:f (x)dx F (x) C (其中 F (x) f (x)注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数C勿忘！、不定积分的性质1f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx2kf(x)dx k f

17、(x)dx (其中 k 为常数)、基本积分公式（和导数公式一样，必须熟记）10dx Ckdx kx C (k为常数)31xx dx C11)41-dx ln x C x5_xxe dx e6cosxdx sin x C7sin xdxcosx8dx arcsin x C1 x29dx2 xarctan x例1：3dx3x C2sin xdx -2cos x例2:tan 2xd tan xu2dutan 3x回3 C （利用换元法，设3tanx又如:cos 1xd cosxln cosx C2 ln xd ln x 一 33ln x 2(四)、不定积分的计算1、直接积分法：对被积函数进行恒等变形

18、,并用积分性质和积分公式进行积分的方法。，2 ,4 c 2,1 dx= x 2x 1 dx=42 ,x dx 2 x dx5dx = 5例2:(12sin x31-)dx1dx 2 sin xdx 3 dxxx2cosx 3ln x2、凑微分法（1）适用前提:如果被积函数是两个函数相乘（或相除）或者被积函数是复合函数（通常为较为简单的复合函数）的情况，此时可以考虑用凑微分法（2）凑微分法解法步骤1凑微分2换元3直接积分法反换元例1 ： |求不定积分 xcosx2dx2 12 1斛：原式=cosx d x =-2222cosx dx人父.12（1.凑微分）将xdx凑成d-x2 21 H一 cos

19、udu21 .=sin u C21.20 =sin x C2（2.换元）将x2换元成U(3.(4.例2:求不定积分2In x , dxx解：原式=ln 2xd(ln x)u2du(2.直接积分法）求出 U的不定积分一一 一 一一 2 一一 一反换兀）u再用x反换兀凑微分）将换元）将（3.直接积分法）3ln x例3:求不定积分3x 2 .e dx1 ,一、, 一 dx 凑成 d ln xxln x换元成u求出 U的不定积分（4.反换元）u再用ln x反换元. 1解：原式=-3=1313xe22d(3x 2)eudu=-e 31 3x 2=e3注意：凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一! 写出中

20、间变量，而直接进行积分。例4:3sin xcosxdx-.4.3sm xsin xdsin x=4例5:x 1 x2 dx =2.1 x2d(1 x2) = 1 133、分部积分法三、定积分（1.凑微分）将dx凑成：d（3x 2）（2.换元）将3x 2换元成u（3.直接积分法）求出 u（4.反换元）u再用3x如果能熟练掌握换元过程,（一）、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式的不定积分2反换元此时就可以不必1(将dx凑成一 d 3x31(将xdx凑成一 d 12x2 )A=f(x)dx(A为曲边梯形的面积)其中f(x)为被积函数，a,b为积分区间，a为积分下限，b为积分上限。用定积分所要注意的事项： 1、因为定积分是曲边梯形的面积, 值必为零。因此定积分的值-一定是个常数,所以对定积分求导，导数例:dx1arctan xdx 0 ,02 2t sintdti2、当a=b时,bf (x)dx =0a因定积分上限ba,当bf (x)dx =aab f(x)dx例:1 sin x1