直线与圆练习题(带答案解析)演示教学

1、直线与圆练习题（带答案解析）精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除直线方程、直线与圆练习1 .如果两条直线l 1: ax 2y 6 0与l2： x (a 1)y 3 0平行，那么a等A. 1B . -1 C . 2 D . 23【答案】B【解析】A% A2B1试题分析：两条直线平行需满足A1C2 A2C1即A1B2 A2B1 a 1,故选AC 2 A2C1择B考点：两条直线位置关系.已知点A (1, 1) , B (3, 3),则线段AB的垂直平分线的方程是A. y x 4 B . |y x| C . y x 4 D . |y x【答案】A【解析】试题分析：由题意可得:AB中点C坐标为2

2、,2kABAB的垂直平分线的斜率为-1 ,所以直线方程为：y 2 x 4 y x 4 ,故选择A考点：求直线方程.如图，定圆半径为a ,圆心为(b,c),则直线ax by c 0与直线x y 1 0的交点在A.第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】D【解析】 试题分析：由图形可知b a c 0,由ax by C 0得x y 1 0 y以交点在第四象限考点：圆的方程及直线的交点.若点(k,0)与(b,0)的中点为(1,0),则直线y kx b必定经过点A. (1, 2) B . (1,2) C . (1,2) D . ( 1, 2)【答案】A【解析】试题分析：由中点坐标公式

3、可得 k b 2,所以直线y kx b化为y kx 2 k k x 1 y2,令 x10, y20 x1,y2,定点(1, 2)考点：1.中点坐标公式；2.直线方程.过点P( 1,3)且平行于直线x 2y 3 0的直线方程为()A.2x y10B. 2x y 50C.x 2y50D. x 2y 70【答案】D【解析】试题分析：设直线方程：x 2y c 0,将点P( 1,3)代入方程，-1-6 c 0,解得c 7,所以方程是x 2y 7 0,故选D.考点：直线方程x 2 cos6.设Px,y是曲线C: x 2 cos （为参数，02 ）上任意一y sin点，则y的取值范围是() xA.V3J3B

4、.,V3瓜C.百33 V,TD .,飞丁【答案】C【解析】x 2 cosC:试题分析：曲线 y sin (为参数，02 1)的普通方程为:22x 2 y 1,P x,y是曲线22C: x 2 y 1上任意一点，则yx的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率, 如图：y 芯任x 3，3考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线的斜率；3.圆的参数方程.7.设点A(1,0), B(2,1),如果直线ax by 1与线段AB有一个公共点，那么22a b(A最小值为5( B)最小值为咚(C)最大值为5(D)5最大值为 5【答案】A【解析】 试题分析：直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，则点A(1

5、, 0)B(2, 1)应分布在直线ax+by-1=0两侧，将(1, 0)与(2, 1)代入，则(a-1)(2a+b-1) 2 Bk12 或 k-21D . -2k2【解析】试题分析：如图所示：由已知可得3 11 11 一.一kPA r22,kpB T2由此已知直线1若与直线AB有交点，则斜率k满足的条件是此若直线1若与直线|AB |,没有交点，则斜率k满足的条件是1 .k 一或k 2 ,故选C.2考点：两条直线的交点坐标11.已知直线 11: x 2ay 1 0与 12 : (2a 1)x ay 10平行,则a的值是。或4A. 0 或 1 B【解析】试题分析：当a 0时，两直线的斜率都不存在，

6、它们的方程分别是x 1,x 1显然两直线是平行的.当a 0时，两直线的斜率都存在，则它们的斜率相等，由空 a L故选C.2a 1a 14考点：两直线平行于倾斜角、斜率的关系12.已知点1, 2和go在直线l:ax y 1 0a 0的两侧，则直线l倾斜角的 3，取值范围是（）A. -,-B . ,5-C , 0-,4 33 634D.一二 3 3【答案】C【解析】 试题分析：因为点1, 2和月0在直线l:ax y 1 0 a 0的两侧，所以3，a 2 1 a 10 a 1 a出 0,解得1 a V3 ,设直线l的倾3斜角为，1 tanV3, 0 W或，故选C考点：直线的斜率与倾斜角(y 2)2

7、1 相切,13. 一条光线从点（2, 3）射出，经y轴反射与圆（x 3）23T 3一或一工或则反射光线所在的直线的斜率为A. 一或一 B35【答案】D【解析】 试题分析：点（2, 3）关于y轴对称的点坐标为A 2, 3 ,经y轴反射与圆22（x 3） （y 2）1相切可以看作为由点A向圆引得两条切线，设斜率为k,则切线方程可为：y k x . 一，_、2 ,_、2y kx 3(x 3) (y 2)4 MN 3,又因为圆心坐标为3,2 ,半径为.I,43k 3 2 2 3k-k -1,所以有11解得 U 0,或 、3 3, 33【答案】A【解析】 试题分析：根据圆的弦长公式，圆心到直线的距离 d

8、 1,所以d I 1 ,整理为 8k2 6k 0 ,解得- k 0k2 14考点：1.圆的弦长公式；2.解一元二次不等式.16.若圆心在x轴上、半径为“,5的圆。位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆。的方程是（） ,故选择D,k2 1考点：过园外点求圆的切线方程14.两直线(2m 1)x y 30与6x my 1 0垂直，则m的值为A. 0 B . C116136.0或13【答案】C【解析】试题分析：由两直线垂直需满足:AA B1.B20”可得6 2m 1 m 0m解得6134,03,0考点：平面直线的位置关系A. (x 5) 2 y2 5BC. (x 5)2 y2 5D【答案】D(x

9、 5)2 y25(x 5)2 y25试题分析：设圆心O a,0 , a 0, d5,那么方程是考点：圆的标准方程17.对任意的实数k,直线Vkx 122与圆x y 2的位置关系一定是【解析】A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D .相交且直线过圆心【答案】C【解析】试题分析：因为直线过定点01 ,又圆心与定点的距离为1K，所以为考点：1.定点问题；2.直线与圆的位置关系的判定；18.从圆x2 2x y2 2y 1 0外一点P 3,2向这个圆作两条切线，则两切 线夹角的余弦值为【解析】2222试题分析：x 2x y 2y 1 0变形为x 1 y 11,圆心为C 1,1 ,r 1 ,设切点为A,

10、 B ,所以直角 PAC中PC 5 sin1cos、52 cos25232cos 1 - 5考点：1.直线和圆相切的位置关系；2.三角函数基本公式2219.直线x y 2 0与圆x 1 y 21相交于A, B两点，则弦|AB|=（）A.1B. C .吏 D.72【答案】D【解析】试题分析：圆心到直线的距离d y-22匹，所以阴2小-叵,12 1V 2故选D.考点：直线与圆的位置关系.20.已知直线3x 4y 15 0与圆O:x2 y2 25交于A、B两点，点C在圆O上，且S abc 8,则满足条件的点C的个数为（）A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个【答案】C【解析】_ .15

11、 一.试题分析：圆心O到已知直线的距离为d -= 3,因此32 42AB| 2旧 32 8,设点C到直线AB的距离为h,则Sabc -1 8 h 8,h 2,由于d h 3 2 5 r （圆的半径），因此与直线 AB距离为2的两条直线中一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件的点C有三个，选C.考点：直线与圆的位置关系.21.垂直于直线y x 1且与圆x2 y2 1相切于第一象限的直线方程是( )A. x y V2 0 B . x y 1 0C. x y 1 0 D .xyV20【答案】A【解析】试题分析：直线垂直于直线y x 1, .设直线为y x b,又:直线与圆x2 y2 1相切,|b|

12、12 1J2, 与圆 x21相切于第一象限，b 72, 直线方程是x y逝0 .考点：直线与圆相切问题.2222.直线l：y k(x 2) 2将圆C:x y 2x 2y 0平分，则直线l的万向向量是()(A) (2, 2)(B) (2,2)(C) ( 3,2)(D) (2,1)【答案】B【解析】试题分析：圆C的标准方程为(x 1)2 (y 1)2 2,圆心为(1,1),由题意 1 k(1 2) 2, k 1,因此直线l的方向向量为与向量(1,1)平行的向量(除 零向量)，只有B中向量与(1,1)平行，故选B.考点：直线的方向向量23.已知圆 G: (x2) 2+ (y-3) 2= 1,圆 O:

13、 (x-3) 2+ (y-4) 2 = 9, M N分别是圆C、。上的动点，P为x轴上的动点，则|PM| 十 |PN|的最小值为()A. 5J24 B . J17 1 C . 6-2/3C.73D . 1【答案】B【解析】试题分析：圆心（0,0）到直线的距离为1,弦AB的长为乙仍 2忌选B.y2 Jxy m 0恒成立，则m的取考点：直线与圆的位置关系的应用，特征三角形.40.已知 x 0, y 0, 2x y 1 ,若 4x2值范围是（）.a 17A. mB16【答案】B17m 一1617m 一16【解析】试题分析：若224x yJxy m 0恒成立，即m 4x2y2 4rxy恒成立，只需 m

14、 (4x2 y2 xy)max ? 而4x2 y2xy (2x y)2 4xy . xy4xy . xy 14(. xy)2 xy 14( xy1)2/当向8161 ,.一 171时，取得最大值上，所以m8161716考点：1.基本不等式；2.包成立问题的转化；3.二次函数求最值41.已知直线l : x ky 5 0与圆O:x2 y2 10交于A、B两点且uuu uuuOA OB 0,则 k ()A. 2 B .2 C .& D . V2【答案】B【解析】uuuiJ_OB 而，所以O到直线uuu uuuuuuu uuuiuur试题分析:由OA OB 0可知OA OB,且OAl : x ky 5

15、 0的距离为三2斯0 底,由点到直线距离公式由:2)I。Y5,解得：k 2 .1 k2考点：1.向量的垂直；2,直线与圆的位置关系；3.点到直线距离公式.42.直线x ysin 1 0 ( R)的倾斜角范围是 3【答案】一,3-4 4【解析】试题分析:sin 0 ,设直线x ysin 1 0的倾斜角为，当 时，则符合题意,一或一一时，则2341一tan (,1U1,)，又sino综上满足题意的倾斜角范围是考点：1,斜率的概念；2 ,正弦、正切函数的图象.43.在y轴上的截距为6,且与y轴相交成30。角的直线方程是【答案】y V3x 6或yV3x 6【解析】试题分析：因为与y轴相交成30。角，所

16、以直线的倾斜角为60或120 ,所 以直线的斜率为73或-收,所以又与y轴上的截距为-6,所以直线方程为 y Ex 6 或 y 3Xx 6。考点：直线的方程44.已知三条直线ax 2y 8 0,4x 3y 10和2x y 10中没有任何两条平 行，但它们不能构成三角形的三边，则实数 a的值为:【答案】1【解析】试题分析：由已知三条直线 ax 2y 8 0,4x 3y 10和2x y 10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则直线 ax 2y 8 0必经过4x 3y 10和2x y 10的交点，联立4x 3y 10解得x 4 ,代入2x y 10 y 2ax 2y 8 0 可得 a

17、1考点：两条直线的交点坐标45.直线x y 1与直线2x 2y m2 20间距离的最小值为试题分析：直线化简为xm220,平行线的距离是2m11222m220时,距离取得最小值是dmin2 .考点：平行线间的距离46.经过点P(3, 1),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l 的方程是【答案】x 2y 1 0或x 3y 0【解析】试题分析：设直线l在x上的截距为a,在y轴上的截距为b,当a 0时，b 0,此时直线l的方程为 x 3y 0 ;当a 0时，a 2b ,此时，一、b 1， 一 、一i ，直线l的斜率k 1,所以直线l的方程为2b 2/1cC / Cy 1 x 3x 2y

18、1 0 .考点：直线的截距式方程.直线2 x 1 y 21 0经过的定点坐标为【答案】1,1【解析】试题分析：整理2 x 1 y 21 0得：2x x y y 21 0 ,即(x y 2)(2x y 1) 0,贝 U 由x y 2 02x y 1 0,所以直线过定点1,1 .两平行直线2x 3y 8 0与2x 3y 18 0之间的距离d .【答案】2、.13【解析】试题分析：由平行间的距离公式得d L8 18 J6 2而 22 3213考点：平行线间的距离.已知角 的始边与x轴正半轴重合，终边在射线3x 4y 0 x 0上,贝 sin cos .5【解析】试题分析：在直线上取点(-4, -3)

19、,由三角函数的定义得34 1 1sin -,cos 一，所以 sin cos -，答案为 一.5555考点：三角函数的定义.圆心在直线2x y 7 0上的圆C与y轴交于两点A(0, 4), B(0, 2), 圆C的方程为:【答案】(x-2) 2+ (y+3) 2=5【解析】试题分析：圆心到 AB的中垂线y 3上，又圆心在2x y 7 0,所以圆 心坐标为2, 3 ,圆的半径为点A到2, 3的距离，d 75,因此圆的方 程为(x-2) 2+ (y+3) 2=5考点：圆的方程22.过已知直线l:y x 1上的一点作圆C:(x 2) (y 1)1切线，切线长 的最小值为:【答案】1【解析】试题分析：

20、由圆心到直线的距离可知直线与圆相离。设切线长为d ,直线上一点为p,则d2 |pc|2 1,所以当圆心与直线上一点的连线距离最短时切线长最小，又最小值即为圆心到直线的距离为|pc|min 2L1LA所以min V2切线长的最小值为10考点：1.直线与圆的位置关系；2.最值问题；.圆C: x2 y2 2x 2y 2 0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是.【答案】3【解析】 试题分析：由题可知，将x2 y2 2x 2y 2 0化简为(x 1)2 (y 1)2 4,圆心为(1,1),因此，圆心到直线的距离公式为I 3 4 14|5，考点：点到直线的距离公式.圆心在直线x 2上的圆与y轴交于两点

21、A(0, 4), B(0, 2),则该圆的标 准方程.【答案】(x 2)2 (y 3)2 5【解析】试题分析：设圆心为(2,a),因为圆与y轴交于两点A(0, 4), B(0, 2),即截 y轴所得弦长为2,所以圆的半径为r J22 12 75, a 2 1 3 ,故答案 为(x 2)2 (y 3)2 5 .考点：1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系.(选修41:几何证明选讲)如图，已知切线PA切圆于点A,割线PBC分别交圆于点B,C,点D在线段BC 上，且 DC 2BD , BAD PAB , PA 210 , PB 4 ,则线段 AB 的长为.【答案】2.3【解析】精品文档收集于网络，

22、如有侵权请联系管理员删除精品文档【答案】1; 75o收集于网络，如有侵权请联系管理员删除唔10,所以BC 6,从而 BD 2, DC 4 ,又由 CPAB BAD ,所以CAB : ADB ,所以AB CBBD ABAB JBD CB 243 .试题分析：由切割线定理得 PA2 PB PC ,因此PC考点：切割线定理，相似三角形.【名师点睛】平面几何中与圆有关的性质与定理是高考考查的热点，解题时要充分利用性质与定理求解，本部分内容中常见的命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；圆内接四边形的性质与判定；相交弦定理与切割线定理.55.直线3x 4y 15 0被圆x2y2 25截得的

23、弦AB的长为【解析】 试题分析：由题意可得：圆心 0,0到直线3x 4y 15 0的距离15d 3T7 3, 所以被圆x2 y2 25截得弦长为2752 32 8。考点：圆的性质.56.如图，AB是圆O的直径,P在AB的延长线上，PD切圆O于点C .已知圆O半径为33,；ACD的大小为OP 2 ,贝U PC【解析】 试题分析：由切割线定理可得 CP2 PB PA 2 732V3 1,所以CP 1.连接 OC , Rt/XOCP 中，OP 2,CP 1,所以o1ooOPC 60o, OAC - COP 15,所以 ACD 75 .2考点：切割线定理.57.如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割

24、线PBC ,已知PA 2J2 , PC 4 ,圆心O到BC的距离为 曲,则圆O的半径为.P【答案】2【解析】试题分析：由切割线定理知 PB PA2 会空 2,所以BC 2,所以PC 4r ,|)2 (拘2 2.考点：切割线定理，垂径定理.若圆C:x2 y2 4x 2y m 0与y轴交于A, B两点，且 ACB 90,则实数m的值为:【答案】3【解析】 22试题分析：因为C:x y 4x 2y m 0,所以x 2 y 15 m ,圆心C 2, 1 ,因为 ACB 90 ,过点C作y轴的垂线交y轴于点D,在等腰直角三角形BCD中，CD BD 2,5 m CB2 4 4,解得m 3。考点：圆的方程的

25、综合应用.若圆B:x2 y2 b 0与圆C:x2 y2x 3 m y 2m 9,圆心 C 3 m ,2m ,半径 r 3 ,令 6x 8y 16 0没有公共点，则b的取值范围是【答案】4b0或b 64【解析】 试题分析：圆心B 0,0，半径R S ,圆心C 3, 4 ,半径r 3,根据两点间距离公式，所以|BC 5;因为两圆没有公共点，所以BC R r一4 b 0或 b 64 oBC R r考点：两圆的位置关系60.若直线l : x y 20与圆C:x2 y2 2x 6y 2 0交于A、B两点，则ABC的面积为【答案】2/3【解析】试题分析：圆C:x2 y2 2x 6y 2 0的圆心为1,3

26、,半径r 272 ,圆心到直线的距离d 1 3- 2 V2,所以弦长为2& S - 2氓 21 27322考点：直线与圆相交的相关问题61 .在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：222x y (6 2m)x 4my 5m 6m 0 ,直线l经过点1,1 ,若对任意的实数m ,直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l的方程为.【答案】2x y 1 0【解析】 222 试题分析：将圆C x y (6 2m)x 4my 5m 6m 0化为标准式得x 3 m y 2m消去m得2xy 6 0所以圆心在直线2x y 6 0,又因为直线l过点1,1 ,若对任意的实数m,直线l被圆C截得的弦长都是定值，所 以

27、直线l与圆心所在直线平行，设l方程为2x y c 0,将1,1代入得 c 1 ,直线l的方程为2x y 1 0 .考点：直线和圆的方程的应用.圆x2 y2 1上的点到直线3x 4y 25 0的距离的最小值 是.【答案】4试题分析：根据点到直线距离公式0 0 255 ,所以圆上的点到直线的距离最小值为d r 5 1 4.考点：点到直线的距离公式.已知二次方程 x2 + y2 + x + J3y + tan 0=0 ( 0 0m 1或 m 4-6(2)设m=-2时，圆心 C(-2,2),半径 R=3 2-8 圆心到直线的距离为2 1d 4_；- v1510 圆C截直线l:2x y 1 0所得弦长为

28、2 Ry 416【解析】 试题分析：本题考察的是圆的方程，只需确定圆心和半径即可，本题中利 用待定系数法，结合题目所给条件即可求出圆心和半径，从而得到圆的方 程。试题解析：由题意，所求圆与直线 y 0相切，且半径为4, 则圆心坐标为Oi a,4 ,。1 a, 4 .又已知圆x2 y2 4x 2y 4 0的圆心为O2若两圆内切，则O1O24 3 1 d2 2 18 5 2 13-12考点：1.圆的一般方程；2.圆的弦长公式.86.求半径为4,与圆x2 y2 4x 2y 40相切，且和直线y 0相切的圆的方程.【答案】x 2 2 10y 4 2 16 或 x 2 2 而2y 416x 2 2,62

29、,1 ,半径为3,22212 池 a 24 112显然两方程都无解.若两圆外切，则O1O24 3 7.222222即 a 2417,或 a 2417解得 a 2 2. 10 ,或 a 2 2,6 .2y 4162y 416来源:所求圆的方程为x 2 2/10y 4 2 16 或 x 2 2Mx 2 2 拆 y 4 2 16 或 x 2 2 册 考点：圆的标准方程87.（本小题满分12分）已知直线l过点M（1,1）,并且与直线2x 4y 9 0 平行.（1）求直线1的方程；22（2）若直线1与圆x y x 6ym 0相交于P，Q两点，O为原点，且OP OQ ,求实数m的化【答案】(1) x 2y

30、 3 0 ; (2) m 3【解析】 试题分析：（1）由两直线平行可知斜率相等，可首先求出已知直线的斜 率，进而点斜式写出所求直线1的方程；（2）将直线与圆的方程联立，转化为关于x的二次方程，求出根与系数的关系，将 OP OQ转化为点的坐 标，代入根与系数关系，从而求得参数 m的值 试题解析：（1）二.直线1与直线2x 4y 9 0平行1/1 ,y 1 一（x 1）直线1斜率为2,其方程为2 即x 2y 3 0(2)由x 2y 3 02y x 6y m 0消去x得5y220y m 12yi y24m 12yi y252设 P(xi, yi), Q(x2, y2)则 ( 20)20(m 2) 0

31、. OP OQ X1X2 yiy2 0 ?.(3 2yi)(3 2y2) yy2 0 . 5%丫2 6(yiy) 9 0. m i2 24 9 0 解得 m 3 满足 0考点：i.直线方程；2,直线和圆相交的位置关系88.（本题满分i2分）已知直线ax y 5 。与圆C: x2 y2 9相交于不 同两点A, B.（I ）求实数a的取值范围（II）是否存在实数a,使得过点P 2,i的直线l垂直平分弦AB ?若存 在，求出a的值；若不存在，请说明理由.,、4,【答案】（I） a 或a ; （H）存在a 2 . 33【解析】试题分析：（I）利用直线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小

32、于半径；（n）如果过点 p 2,i的直线i垂直平分弦ab ,那么两直线的斜率满足kik2i,所以根据斜率先求a,验证是否满足（I）的结果.试题解析：解：（I）圆C的圆心C: （0,0）, r 3, C到直线ax y 5 0距离为d a2 i直线ax y 5 0与圆C相交，d r3 Ja2 i , a 3 或 a -33(H) AB为圆上的点， AB的垂直平分线过圆心， Ipc与ax y 5 0垂直kABa 2符合(1)中的存在a 2,使得过P( 2,1)的直线l垂直平分弦AB .考点：1.直线与圆的位置关系；2.两直线垂直.89.(本题满分10分)已知点A( 3, 1)和点B(5,5).(I

33、)求过点A且与直线AB垂直的直线l的一般式方程；(II)求以线段AB为直径的圆C的标准方程.【答案】(I) 4x 3y 15 0; (n) (x 1)2 (y 2)2 25 .试题分析：(I)两直线垂直，当斜率都存在时，kk21,所以根据两点先求直线ab的斜率，再求直线l的斜率，最后根据点斜式写方程并化简；abI(n) ab的中点就是圆心， 一(是半径，所以根据圆心，半径写圆的标准 2方程.试题解析：解：(I)由条件知kABm，则K -5 ( 3)43根据点斜式得直线l的方程为y 1 g(x 3),整理得直线l的一般式方程为4x 3y 15 0.(n)由题意得 C(1,2), |AC | v；

34、(1 3)2 (2 1)2 5故以线段AB为直径的圆C的标准方程为(x 1)2 (y 2)2 25 .考点：1.直线方程；2.圆的标准方程.90.(本题满分16分)已知圆O ： x2 y2 4 ,直线l : y kx 4 .(1)若直线l与圆。交于不同的两点A, B ,当AOB=2时，求k的值.(2)若k 1, P是直线l上的动点，过P作圆。的两条切线pc、PD ,切点为C、D ,问：直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.(3)若EF、GH为圆O : x2 y2 4的两条相互垂直的弦，垂足为M 1,0,即一2a0,解得a0.则实数a的取值范围是(一, 0).设符合条

35、件的实数a存在，由于12垂直平分弦AB,故圆心C (3, -2)必在12上.所以12的斜率kpc=一 2,而 kAB= a =, kPC TOC o 1-5 h z 11所以a 由于-( 8, 0),故不存在实数a,使得过点P (2, 0)的 22直线l 2垂直平分弦AB. 12分考点：1.直线方程；2.点到直线距离；3.直线与圆的位置关系.93.(本题14分)设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2; (2)被x轴分成 两段弧，其弧长的比为3:1,在满足条件(1) (2)的所有圆中，求圆心到 直线l: x 2y 0的距离最小的圆的方程.【答案】(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1

36、)2 2【解析】试题分析：本题考察的是求圆的方程，圆被 x轴分成两段圆弧，其弧长的比 为3:1 ,劣弧所对的圆心角为90 ,设圆的圆心为P a,b ,圆P截x轴所得 的弦长为也r,截y轴所得弦长为2,可得圆心轨迹方程，圆心到直线 l :x 2y 0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程.试题解析：设圆心为P(a,b),半径为r .贝U P至U x轴、y轴的距离分别为M和H .由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90 ,故圆截x轴所得弦长为 石. r2 2b2 (6分)又圆截y轴所得弦长为2.la 2b d.5r2 a2 1.又; P(a,b)到直线x 2y 0的距离为(10 分)a 2b

37、 岳d . a a2 4b2 475bd 5d2.将 a2 2b2 1 代入上式得：2b2 4 J5bd 5d2 1 0 .上述方程有实根，故8(5d2 1) 0,d5将d1代入方程得b 1|.又 2b2 a2 1.,.|a 1 .由|a 2b| 1知a、b同号.故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2 . ( 14分)考点：直线与圆的位置关系94.(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系内，已知 A(1,0),B( 1,0)两点,且圆C的方程为x2 y2 6x 8y 21 0,点P为圆C上的动点.(1)求过点A的圆的切线的方程；(2)求|AP|2 |

38、BP |2的最大值及其对应的点P的坐标._21 28【答案】(1) 3x 4y 3 0 或 x 1 (2)(一,一)5 5【解析】试题分析：(1)本题考察的是过圆外一点求圆的切线方程，需要经过分类 讨论.分斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离等于半径，即 可求出过点A的圆的切线方程.(2)设P(x,y),利用两点间的距离公式表示|AP|jBP|,代入所求式子中化 简，整理后得出所求式子最大，即为 OP最大，而P为圆上的点，连接OC 延长与圆的交点即为此时的P点，0Plmax |OC| r,求出OP的最大值，即 可确定出所求式子的最大值.试题解析：(1)当k存在时设过点A切线的方程为y

39、k(x 1), 圆心坐标 为(3, 4),半径r 2 , |3k 4 k| 2 ,解得k 9 ,所以，所求的切线1 k24方程为3x 4y 3 0;当k不存在时方程x 1也满足；综上所述，所求的直线方程为：3x 4y 3 0或x 1设点P(x, y),则由两点之间的距离公式知| AP |2 |BP|2 = 2(x2 y2) 2=2|OP|2 2,要|AP|2 | BP |2取得最大值只要使|OP|2最大即可, 又P为圆上的点，所以(|OP|)max |OC| r V32 42 2 7,所以(|AP|2 |BP|2)max 2 72 2 100, 4此时直线OC： y x,由32x4y - x3

40、2_ 一 -y 6x 8y 219x -解得 I (舍去)或0 y -52152821 28点P的坐标为(一,一)5 5考点：圆的切线方程.(本小题12分)圆C的半径为3,圆心在直线2x + y = 0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为245 .(1)求圆C的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l ,使得以l被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.【答案(1) xy1 y2 = (x1 +b)(x2 +b) = x1x2 +b (x1 + x2) +b 由 OA a ob 得 x1x2 + y1y2 = o， 即 b2+4b - 4 - b(b + 1)

41、+b2 = o， b2 +3b - 4 = o，解得 b=1 或 b = -4.+y2 - 2x + 4y-4 = 0 ; (2) y = x + 1 或 y=x-4【解析】 试题分析：先设出圆心坐标，依据题意列出方程，求出圆心坐标，从而写出圆的标准方程；(2)设这样的直线l存在，其方程为y = x + b,设出直线与圆的交点坐标，联立方程，利用韦达定理表示出x/2与yy2,再利用OAA OB得*遇2 + 丫42=0,可以列出关于b的方程，求解出b再加以验证即 可.试题解析：(1)设 C(xo,yo),则 2xo+yo =0(yo 0),又432 - y。2 =& ,得 xo =1, yo =

42、 - 2 ,则 C(1,-2).2222所以圆 C的方程为(x- 1) +(y + 2) =9 ,即 x +y - 2x+4y - 4 = o .(2)设这样的直线l存在，其方程为y = x + b,它与圆C的交点设为A(x1, y1),B(x2,y2)，得 2x2+2(b+1)x+b2 + 4b-4 = o则由？x2 + y2-2x + 4y-4 = o ?y = x + b所以x1 +x2(b+1)2_ b2 +4b- 4一 2.所以容易验证b =1或b = - 4 ,方程2x2 +2(b +1)x + b2 +4b- 4 = 0有实根.故存在这样的直线l有两条，具方程是丫 = 乂+1或丫

43、 = 乂-4.考点：圆的方程；直线与圆的综合问题；.已知圆 C: x2 (y 1)2 5,直线 l: mx y 1 m 0.(1)求证：对m R,直线l与圆C总有两个不同交点；(2)设l与圆C交于不同两点A、B,求弦AB的中点M的轨迹方程；1 ：-I(3)若定点P(1,1)分弦AB所得向量满足AP 一 PB,求此时直线l的万 2程.【答案】(1)详见解析；(2) x2 y2 x 2y 1 0; (3) x y 0或x y 2 0 .【解析】 试题分析：(1)整理直线l方程，分析可知，直线l包过定点(1,1),经检验可知点(1,1)在圆C内，因此直线l与圆C总有两个交点；(2)由于直线l过定点(

44、1,1),根据直线与圆的位置关系可知，定点、圆心、弦中点这三个点构成一个直角三角形，设弦中点坐标为(x,y),根据勾股定理，列出关于x,y的方程，即为弦中点的轨迹方程.注意讨论弦中点为定点(1,1)的情况；1 1(3)设人(。必)，B(x2,y2),把条件AP PB用坐标表小，得到关系Xi,X2 的等式，联立直线l与圆C的方程，整理得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，得到Xi,用的等式，与前面的关系式联立，即可求出m的值.从而求出直线l的方程.试题解析：(1)证明：由直线l : mx y 1 m 0,整理得：y 1 m(x 1),所以对任意m R ,可知直线l恒过定点(1,1),而点(1,

45、1)在圆C: x2 (y 1)2 5内，所以对m R,直线l与圆C总有两个不同交点；(2)当M不与P重合时，连接 CM CF；则CM MP设M (x,y )2y x 2y 1 0设 A (。) , B (x2,y2)由而x22x1 .将直线与圆的方程(1 m2)x2 2m2x m2 5 02可得、3-2,代入(*)得m 11 m(*)xx22m21 m2则 x2 (y 1)2 (x 1)2 (y 1)2 1,化简得：x2 当M与P重合时，满足上式.直线方程为x y 0或x y 2 0.考点：1.直线与圆的位置关系；2.弦中点轨迹方程.97.已知定圆C : x2 (y 3)2 4,定直线m:x

46、3y 6 0 ,过A( 1,0)的一条 动直线l与直线相 交于N ,与圆C相交于P,Q两点，(1)当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：l过圆心C;(2)当PQ | 2V3时，求直线l的方程； 3 3【答案】(1) N( 2,1),证明略；(2) x 1或4x 3y 4 0.【解析】试题分析：(1)通过直线m的方程求出斜率km,根据两条直线垂直kl km1,求出kl ,写出直线l的方程，证明过圆心C,再联立直线l与m的方程求出N点坐标即可.(2)先考虑当直线l斜率不存在时的情形，止匕 时直线方程为x 1 ,经检验符合题意；再考虑直线l斜率存在时，设直线 方程为y k(x 1),由直线l与圆C

47、相交所得弦长为PQ| 2V3,根据弦长公2c c PQ 式r2 d2 f ( d为圆心C到直线l的距离)求出d ,列出点到直线距离公式，解出k的值，即求出直线l的方程.解本题时要注意讨论直线的斜率是否存在，否则容易丢解.1试题解析：(1)由已知km ,由ki % 1得ki 3.所以直线l的万程 为y 3(x 1),由圆的方程可知圆心C(0,3),经检验，直线l过圆心C,联33y3(x1)2 ,所以N(当直线l斜率不存在时，易知x 1 ,此时经检验|PQ| 2禽符合题意；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y k(x 1),由于|PQ| 2V3 ,根据弦c c PQ长公式r2 d2(d为圆心C到

48、直线l的距离)求出d 1 ,即 心刍1,解得k 4 .故直线l的方程为x 1或4x 3y 4 0k2 13考点：1.两直线垂直；2.直线与圆的位置关系.98.(本小题满分13分)已知直线L：y= 2x+3 , %: y x 2相交于点C.(1)求点c的坐标；(2)求以点C为圆心，且与直线3x 4y 4 0相切的圆的方程；(3)若直线x+y+t=0与(2)中的圆C交于A、B两点，求D ABC面积的最 大值及实数t的值.【答案】(1) (-1,1); (2) (x+1) 2+(y- 1)2=1; (3=1或1=-1.【解析】试题分析：(1)联立直线方程，解方程可得交点 C; (2)运用直线和圆相切

49、的条件：d=r,由圆的标准方程可得所求圆的方程；(3)方法一、运用 三角形的面积公式，结合正弦函数的值域，可得最大值，再由点到直线的 距离公式，可得t的值;方法二、运用弦长公式和基本不等式可得面积的最大值，再由点到直线的距离公式，可得t的值.试题解析：(1)?y?y=2x+ 3x+ 2?x = - 1?y = 1C(- 1,1)；3? ( 1)+ 4? 1 4| (2)圆心 C(- 1,1),半径 r = J= 1 ,5所以圆C的方程为(x+ 1)2+ (y- 1)2 = 1 .方法一：因 Sdabc=1彳rsin ACB = 1sin ? ACB , 22显然当sin ? ACB 1 ,即？ ACB 90?时，Sdabc取到最大值-, 2此时，直角DABC的斜边AB上的高为咚又圆心C到直线x+ y + t = 0的距离为-1+1+t t二二TTtl=-2方法二：设圆心C