试验八数值分析

1、信息工程学院实验报告课程名称：数值分析学号：班级：计算机1432016 年6月27日姓名：实验日期：实验名称常微分方程初值问题数值解法实验目的 和要求.理解欧拉法、改进欧拉法的基本思想，以及其在求解常微分方程初值问题方面的应用；. 了解龙格-库塔方法的基本思想，并理解显示R-K在不同公式阶数下，用于求解初值问题的基本思路及方法；实验内容和步骤: 一、相关算法介绍1.欧拉法一般地，设已作出该折线的顶点 Pn,过Pn(Xn,yn)依方向场的方向再推进到Pn中(中0口书),显然两个顶点Pn , Pn.(Xn如丫门斗)的坐标有关系：yn 1 - ynxn i - xn=f (Xn, yn)(8.1 )

2、yn di = yn *hf ( xn , yn) (8.2 )此方法称为欧拉法，实质上是对常微分方程中的导数用均差近似，即y(xn 1) -y(xn)* y (xn) = f (xn, y(xn) (8.3) h直接得到的，若初值已知，则结合以上公式可逐次求出必=y hf(xo,yo),y2 = % hMx/), a.改进的欧拉算法先用欧拉公式求得一个近似值W ,即预测值，预测值 v 的精度可能很差，再利用梯形J n 1y n 1公式校正，按照梯形公式的迭代公式迭代一次得到yn书，则称yn书为校正值，其中预测-校正系统成为改进的欧拉公式：预测 yn* = yn +hf (xn, Yn )h

3、一- 1(8.4)校正 yn 由=yn +2f(xn,yn) +f (xn4,yn 书)j.龙格-库塔法一般来说，点数r越多，精度越高，为了得到便于计算的显示方法，可类似于改进欧拉公式,将公式表示为：yn +=yn +h 中(xn, yn ,h) , ( 85 )其中中(x, y,h) = CiKi (8.6)i 1Ki -f (Xn,yn)i JKi =f(Xnih,ynhijKj),i =2, ,rj i其中，Ci取尸i均为常数，(8.5)式和(8.6)式称为r阶显示龙格-库塔法，简称 R-K方法。二、实验内容.给定初值问题要求：(a)用改进欧拉法(h=0.05)及二阶、三阶 R-K法(h

4、=0.1 )求(1)的数值解，并打印 x=1+0.1i (i=0,1,2 ,，10)。(b)用一阶、二阶以及三阶 R-K方法解(2),步长分别取h=0.1,0.025,0.01，计算并打印x=0.1i(i=0,1 ,，10)各点的值，与准确解比较。.实验代码(a)#include #include double fuc(double x, double y)(return (1.0/x/x - y/x);)void Euler()(inti;double x21,y21;double yp, yc;double h = 0.05;x0 = 1;y0 = 1;for(i = 1; i= 20;

5、i+)(xi = xi-1 + 0.05;)for(i = 0; i 20; i+)(yp = yi + h * fuc(xi,yi);yc = yi + h * fuc(xi+1,yp);yi+1 = (yp + yc)/(2.0);Xnyn1yn21111.10.9957690.9957371.20.9853210.9852681.30.9711150.971051.40.9546960.9546231.50.9370540.9369771.60.9188320.9187521.70.900450.900371.80.8821840.8821041.90.8642130.8641342.0

6、0.8466520.846574Euler 与 R-KEuler R-Kxh1h2h300.3333330.3333330.3333330.14.6054860.0130150.0122560.263.0624970.0400630.0400160.3864.049440.0900370.0900010.411843.630030.1600370.1600010.5162354.5110.2500370.2500010.62225606.7130.3600370.3600010.730509354.280.4900370.4900010.8418232392.20.6400370.6400010.957332690350.8100370.8100011785935630081.0000371.000001不同步长的经典四阶R-KT-h=0.1 T-0.025 T0.019E+108E+107E+106E+105E+104E+103E+102E+101E+10 0-1E+10四、实验总结及感想改进的欧拉法，采用区间两端的函数值的平均值作为直线方程的斜率。改进的欧拉法的精度为二阶，较大的提高了计算精度， 且计算简便。虽然改进的欧拉法相比欧拉法， 精度有了明显的提高， 但却不能满足更高精度的要求， 并且在一定情况下会产生病态问题， 而龙格-库塔法，具有高精度, 对误差采