三种空间插值算法在地磁图构建中的应用

1、三种空间插值算法在地磁匹配基准图构建中的应用于运治1田茂均1（1：海军潜艇学院，青岛，266044）摘要：针对地磁匹配导航对构建高密度高精度地磁基准图的需求，结合目前应用较为广泛效果较好的三种空间插值方法，用某地区的实测地磁数据进行了插值效果分析。对于插值效果的评价引入了交叉验证法，并借助误差最大值、最小值、平均误差、标准差和运算时间等六项评价指标对三种插值算法进行了综合评价。通过研究说明了三种插值算法各自的特点和应用范围。关键词：地磁图构建；插值分析；交叉验证Theapplicationofthreespatialinterpolationalgorithmingeomagneticmatc

2、hingreferencemapbuildingYuYunzhiTianMaojuni(1:NavySubmrineAcademyQindao,266044)Abstract：Accordingtogeomagneticmatchingnavigationdemandforhigh-densityandhigh-precisiongeomagneticreferencemap,combinationthreebetterandwidelyusedspatialinterpolationmethod,withameasuredgeomagneticdatatoanalysisinterpolat

3、ioneffect.Introductionofcross-validationmethodtoevaluatetheinterpolationeffect,andwitherrormaximum,minimum,averageerror,standarddeviation,andcomputationtimesixfactorsevaluationofthreeinterpolationalgorithm.Bystudyingdescriptionofthefeaturesandapplicationsofeachofthethreeinterpolationalgorithmsingeom

4、agneticreferencemapbuliding.Keywords：geomagneticdata,interpolationanalysis,cross-validation1引言地磁场的场强和方向均是位置的函数，载体理论上可以通过测量地磁场要素，与地磁图匹配得到唯一的载体位置。地磁场的特点使得地磁匹配导航具有了抗干扰、隐蔽、完全自主等优点，也成为了目前各国重点发展的载体导航手段之一。地磁匹配导航与地形匹配等匹配导航手段的基本思路类似，它是通过载体实测的地磁数据信息与先验的地磁基准图进行匹配来得到载体的位置信息。由此看出先验地磁图的优劣很大程度上决定了地磁匹配导航的位置精度。获得先验地

5、磁基准图的方法主要有两种，一是利用地磁模型法；二是通过实测地磁数据法。前一种方法建立的地磁图尺度范围大，往往是通过一个或多个数学物理模型建立较大区域乃至全球的地磁图。这样的地磁图通常在实验室基于卫星测磁数据，并通过大量的计算得到，但是由于建立的地磁图空间尺度大，而且卫星高度过高得到的地磁数据往往滤除了许多的磁异常信息，这样的地磁图并不适合于载体导航定位使用。后一种方法也是目前获得地磁匹配基准图的主要方法，它使用舰船或者飞机搭载磁敏感器实测地磁数据来构建地磁图。但是由于舰船本身对磁场的影响和测量经费的制约，实测法不可能很密集的测量，因此获得的地磁图精度和密度都有限。目前许多学者加大了对地磁空间数

6、据插值算法的研究，力求通过较好的插值算法弥补实测数据稀疏的问题，实现地磁图的插值加密重构，从而提高地磁图的匹配概率和精度。2三种主要的空间插值算法插值算法在许多工程领域都有极大的应用，发展历史也较长，按分类和性质的不同也形成了为数众多的方法。特别是20世纪初以来,将时间序列方法扩展到二维与多维分析，对空间插值问题进行了大量卓有成效的研究，建立了如反距离加权插值法、克里金法、径向基函数法、样条函数法、多元回归法等一系列模型方法。其中反距离加权插值法、克里金法、径向基函数法在地磁数据插值中的应用较为普遍。2.1反距离加权插值法反距离加权插值法或是叫做加权反距离插值法是一种加权平均的插值方法。它认为

7、未知点的值受较近点的影响要大于较远的点，并且这种影响与点之间距离的乘方成反比，也就是说离未知点越近的点所占的权重越大，越远的点所占的权重越小，如果乘方数为1说明变化率是恒定的，该方法就成为了线性插值法；如果乘方数为2或者更高阶则说明较近点的影响远大于较远的点，而影响位置点值的所有有效点权重之和为1.0。其基本公式可表示为：dk其中Z0为未知点的值；Zi为影响Z0的第i个点值；k表示乘方数，可是1、2或者更大的数；d=；（x-x）2+（y一y）2，表示点Z）与Z。iii之间的距离；n为影响未知点的有效作用点数。反距离加权插值法的适用不仅取决于乘方数的选择，还取决于确定有效作用点的方法。其次反距离

8、加权插值法是一种精确的插值法，插值得到的面最大值和最小值只会出现在采样点，因为其计算易受到数据点集群的影响，因此计算结果有时会出现孤立点数据明显高于周围数据点的“鸭蛋”分布。而且，当增加、删除或者改变一个点时都需要从新计算权函数,所以它存在着一定的缺陷。但是其优点也非常明显，因算法的结构简单，因此运算非常迅速。2.2克里金（Kiging）法Kriging插值法是一种用于空间插值的数理统计方法，以法国科学家Krige的名字命名，是一种空间自协方差最优内插算法，实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计。算法认为数据的空间变化既不是完全随机的也不是完全变化

9、的，而是包括了三个部分：一是具有恒定均值的确定性部分；二是与空间变化有关的随机变量；三是与空间变化无关的随机噪声。因此运用该方法首先要分析数据的空间结构，提出相应的变异函数，然后才能在该模型基础上进行插值运算。它与反距离加权法的共同点在于都通过对已知样本点赋权重来计算未知点的值;所不同的是在赋权重时，反距离加权法只考虑已知点与未知点的距离，而克里金插值法不仅考虑距离还通过变异函数和结构分析来考虑已知点与未知点的空间方位关系，这样既反映了数据的空间结构变化又反映了变量的随机分布，还能描述误差信息，因此有着广泛的应用。克里金法常采用的变异函数有常数模型、指数模型、球状模型、高斯模型等，由于采用的模

10、型不同和优化时又引入的趋势、残差、协变量、协方差等因子，克里金法又产生了许多变种，这里主要以普通克里金法进行分析，其原理如下4,5:对于研究区域A，设在区域内采样的位置坐标为Xi，变量的观测值为Z(Xj),i=1,2,3,.,n，则预测点X0的估计值7(X0)可用这n个样本点的线性组合来表示：Z(x)=Xxz(x)0iii=1其中X.为已测量点Z(X)的权系数。上式中权系数的确定由克里金方程组决定，方程组可表示为：,X)+卩=y(X,X)ijj0/、(3)XX=1ii=1)为磁测量点的变异函数，卩为拉格朗日系数。变异函数的实质是一个协方差函数，是同一个变量在一定相隔距离上差值平方的期望。函数值

11、越小，说明此段距离上该变量的相关性越好。因此变异函数可表示为：y(X,X)=y(XX)=1Et(X)Z(X)】(4)ijij2ij而当是测点间的间距为h时有：y(h)=1Ez(X)Z(X,h)2(5)2式中，h通常被称为滞后矢量；Z(x)是位置X处的值；Z(X,h)为与位置X偏离量h处的实测值。同时，克里金法还给出了估值误差的方差:S=2乙Xy(XX)乙乙XXy(XX)(6)ii0ijiji=1i=1j=1为求估计误差方差的极小值，将拉格朗日系数引入有：S=2XXy(XX)XXXXy(XX)2y(XX1)TOC o 1-5 h zii0ijijii=1i=1j=1i=1(7)求解使估计估计误差

12、方差最小有：asas=o,=0a九a九12由此得到:y(x,x).11.y(x,x)11nX1y(x,x)01y(x,x).y(x,x)1X=y(x,x)n1nnn0n1.111通过对上面方程的求解就可得到插值点的估值。另外，克里金法还提供了一个检验其可靠性的指标，估计值与实测值之间的均方差a2，它通过计算权系数和拉格朗日系数来得到：a2=XXy(XX)+卩i0ii=1综上看出克里金插值法不但考虑估计点和已知点之间的距离和空间分布，还考虑的已知点与已知点之间的分布，因为相较其它插值法而言有一定的优越性。2.3径向基函数法径向基函数法(RBF,RadialBasisFunction)是一种精确的

13、插值方法，它有一个很大的优点是解决了系数矩阵奇异的问题。它主要适用于对大量点数据进行插值计算，从而获得平滑表面，且能预测比样点高或低的未知点的值，因而具有较高的预测精度，能较好地反应数据变化情况。其基本过程为：首先将插值函数构造成下面形式的空间点函数：TOC o 1-5 h zF(x)=为九Q(|x一x|)(1)iii二1式中F(x)是已知点(i=1,2,.,n)；九是待定系ii数；0是指定的基函数；|是欧氏范数。当F(x)满足插值条件F(x)=f时，有下述i线性方程组：F(x)=九(|xx|)=“iii=1fi,i=1,2,.,n(11)令A=(|xx.|)；i尢=(九，1，九)Tnf=(f

14、,/.)T则有A九=f(12)由式(12)解出待定系数九可以定出F(x)。i基函数的选择对径向基函数法的精度至关重要，常用的有逆二次曲面、二次曲面、自然三次样条、Gauss函数、薄板样条函数。其中，复二次函数在大地测量、地质及采矿、水文测量、地球物理等领域得到了较好的应用效果，在数据点数量不太大的情况下计算量也不算大。因此本文采用的基函数是复二次函数(Multiquadratic)函数12:F(h)=(h2+R2)(13)其中h表示待插值点(x,y)到第i点(x,y)的距ii离；R参数是平滑因子。3数据验证数据来源采用的是某单位在某海区开展科研课题时所采集。数据是去掉了地磁主磁场的地磁异常场，

15、另外涉及到数据保密性等原因还去掉了经纬度而以绝对距离表示。原始区域为10kmX10km；数据量为201X201，精度50米。为了验证插值方法的有效性，从中等间距的选取了21X21共计441个数据来作为“采样”数据。验证思路为使用“采样”数据进行插值处理得到与原始数据相同的数据量(201X201个)，然后通过图形和交叉验证指标数值两个方面对插值算法进行评价。31交叉验证空间插值法研究过程中常采用交叉验证法来评价插值算法的优劣程度。交叉验证的基本思路是重复从测点集合中去掉一个测点，用剩余测点集合利用需要评价的插值算法估算得到被删除点的值。然后用统计学的方法将测点上的估计值和实测值两组数据进行统计分

16、析，评价插值方法的精度吻；常用的交叉验证统计指标I0】有：误差最大/小值(Max/Min)最大值和最小值一定程度上表征了算法的稳定性，如果两者相差较大，说明算法误差波动范围大。误差均值(ME)ME:n；式中，g为真值与估计值ii之间的误差亍也称为残差；它总体概括表征了预测数据和实测数据相近程度，但是由于存在正负抵消问题，表征能力有限。平均绝对离差(AAD)AAD=1XM它是残差的绝对值均niei=1值；与均值不同的是它取了绝对值，因此能杜绝误差中正负值抵消的问题，且与均值一样对数据反应敏锐、意义明确，能较好的反映数据的离散程度。只因为取绝对值不利于计算而已。标准差(SD)SD=.,Z(gME)

17、2.；n；式中，标准差越小,i=1i说明越多的估计值接近于实测值，同时说明插值算法的误差比较稳定。运行时间(T)实验使用的数据量是较小的，但实际运用过程中往往需要处理较大的数据量，因此运行时间必须作为重要算法评价的重要指标。3.2验证结果原始数据及实验数据经插值后的等值线图如下：4.2584.2564.2544.2524.253.523.543.563.583.6东西距离/m(a)原始数据等值线图x1054.2483.5东西距离/mx105m儘距北南4.2584.2564.2544.2524.253.523.543.563.583.6东西距离/mx105(b)反距离加权法等值线图(c)克里金法

18、等值线图4.2584.2564.2544.2524.25(d)径向基函数法等值线图4243.53.523.543.563.58东西距离/m3.6105图3.1原始数据与各插值算法结果等值线图交叉验证各个指标的计算结果如下：表3.1插值方法交叉验证结果统计比较空间插值方法MaxMinMEAADSDT反距离加权插值83.2243-137.18531.110925.059236.08922.42克里金插值281.4521-44.8306-1.74694.27657.974627.3径向基函数插值25.9883-39.33671.12734.79137.885112.54结论从上述的等值线图来看，加权

19、反距离法虽然大体上反映出了区域的等值线走向，但是“牛眼”众多，与原始数据等值线图相去甚远；而克里金法和径向基函数法与原始数据结果都很接近，无法仅通过图形得出答案。而从交叉验证结果看则反映出三种插值方法的这样一些特点：一是三种方法在某一项指标上都有优于其它方法；二是基于不同的目的得到的最优算法结论不同；三是反映出算法间可以彼此互补，说明改进的空间很大。统计结果说明，总体来说插值算法效果基本满足要求，但是进一步分析可以对三种算法做出这样的评价：加权反距离法运算速度最快，非常适合于磁场的简单反演插值，可以在极短时间内得到区域磁场的大致特点；克里金法误差最小，但是相对径向基函数法来说极差较大，且运算时

20、间也较长，更适合于离线计算；径向基函数法误差相对较小，能很好的反映磁场结构，运算时间也适中，可以适应实时性要求不是特别高但又要保证一定插值精度的地磁图构建。通过该研究笔者认为算法还可以从以下方面进一步提咼效果：改变系数或者基函数等使之最大限度的符合数据的物理特性；加深数据插值前的分析，提高数据的完整性并多次验证找到最合适的模型参数。地磁匹配导航关键技术之一就是高密度高精度的地磁基准图构建。随着装备制造和材料工艺的进步以及算法研究的不断深入，地磁匹配导航将会取得更大的发展。参考文献：GoldenbergF.GeomagneticnavigationbeyondthemagneticcompassC/PositionLocationandNavigationSymposium.Washington:IEEE,2006:684-694.朱会义，刘述林，贾绍凤自然地理要素空间插值的几个问题J.地理研究，2004,23(4)：425-432.黄学功，房建成，刘刚，蒋颜玮地磁图制备方法及其有效性评估J.北京航空航天大学学报，2009,35(7)：891-894.张杨，康崇，吕金库，杨月芳，张悦区域地磁测量实验及水下载体对周围磁场的影响分析J.中国惯性技术学报，2011,19(2)：205-208.靳国栋，刘衍聪,牛文杰距离加权反比插值法和克里金插值法的比较J.长春工