量子力学第四版卷一曾谨言著习题集规范标准答案-补充

1、ik x kx时，2(x)有限，则000 x a x a得kak F cosk a kDek kEV0 EE E 一上两方程相比，得tg k a若令(7 )(7)(8)补充3.5)设粒子处于半壁高的势场中 TOC o 1-5 h z ,x 0V(x)V0,0 x a0,x a求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解：分区域写出 seq：2i(x) k i(x) 0, 2(x) k2 2(x) 0,12 2其中k2 V0E,1(x)AeBe方程的解为卜2(x)CeDe根据对波函数的有限性要求，当xC当 x 0时，i(x) 0,则 A B，、 一 i(x) F sink x,于是L2(

2、x) De kx ,在x a处，波函数及其一级导数连续,F sin k a De ka,k a ,ka则由(7)和(3),我们将得到两个方程:ctg2 V。22- a(10)式是以r 、；2 V。/ d2解：S.eq:2 r x a E2m dx对于束态(E 0),令 2 2mE/.2d 2 2mr1x a 0dx22a为半径的圆。对于束缚态来说,结合（3）、（8）式可知， 和 都大于零。（10）式表达的圆与曲线ctg在第一象限的交点可决定束缚态能级。当 r/2 ,即2 V。a /2 ,亦即时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量,位阱深度和宽度的一个限制。(11)Va22 2/8313）设

3、粒子在下列势阱中运动,V(x)0,0.r, a 0(2)是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。a积分 dx,0，得a跃变的条件(a )(a )2mr2-(a)在x a处，方程（4）化为(6)d dx2边条件为(0)0,（）0束缚态因此(x)shAeX,Xx a,x a.再根据Xa点（x）连续条件及（X）跃变条件（5）,分别得_ ash a Ae(a)(8)Ae a ch2mr /、 a (a)(9)由（8） （9）可得（以 a/ （a）乘以（9）式，利用（8）式）(10)2mra a a coth a 此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。当势阱出现第一条能级时，E利用叽

4、 ac0thaalam0thi1,（10）式化为2mra aa coth a 1因此至少存在一条束缚态能级的条件为2mra /1(11)纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为（x） 0 ,对x 0）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度L2/mr 。(12)条件（11 ）可改写为即要求无限高势垒离开势阱较远（a L/2）。才能保证 势阱中的束缚态能存在下去。显然，当(即 aL/2), a时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时coth a 1 ,式(10)给出2mr与势阱V(x) r由于 1coth2m(x)的结论完全相同。(10)化为2mra1

5、coth2mra .1 ,所以只当一2 1时，式(10)或(14)才有解。解出根a V 2mE/ ,即可求出能级7设一谐振子处于基态，求它的(x)2, p2 _. 一 八,一并验证恻不准关系:一 12-2_ 2 ,(解)(x)x x由对称性知道x2220, x x ,同理(p)之后，利用2p也由对称性知道p0,22 p p对谐振子而言，应先写出归一化波函数:2xAme 22mAm为了计算这个积分，利用厄米多项式不同阶间的递推式:Hm THm 12mHm 1(3)此式作为已知的，不证。将前式遍乘E ,重复用公式2Hm21 1 H2 2m1 Hm2m Hm 1(m 1) H m (m 1) H m

6、 2将此式代入（2）X23 1AmAm此式最后一式第一项。分成比例；可以简化Hm1Hm2(4)(eXHm2 14HmHm 22Hm2Hm第三项都和1 /(m a1)Hm 2Hm 2Hm(Hmm m 1 HmH m 2dx的正交化积分式成比例，都等于零。第二项和归一化积2Hm( )d1 , (ma1)【（m再计算，这可以利用波函数满足的微分方程式:d22m dx（m是振子质量）将此遍乘对积分2mmdX*m mdxm( )2 drimi dxdx 2m E mc ，1、2m (m -)(m1-)2m (mm (m2)2)T(m测不准关系中的不准度是:m( )2 1 2mi dxdx2mE12m (

7、m -)(m1、 c ，-)2m (mm (m2)2)(m测不准关系中的不准度是:x . ( x)2x2(m m2). ( P)2x p (m2)m=0, 而 x9 一维无限深势阱中求处于n(x)态的粒子的动量分布几率密度(P)2。(解)因为 n(x)2 . sina这可利用福利衰变换的一维公式Ipxn x是已知的，所以要求动量分布的几率密度，先要求动量波函数, an x sin dxa利用不定积分公式ax esin pxdxasin px2 ap cos px-2pax en(p)ip . n x sin acosa a epx e(马2y-ipa(1)ne-2n a 3ipa2（n奇数）i

8、pae2sin四2（n偶数）动量几率密度分别是 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark197 o Current Document 224n a2 pa（n奇数）（n偶数） - cos HYPERLINK l bookmark114 o Current Document 2222 22 HYPERLINK l bookmark116 o Current Document (a p n )2 HYPERLINK l bookmark224 o Current Document 224n a- 2 pa22222、2 sin 二 HYPERLINK l bookmar

9、k120 o Current Document (a p n )211设粒子处在对称的双方势阱中1 x bV（x） v 0 a x bV0 x a(1)在Vo情况下求粒子能级，并证明能级是双重简并。 (2)证明Vo取有限值情 况下，简并将消失。(解)本题的势场相对于原点 0来说是对称的，因此波函数具有字称。设总能量是E ,又设k V2mE/在区间(b ) (-a , a) (b ,)之中波函数都是零，在区间(a ,b),设波函数是:(x) Asin(ka a) 0考虑x=a, x=b二连续条件：(势阱外面0)(a) Asin(ka) 0-(b) Asin(kb) 0从这里得到，因而得ka n

10、, kbn1 ，因而得(2)ka n 或 kb nl , n,nl 是整数，满足边界条件的解是i(x)asink(x a)a sin k(x a)- - a sin k(x a)再考虑区间(b, a),设波函数：2(x) bsin( kx )(x a)xb在二点的连续条件得Bsin( ka ) 0,Bsin( kb ) 0得：ka p , kb p ，但p, p整数，因此区间(b, a)的波函数：厂 B sin k(x a)(6)2(x) Bsink(x a) p Bsin k(x a)(7)l(x)和2(x)之间要满足奇或偶宇称的要求，才能成为一组合理的解，若令1( x)2(x)得A=B,相

11、应的一组偶宇称解是：i(x) Asin k(x a)2 (x)Asin k(x a)同理令i( x)2(x)得到一组奇宇称解是-1(x)Asin k(x a)(9)-2(x) Asin k(x a)2k2i(x)和2(x)是线性不相关的解，但却有相同的波数 k,因而也有相同的能级 E .能级是分立2m的,这可以从边界条件式1(a) 0, 2(b) 0同时满足的要求看到，这两式推得ka n , kb n相减得 k(b a) (n n) nn是整数，可作为能级编号kn因此能级是n 2、一，En ()2是二度简并的2m b a注：在本题中因为左右两个势阱对称，粒子在两者中都能出现，和实际上是同一个函

12、数，只是的取值考察V0为有限值情形的解，先设Ei(b) Asin(kx) 0因而kb n1( x) Asin k(x b) n 或Asin k(x b)i(x)Asin k(x b)在(b, a)的对称区中的解设是2(x) Csin(kx )k2 m2E TOC o 1-5 h z 代入边界条件2( b)0,得2 (b) sin( kb ) 0, kb n因而 kb n ,2(x) Csink(x b) n C C sin k(x b)或 2(x) Y(2) C sin k(x b)和Vo情形相同,C=A，偶宇称解是l i(x) Asin k(x b)(3)33(x) Asin k(x b)奇

13、宇称解是l i(x) Asin k(x b)(4)-3(x) Asin k(x b)在区间(a,a)内的解 2(x)满足薛定谓方程d2 2m2 (Vo E) 0 dx但V。 E 0,令k12 2m(V0 E% ,知道这方程式的解可用实指数函数或双曲函数，计算法相类似.为计算方便直接设定(a,a)区间 偶宇称解2(x) Bchkix(5)奇宇称解 2 (x) Bshk1x(6)这两者都满足此区间的薛氏方程式.为确定能量量子化条件，可以建立在边界点x a处，波函数及其一阶导数的连续条件.使用和(5)有:l 2(a)1(a) 即：Bchk1a Asin k(a b)(7)、2 (a)1(a)即：k1

14、Bchk1a kAcosk(a b)(8)(7)和(8)相除得：kithkia kctgk(a b)将此式改用能量E的项来表示得到偶宇称态的能量量子化条件：.V。Eth ., 2m(V。E)a TOC o 1-5 h z TEctg V2mEa-b(9)注意若使用边界点x=-a上的连续条件，由于对称性得不到新解.其次求奇宇称的能量量子化条件，为此先写出x=a处连续条件，所用方程式是(4)和(6)l 2(a)i (a) 即：Bshkia Asin k(a b)(11)J 2 (a)1(a)即：k1Bchk1a kAcosk(a b)(12)相除得：k1cthk1a kctgk(a b)改写成能量

15、式子：Vo Ecth 2m(V E) a(13)v E ctg 2mE -，因此偶宇称波函数(3)和(5)与奇(9)和(13)是不同的方程式，它们所决定的能级是不相同的宇称波函数(4)和(6)不具有相同的能量E,它们是非简并的.(9) (13)中E的分立解要用图解法，与有限深势阱类似第二种情形是E V0 ,这种情形可不必作重复计算.因为k 2 2m(Vo E) 2m(E k12令2m(E V% k22,则 k1k2i代入(5) (6)得(a,a)区间的波函数：偶宇称解2(x) Bchk2ix奇宇称解2(x) Bshkzix(a,b)区间的解同于(1)式的i(x),(能量量子化条件是：a a b

16、偶宇称：.V0 Etg ,2m(E V0)，Ectg 2mE (16).、aa b奇宇称.V。 Ectg , 2m(E V0)、Ectg - 2mE(17)也是不同的方程式.奇偶宇称的波函数是非简并的。Bcosk2xBi sin k2xb, a)区间解同于(14)(15)2)式的 2(x)12设粒子在下述周期场V（x）中运动（见附图）求它的能带。（分EVo,EVo两种f#况）证明当b 0时,若保持mVb常数，上述周期场变成Dirac 梳:（解）E Vo情形为求能带先要决定各个区间中的波函数，按题意粒子的薛氏方程式只有二种，在势垒之内，如区间（b,0）;(a, a b) ; (2a b,2a2b

17、）。薛氏方程为d22mdx2(Vo E)d2dx2kl2O (但ki22m(Vo E)(1)它的解是实指数形式或双曲线函数形式，设区间（b,O）中的波函数是1 (x) Aekix Be k1x(2)在势垒外面的区间(a b, b) ; (0,a); (ab,2a b）。等，薛氏方程式是:d2dx2k2. 2(但k2mE它的解是虚指数函数或者三角函数，用任何一种都可以，下面用虚指数的：ikvikv区间(0,a)中 2(x) Ce De但势能相同的区间波函数未必相同，应当依周期场Bloch的定理来规定，在区间（a, a b）的势垒内，其波函数可根据 i(x)推出 2(x) eik(ab) i(x

18、a b) (4)但K是个未定参数根据(2)3(x) eik(a b)Aeki(x a b)Be k2(x a b)在0点(x0)处的连续条件是i(0)2(0)1i(0)2(0)k1(A B) ki(C D)现根据所设各个区波函数写出边界点上波函数及其一阶导数之连续条件在A点(xa)处的连续条件是ik(a b)2(a)3(a) ei(b)2(a)3(a)eik(ab)b)利用(5)二式，二式写成Ceika De ikaeik(a b)Aekibk2blBe (8)(9)ik(Ceika De ika) eik(a b)kAe k1bBek2b若从(6)(7)(5)(9)中消去各个系数，可能得到一

19、个关于波函数k,ki的约束条件，这个条件含有 E(因为k,ki都用E的项表示，可能是需要的能带条件，从(6)解C和D使其用A,B的项表示：C (i嘴(i谯 D (i罟(i嘴将此二式等号右方两式代入(8)(9)二式等号的左方部分，加以整理：B(i为今deika(i(i 为TeikaAeik (a b) kib3$，6(b(i geikaikakiiik(a b) kibik(a b) kibAeBe kk1ik(a b)kibik(a(coska -sin ka e 1 )A (coska sinka eb)kib ) b(sin ka k1 coska Leikk1k(a b) kib)A (

20、sin ka coskaki -ik(a 一 eb) kib)B 0要使这组关于A,B的方程式有非平凡解，系数的行列式应当等于零.kiik (a b) k2bcoska 一sin ka ek.kiik (a b) k2bcos ka 一 sin ka ekk1.kl ik(ab) k2bk1k ik (ab) k2b TOC o 1-5 h z sin ka cos kae 2, sin ka coskaekkkk经过一些原理简单的计算，最后，前述条件简化成为下式I2 k2 cos K (a b) coskachk|b jsin kachk1b此式中的参数 K理应是个实数，因cosK(a b)

21、的值只能局限在值域 cosK(a b) ( 1,1)之内，这个条件就决定能带，将前式中ki,k2换成E的项,则能带条件是：a b1 cos 2mE ?ch. 2m(V0 E)Vo 2E2、E(Voa b一 sin 2mE sh 2mM E) 1凡能落在此区间的能量都是可能运动的能量其次再考虑E Vo的情形，这类似于自由运动k；2mM E) 2m(E V。)则k1k2i,代入(10)得到波函数约束条件cosK(a b) coskacosk2bk222kk2ik2sin ka?i sin k2b,k2 k22coskacosk2b -sin kasin k2b2kk2能带条件是1 cosa b?c

22、os . 2m(E Vo)2E Vo2JE Vo)Ea bsin , 2mE sin , 2m(E Vo)1前述的周期性矩形势垒从原理讲是能迫近于形周期垒的，为此仅需保持矩形面积不变令b 0则V。.但形势垒是相当第一种情形，即EVo的为此可近似地设 V。EVo式可以加以变形cos，2mE a?ch Y2mV0 b ； J sin M2mE a sh%；2mVo 卫(势垒强度)为有限量在此式中，取b o ,Vo的极限，但在趋向极限过程中，保持 吗b 又当b o时，可令shsb sb, chsb 1cos K(a b) cos Ka ch2mVo 一 ch 2 b 1(14)式代成cosKacos

23、V(x)i t2mE2mEV0 cosbx2 p2mG(p, p)VoJ-sin,2mE2mE:12一 a后N_Lcro5oft 公苴3.0G(p, p) (P,t)dppi(P P) xe cosbxdxx2 p2m d2 dx2(P)，Eipx e1 2mE(P b )Vo cosbxipxe dx(P bE (P)G(p, p)(P P2mE2-ipx edx2mV0cosbxdx 0(p)?2m p2(P)(P P bP Pi b1 ix)2(e,P Pi b i xe )dx()2eixdx(P)dp E(P).即 cosKcoska sin kak此式是间隔等于a,势垒强度的梳状D

24、irac周期势垒的能带公式.16在p表象中，求解均匀 V (x) =-Fx中粒子的能量本征函数。(设F0 )(解)建立动量表象中的一维薛定谓方程式。根据第二章第15题以及本章第10题的方法，薛定谓方程式用一维动量p作自变量时，形式是：(定态)2V ( i) (p) E (p)2mp(1)在势能这一项上，将 V看作一个算符，V中原来含有的X应更换成i然后将这样构成的势能算符作用到动 p能波函数(p)上，因而在本题情形：2(p)iF E (p)2mp此式容易分离变量：2.2iFd ( E) dp 一 (p ) dp 2m2m iF iF积分得：Inp一型常数6m iF iFp2 Epc5下积分常数

25、C用动量波函数归一化决定：*/、dp (E E)p(2)(3)(4)这种计算是所谓“ 函数归一化”。原因是波函数(3)实际上是平面波包，当 p时(p)不趋近于0,所以(3)实际上是不能归一化的，而只能令几率积分等于，这样* Z、(p, E)/*(E E/)(p, E ) dp C C e iF dpp*C C(2C*C(2i(E/ E) doF) e F 型2FF)(EE/)因而(1965 )本题可参看 Davydov : Quantum Mechanics17粒子处在 势阱V(x)Vo (x) (Vo0)中，用动量表象中的薛定渭方程式，求解其束缚态的能量本征值及其相应的本征函数。(解)(甲法

26、):薛定谓方程式的确定，与第二章习题15、本章习题10的方法类似，但是不能简单地用V (x) V ( i-)P来得到结果，因为本题的情形V (x)Vo (x)Vo( i 一)P这种算符运用不便，可以用第二章15题方法；写下坐标表象薛氏方程式(定态)22(1)厂 V (x)E2m x2遍乘以ipx/,再对坐标积分:ipx/ exd22-dx dxipx/Vx .2(x)(x) dxEipx/e2 xxx)dx等号左方第二项被积函数中的(x)再用福里哀变换使成为p的积分。左方第一项和右方一项按逆变换变成动量波函数的项:2p2m(p)1ex2ipx/./ /ip x/ep/(p/)dp/dx V (

27、x)E (p)2即：22m(p)i (p/ p) x/ex/-V (x) dx ( p ) dpE (p)利用函数的变换性质f (x)x(x x/) dx f (x),有i (p，exp)x/ V (x)dxVoxVoeii ( p/ p)e(p/ p) x/前式中等号左方的积分x/(x) dxVoVo2 p,(p/) dp/ 常数 A动量表象的薛氏方程式成为:22m(p) A E (x)(4)不需积分就得到动量表象的波函数:/ 、 2mA(p)-22mE p(5)首先确定能量的本征值 E （即允许的值），在本题中因为没有寻常的势阱问题中的边界条件可以利用，这只能依靠积分式（3）来解决，将式（

28、5）代入（3）,得:消去常数Vo2mA ,-2dp2 p 2mE p2 pA,并注意到在束缚态情形mVodp2mE/mVo2pE/0,前一式成为:(6)tg.2mE/2mE/m Vo2E/E, 警,EA可以将波函数（2 ,、(p) dp 1p利用不定积分公式5)mVo22 2通过归一化计算来定2dp(2mA) /2!p(2mE/ p2)2(8)1 i Pga adp7222p(a p )，pC 2222a a p从（8）式求得:A (- )2(2mEz)42跳）3（乙法）如果我们不要求首先得到动量表象薛定谓方程式，再根据它计算能量本征函数;求得动量表象的能量本征函数，则可以先求得同一问题的坐标

29、表象本征函数，这个函数是:而是用任何方法来（参看课本 P.72.48但Uo2mV02-利用从坐标动量的福利哀变换得:(p)Uoipx/eipx/(x) dxUox/2 ,dxipx/ Uox/2、edx)0 xUoUoUomVo)2mVo)2（io）式与（5）式形式一样，注意（7）和（9）,知道两种计算结果一致。18设粒子在一维无限高势垒中运动，试求作用在势垒壁上的平均力。（解）与经典力学中的力相对应，量子力学力是一个观察（三维）或 一V （x）表示，在某位置x指空间所有范围内的平均值（假定空间各点上受力）r上的力由该点单值用算符 V （r）决定，它的平均值*( r, t)V (r)(r, t

30、) d2r*/、V(x, t) x(x, t) dx在如图示的对称有限深势垒的情形，因为势垒内部势能无变化，外部也无变化，故只有这势能突变点 （-）（一）处受力，该两点的力为无限大:lLm0Vo 0此外，又发现在包括a .、 a-（或一）点在内的小范围中力的积分是有限值:FdxVdx xVoV0a2V dx x因此在该二点上的力满足函数的三个主要性质，所以每一点上的力表示为一个函数F? (x) Vo (x可以分别计算一壁的平均力，在.1 a、Vo (x )2x 处的平均力:2a2一 * .F(x) Voa x 2(x(2)这里（x）是归一化的一维有限深度 （Vo）势垒中粒子的波函数。 象附图那

31、样取坐标， 并假设 k J2mE/k ,2m (Vo-E) /并注意(x)具有奇或偶的宇称。(1) 奇宇称：可设I、n、出三个区间的波函数依次是:k/xkAe , Bsin kx, Ae在点x 一处的连续条件是 2Bsin阻2Aek /a,Bk/ae 2 A/sin 2写出归一化条件:a2(2k/x ,e dxk/ae2 kasin 一2a22-2sin kxdxa22k/x , dx 1得A2k/aea2 ka11 , kacse / ctg22k/k 2B2a 1八-?sin2 k/12 ka 1 , ka kasin cos -现在根据这个结果代入平均力公式(2),就求得a,一壁上的平均

32、力，至于式中的波函数2(x),则用 Bsin kx.k/x , 一. . .或Ae 都是等效的，我们有:a222F V0B sin kxa2(x一)dx V0B2 sin 22 ka2Voa 2 ka11 , kacse / ctg -22 k/ k 2(5)这个结果还可以根据有限深势垒的能量量子化条件加以简化。后一个条件是根据在垒壁上波函数及其一阶导数连续条件得到的，在奇宇称情形有:,/kak kctg (6)见(6)代入式(5)得到令VoFa 12 k722m (VoE)就得到一维无限高势垒上右壁(x2Ea(2) 偶宇称：在有限深势阱的情形,x 一二个区间中的波函数是:2,/, /k xk xAe , B coskx, Ae a在x 处的波函数连续条件:2Bcoska2k/a/2Ae(8)归一化条件:a1 2(2k/xdxA22k/a e2 ka cos 2k/aea22 ,cos kxdxa22k/xdxa 2 ka sec 一2211 ka7 -tg k， k 2B21/cos k/又根据点上波函数及其一阶导数的连续条件，得能量量子化条件k， ktg 。平均力：FVoB2cos2 kxa22 ka(x