结构力学-悬索结构

1、第十五章 悬索计算15-1 概述15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解15-5 悬索体系的计算15-1 概 述悬索：悬索结构中的主要承重构件，一般由高强度钢材制成。 悬索受力特性： 只产生轴向拉力。悬索的优点：受力合理，能充分利用高强度钢材的优点； 结构自重轻； 较经济地跨越很大的跨度。悬索的特征：柔性结构，几何形状随所受荷载不同而变化； 位移与外荷载的关系是非线性的； 按变形后的几何形状和尺寸建立平衡方程。悬索AB在竖向集中荷载作用的计算简图如图a所示。15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算图b为相应简支梁。

2、 将索端张力沿竖向和弦AB方向分解可得： 可求得索端张力的水平与竖向分量为：(a)15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算 即给定了悬索中任一点K到弦AB的竖直距离fK，索中张力的水平分量可由下式确定(b)为相应简支梁K界面的弯矩。 FH在各索段中为常数，各索段的张力可由各集中力作用点的平衡方程求得，并可确定各索段的几何位置。例15-1 求图a所示悬索在集中荷载作用下各索端张力及几何位置。15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算解：由图a可得悬索E点到弦 AB的竖直距离为作相应简支梁图b。计算得由式(b)得由式(a)得 15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算 由端点（A或B）开始，依次考虑各结点处

3、的平衡条件，可求出以分量表示的各索段张力及几何位置，如图c。 15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算1. 平衡微分方程 悬索在分布荷载作用下的几何形状是曲线，如图a所示。索曲线 索两端及索中任一点张力的水平分量FH为常量。 取任一微段索dx为隔离体，其受力如图b。 由Fy=0可得 (c)单根悬索基本平衡微分方程 15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算2. 常见分布荷载作用下平衡微分方程的解 (1) 沿跨度方向均布荷载q作用，如图。由式(c)可得 积分两次并由边界条件可得 给定悬索跨中垂度f为控制值 (d)令 由式(d)可得 代入式(d)可得 二次抛物线方程15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算

4、弦AB的直线方程 以弦AB为基线的悬索曲线方程 当AB为水平线时，c=0，有 当索曲线方程确定后，索中各点的张力为 当索较平坦时，如f/l0.1，可近似为 15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算(2) 沿索长度均布荷载q作用，如图。 将q转化为沿跨度方向的等效均布荷载qy，由图得代入式(c)得 积分并根据边界条件可得 (e)式中15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算当AB位于水平方向时，c=0有 可得 (f)若给定跨中垂度f，则有 可算出FH。 式(e)与式 (f)表示的曲线为悬链线。曲线比较平坦时，可以用较简单的抛物线代替悬链线；把沿索长度的均布荷载折算成沿跨度的均布荷载进行计算。 15-3

5、 分布荷载作用下的单根悬索计算3. 任意分布荷载作用下平衡微分方程的解梁比拟法 悬索微分方程式(c) 与梁的平衡微分方程形式完全相同 梁的平衡微分方程若两者有相同的边界条件，可建立关系式 可得 对于两端支座位于同一水平线的悬索，其两端边界条件与相应简支梁弯矩图相同。 (g)15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算如图a、b 悬索ABx=0 时，y=0 x=l 时，y=0相应简支梁ABx=0 时，M=0 x=l 时，M=015-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 图a为两端支座高差为c的悬索，在相应简支梁的一端加上集中力偶矩FHc，y与M得到相同的边界条件，即 悬索ABx=0 时，y=0 x =l

6、时，y=c相应简支梁ABx=0 时，M=0 x=l 时，M=FHc15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 任意分布荷载作用下悬索曲线的形状与相应简支梁弯矩图的形状完全相同。两端等高的悬索曲线：由式(g)直接计算。两端支座高差为c的悬索曲线：计算式为(h) 式(h)的第二项为悬索支座连线AB的竖标，第一项为以弦AB为基线的悬索曲线竖标y1(x)，即由式(g)、(h)可得如果用两支座连线作为悬索线竖向坐标的基线，无论两支座等高与否，悬索曲线的形状与相应简支梁弯矩图的形状相似，任意点竖标之比为常数FH。15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算4. 悬索长度的计算 如图，由悬索AB中取一微分单元ds，有

7、 积分可得悬索AB的长度为将按级数展开，取两项时取三项时 (i)(j)15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算例15-2 试求图式形状为抛物线的悬索长度。解：设抛物线悬索方程为代入式(i)积分得悬索长度为代入式(h)积分得悬索长度为当两支座等高时垂度变化值大于悬索长度变化值15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解1. 悬索的变形协调方程悬索实际问题的一般模式：已知初始状态：荷载q0，位置y0，内力FH0；求解最终状态：荷载增量q，悬索位置y，内力FH。悬索的平衡方程中有两个未知量：y，FH要补充一个方程：变形协调方程内力与位移的关系15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解图示悬索的初

8、始位置为AB，最终位置为AB。由几何关系得15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解略去微小量略去微小量将上式根号按级数展开取两项可得整根悬索总伸长量15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解uR-右端点支座B水平位移uL-左端点支座A水平位移将y=y0+v代入上式得悬索伸长是由悬索内力增量和温度变化引起的，即略去微小量15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解整理得(k)(m)或变形协调方程2. 单根悬索初态终态问题的求解已知悬索初始状态：荷载q0，曲线形状函数y0，初始内力FH0M0(x)q0作用下相应简支梁的弯矩， c0悬索两端支座高差。15-4 悬索的变形协调方程及初态终态

9、问题求解悬索最终状态：荷载变为q0+q，曲线形状函数y与悬索内力 FH必须满足变形协调条件和终态的平衡条件有M (x)q作用下相应简支梁的弯矩， c 终止状态悬索两端支座高差。15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解整理可得可解出FH式中 如支座位移与待定的索内力有关时，需与支承结构的刚度方程联立求解；或用试算法确定支座位移。FS0-初始状态相应简支梁的剪力FS -最终状态相应简支梁的剪力15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解均布荷载作用下，小垂度抛物线悬索内力的计算初始状态的长度最终状态的长度长度变化值为变形协调方程为平衡方程为整理得迭代法计算(n)15-4 悬索的变形协调方程

10、及初态终态问题求解例15-2 现有承受均布荷载抛物线的悬索，已知A=67.4mm2, E=166.6GPa，l=8m，q0=0.4kN/m，FH0=20kN，q=1kN/m. 试求悬索最终状态水平张力FH及跨中垂度增量。解：将已知数据代入式(n)整理得写成迭代形式迭代计算得初始跨中垂度最终跨中垂度跨中垂度增量15-5 悬索体系的计算悬索体系由多根悬索组成，用位移法计算。基本未知量：悬索结点位移计算单元： 结点间的索段1. 位移法的基本假定(1) 悬索的应力与应变保持线性关系(2) 悬索仅承受结点集中荷载作用， 相邻结点间的索段均为直线。15-5 悬索体系的计算2. 位移法的典型方程 图(a)表

11、示空间悬索体系一典型结点的初始状态，汇交于此结点的悬索根数为n。(a)(b)设j为任一索段的远端结点如图(b)，当结点i发生位移ui、vi、wi时结点j由初始位置 j0(xj , yj , wj)移至位置 j(xj+uj , yj+vj , zj+wj)。15-5 悬索体系的计算 初始状态结点上无外荷载作用，结点i的平衡条件为初始状态索段ij长度为 当结点承受荷载时，结点i的平衡条件为最终状态索段ij长度为15-5 悬索体系的计算整理后可得( i=1, 2, 3, , N )典型方程15-5 悬索体系的计算典型方程写成矩阵形式F结点荷载列阵。温度变化的影响计入这一项；R未知位移的非线性项，列矩

12、阵；K体系的线性工作部分的刚度矩阵；未知结点位移分量的列矩阵。典型方程的求解步骤(1) 选择适当的荷载分级数。用一正整数m除F；(2) 将F/m荷载加于悬索体系。(3) 应用迭代法求解。收敛标准为(4) 重复(2)、(3) 运算，直到全部荷载加到悬索体系上，求出全部结点位移分量。15-5 悬索体系的计算例15-4 图(a)所示平面悬索横截面积A=548mm2，E=154GPa，重47.03N/m，用位移法计算时将该索分为10段，索自重移到各结点上，初始状态设定垂跨比为1/10，已知各索段水平张力FH0=17.78kN。求在结点4上悬挂35.56kN荷载时，各结点的位移分量和各索段的内力。15-5 悬索体系的计算解：平面索系结点数为9，位移分量数为18，刚度矩阵的 阶数为1818。 荷