第10讲空间中平行关系的判定与性质

1、第24讲 空间中平行关系的判定与性质一.基础知识整合1.线面平行的判定定理文字语百图形语百ra / b a a、b 雁若平囿外一条直线与此平囿内的一条直 线平行,则该直线与平面平行七/ a2.面面平行的判定定理文子语百图形语百符号语后如果一个平囿内有两条相父直线 都平田另一个平囿,则两平囿平 行a 3, b 3a a, baan b= Aa/ B, b/_B，? a/ 3r3.线面平行的性质定理文子语百符号语后图形语百如果一条直线与一个平囿平行，那 么过该直线的任意一个平面与已 知平面的交线与该直线平行a / aa BaCl 片 bj?a / b4.面面平行的性质定理文子语百符号语后图形语百如

2、果两个平行平面同时与第三个a/ 3限a= a们3= b? a / b平面相交，那么它们的交线平行.典例精析题型一：线面平行的判定例1:如图，四边形 ABCD, ADEF都是正方形，M C BD , NC AE,且BM = AN.求证：MN/平面CED.证明：如图，连接 AM并延长交CD于点G,连接GE,因为AB心D,所以AMMGBM 一、， AM方.所以MBMAM BM -，即 定=品.又因为 BD = AEMD+BMAG BD且AN= BM ,所以瞿=AN.所以MN /GE.又GEAG AE平面CED, MN2平面 CED,所以MN /平面CED.变式迁移1:在四棱锥P-ABCD中，四边形

3、ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC 的中点，求证：MN /平面PAD.1证明：取PD中点F,连接AF、NF、NM；M、N分别为AB、PC的中点，NF触-CD, AM山 1一一 ，_ 触CD,AM触NF.，四边形AMNF为平行四边形，MN AF .又AF?平面PAD, MN?平面PAD,，MN/平面PAD.题型二：面面平行的判定例2:已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形.点分别在 PA、BD、PD 上，且 PM ： MA = BN ： ND= PQ ： QD.求证：平面MNQ/平面PBC.BP平面PBC, NQPBC,，NQ/平面PBC.又底面ABCD为平行四边形,. BC

4、 /AD, . .MQ /BC.,.BC平面PBC, MQ1c 户平面PBC, .MQ /平面PBC.证明： PM MA= BN ND = PQ QD,MIQ /AD, NQ BP.又MQ A NQ = Q,根据平面与平面平行的判定定理， 得平面MNQ /平面PBC.变式训练2:如图在正方体 ABCD AiBiCiDi中，M、N、P分别是CC1、 B1C1、C1D1 的中点.求证：平面MNP /平面A1BD.证明：如图所示，连接 B1D1, .P N分别是D1C1、B1C1的中点，2 乂ZP陷平面A，面.PN /B1D1.又 B1D1/BD,PN BD,又 PN平面 ABD,BD 平面 ABD

5、,.PN /平面A1BD,同理可得 MN /平面A1BD,又tMN n PN = N ,平面PMN/平面ABD.题型三：平行关系判定的综合应用例3:如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC上的点，问：当点Q在什么位置时，平面 DBQ/平面PAO?解：Q为CC1的中点时，平面 DBQ/平面PAO.证明如下：设 Q为CC1则PD触QC,连接PQ,则由PQ触DC触AB,可知四边形 ABQP是平行四边形，.AP /BQ.平面面c冲面.APi=平面 DiBQ, BQ 平面 DiBQ,AP/平面 DiBQ.O、P分别为BD、DDi的中点，OP/BDi

6、.又OP平面 DiBQ, BDi 平面 DiBQ ,，OP/平面 DiBQ.又APP PO=P, 平面 DiBQ/平面PAO,当点Q为CCi的中点时，平面 DiBQ/平面PAO.D变式训练3:如图，正三棱柱 ABC AiBiCi的底面边长为2,点E, F分别是棱CC1, BB1上的点，点M是线段AC上的点，EC=2FB=2.则当点M在什么位置时，MB /平面AEF ?试给出证明.解：当M为AC中点时,MB /平面AEF.证明：如图，当 M为AC中点时，过 M作MG CE,交AE于G,连接GF.一 , 一 1. M为 AC中点，M(MCE又 FB/ CE EC= 2FB，M锹 FB .四边形 B

7、FGM一铲。而m而咐1工为平行四边形，GF/ MB又GF平面AEF MB 平面AEF所以MB/平 面AEF题型四：线面平行性质的应用例4:如图所示,在DM上取一点证明：如图所示,四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点,G,过G和AP作平面交平面 BDM于GH,求证：AP / GH.连接AC,交BD于O,连接MO.二四边形ABCD是平行四边形,. O为AC中点，又.M为PC中点，AP/OM.又. ApC 平面BDM ,OM 平面BDM ,. AP / 平面BDM ,又AP 平面 APGH ,且平面 APGH n 平面 BDM =GH ,AP GH.变式训练4:如图所

8、示，已知异面直线AB, CD都平行于平面 “ 且AB, CD在的两侧，若AC,BD与a分别交于M,证明：如图所示,连接 AD交平面aACD、平面 ABDDQ DN AMBNAQ NB MC-ND.于Q,与a的交线.CD /a, ABAM BNN两求证：MC=ND.例5:已知：平面 a/平面题型五：面面平行性质的应用初平面丫，两条异面直线I、m分别与平面a、3、丫相交于点A、B、C和点D、E、F.求证:AB DEBC EF-证明：如图，连接DC,设DC与平面3相交于点G,则平面ACD与平面“、3分别相交于 直线AD、BG.平面DCF与平面3、丫分别相交于直线 GE、CF.“DG DE内有 GC=

9、EF.AB DG .因为a/3,初% 所以BG/AD, GEQF.于是在4ADC内有二=有不，在4DCFBC GCAB DE-=BC EF.变式训练5:如图所示，设 AB, CD为夹在两个平行平面 ”，3之间的线段, 且直线AB, CD为异面直线，M, P分别为AB, CD的中点.求证：直线 MP /平面3 证明：过点A作AE心D交平面 3于E,连接DE, BE, .AE/CD , . AE CD确定一个平面，设为%则aCl尸AC, 3rlkDE .由于a/&AC DE (面面平行的性质定理)WAE中点N,连接M、P 分别为 AB、CD 的中点，NP/DE, MN BE.又 NpC 氏 DEB

10、E 3,，NP/& MN 俯又 NPAMN=N, 平面 MNP/3 .MP . MP /限 题型六：平行关系性质的综合应用例6:如图，直线 CD、AB分别平行于平面 EFGH , E、F、G、H分别在AC、AD、BD、BC 上，且 CD=a, AB = b, CD LAB.(1)求证：四边形 EFGH是矩形；(2)点E在AC上的什么位置时，四边形 EFGH的面积最大？解：(1)因为 CD/平面EFGH ,所以 CDEF, CD /GH ,所以 GH EF .同理EHGF,所以四边形 EFGH为平行四边形.又因为 AB1CD,所以HEJEF.所以四边形 EFGH是矩形.(2)设CE=x, AC=

11、1,因为HE AB,HE CE .所以所以 HE = xAB= xb.向理，EF= (1 x)DC = (1 x)a.所以 S 矩形 efgh=HEEF =AB CAx(1-x)ab=-(x- 2)2+：ab,当且仅当x=；时，S矩形efgh最大，即当E为AC中点时，四边形 EFGH的面积最大.变式训练6:如图所示，已知 P是？ABCD所在平 面外一点，M, N分别是 AB, PC的中点，平面 PAD n平面 PBC=l.(1)求证:l/BC;(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.证明：(1) .AD/BC, ADW=平面 PBC, BC 平面 PBC,. AD/平面 PBC. 又平

12、面 PBCn 平面 RAD = l,，l/AD/BC.(2)平行.证明如下：设 Q是CD的中点，连接 NQ, MQ, /M, N分别是AB, PC的中点，MQ /AD, NQ /PD.而 MQ n NQ = Q , ADA PD = D, 平面 MNQ/平面PAD. .MN 平面 MNQ ,，MN/平面PAD.三.方法规律总结.直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线与平面 平行，先证直线与直线平行.即由立体向平面转化，由高维向低维转化.证明面面平行时，要按“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的

13、证明顺序进行.当题目中有多个平面平行时，要注意平行平面的传递性.两平面平行的判定定理的条件中直线 相交很重要，而且在解题中常常被忽视.平行、4.线线线面平面平行化关系行、面的转B选项，我们将异面直平面与平面平行的性质四.课后练习作业一、选择题1.下列说法正确的是（B ）A.平行于同一个平面的两条直线平行B.同时与两异面直线平行的平面有无数多个C.如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行D,直线l不在平面a内，则l/ a【解析】：A选项，若两直线相交且同时与此平面平行也是可以的；线都平移到空间中的某一点相交，则它们确定一个平面，与此平面平行的平面平行于这两条异面直线，显然这样的

14、平面有无穷多个；C、D选项，若直线与平面相交，则直线有两点在平面外，直线也不在平面内，但l与a不平行.2.若M,N分别是 ABC边AB,AC的中点，MN与过直线BC的平面3的位置关系是（C ）A. MN / 3B. MN 与 3 相交或 MN 3C. MN / 3或 MN 3 D. MN / 3或 MN 与 3相交或 MN 3【解析】：当平面3与平面ABC重合时，有MN 3;当平面3与平面ABC不重合时，则3n平面ABC=BC.,.M, N分别为 AB, AC的中点,MN BC.又 MN 8 BC .MN /限综上有.若all 3, a %下列三个说法中正确的是（D ）a与3内所有直线平行；a

15、与3内的无数条直线平行； a与3无公共点.A. B. C. D.【解析】a与平面3内的直线可能平行，也可能异面，但与3无公共点，故选B.下列说法正确的个数为（B ）两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行； 两平行直线被两平行平面截得的线段相等.A. 1B . 2C. 3D . 4【解析】 易知正确，不正确，直线可能在平面内，故不正确.如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（A ）A.平行 B.相交 C. AC在此平面内 D.平行或相交【

16、解析】如图：E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.、F分别是AB, BC的中点，EFAC.又 EF 平面 EFG,且 AC平面 EFG .AC/平面EFG.在正方体 ABCD AiBiCiDi中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是（A ）A,平面AiBCi和平面ACDiB,平面BDCi和平面BiDiCC.平面 BiDiD和平面 BDAi D,平面 ADCi和平面 ADC【解析】：如图，AC /Ai CiADi /BCiACAADi=A在截面AiBCi和截面ADiC中，AiCi 门 BCi = C3.如图所示，在正方体BCCiBi的位置关系是（A ）A,平行B.相交C.在平面内D.相交或平行平

17、面 add iAi /平此CCiBi【解析】? MD /平面BCCiBi.DM 平面 ADD iAi.已知平面 all 3, P是3外一点，过点P的直线m与a、3分别交于点A、C,过点P的直线n与a、3分别交于点 B、D,且PA= 6, AC =9, PD=8,则BD的长为（B ）24-A. i6 B. 24 或gC. i4 D. 2。【解析】 第种情况，当 P点在“、3的同侧时，设 BD = x,则PB=8-x,PA PB 24PD PBAC = BD.BD = 5.第种情况，当 P点在a, 3中间时，设PB = x.PC=PA. x= 6Y8 =i6, .-.BD = 24.3.若不在同一

18、直线上的三点A、b、C到平面a的距离相等，且 A?%则（A. ”平面abcC. ABC中至多有两边平行于D. ABC中只可能有一边与 a相交【解析】若三点在平面 a的同侧，则a/平面ABC,有三边平行于 a若一点在平bb. abc中至少有一边平行于.Pi小面a的一侧，另两点在平面 a的另一侧，则有两边与平面 a相交，有一边平行%故BC中至少有一边平行于5.如图，在空间四边形 ABCD中,=i：4,又H、G分另1J为BC、CD的中点，则（B ）E、F分别为边 AB、AD上的点，且 AE : EB= AF : FDBD /平面EFGH ,且四边形 EFGH是矩形B.EF /平面BCD ,且四边形

19、EFGH是梯形C.HG /平面ABD,且四边形 EFGH是菱形D.EH /平面ADC,且四边形 EFGH是梯形i【解析】：.AE ：EB=AF FD = I 4, . EF BD且EF=BD.又H、G分别为BC、CD的中点, 5iHG 触 2BD.EF/HG 且 EFWHG.四边形 EFGH 为梯形.BD 平面 BCD 且 EF 平面 BCD. EF /平面BCD.二、填空题6.如图所示，在空间四边形ABCD中，MCAB, NCAD,若罂=黑，则MN与平面BDCMB ND的位置关系是AM AN【斛析】：加=ND, .二/BD.又MN平面 BDC, BD 平面 BDC ,. MN /平面BDC.

20、【答案】平行7.已知a、b、C为三条不重合的直线，a, & 丫为三个不重合平面，下面三个命题:b/ c? a / b; 丫/ a,3/ o? 丫/ 3;a/ % a/ -? a / 其中正确命题的序a可能在则平面 ABC【解析】由平行公理，知正确；由平面平行的传递性知正确；不正确，因为”内.【答案】8.在空间四边形 PABC中，Ai、Bi、Ci分别是 PBC、APCA APAB的重心, 与平面AiBiCi的位置关系是.【解析】如图，连接PCi, PAi,并延长分别交 AB, BC于E、F两点，由于Ci、Ai分别为PCi PAi一 .重心.,E、F分别为AB、BC的中点，连接EF.又交二第二2”

21、.又一EF为9BC边 AC 上的中位线，EF/AC,AC/AiCi,又 A1C1 平面 ABC, AC 平面 ABC,AiCi /平面 ABC,同理 AiBi /平面 ABC, AiBMAiCi = Ai,平面 AiBiCi /平面 ABC.【答案】平行.空间四边形 ABCD中，对角线 AC=BD=4, E是AB中点，过E与AC、BD都平行的截 面EFGH分别与BC、CD、DA交于F、G、H,则四边形 EFGH的周长【解析】AC/面EFGH, AC 面 ABC,面 ABC n 面 EFGH = EF ,AC/ii -EF. .E 为 AB 中点，下 为 BC 中点，. .EF = 3AC=2.

22、同理 HG = 2AC=2,iEH = FG = 2BD = 2.，四边形EFGH的周长为8.【答案】8ii.如图，E, F, G, H分别是正方体ABCDAiBiCiDi 的棱 BC, CC，CiDi,证明:取BiDi中点O,连接GO,iOB,勿证 OG /Bi Ci,且 OG = 2BiCi,BE.如图，平面“/平面 氏4ABC与AA B C分别在 a、3内，线段AA 3一一 一BB、CC 都交于点 O,点 O 在 “、3之间，若 Saabc =2 , OA ： OA = 3 ：2,则 A B C的面积为.【解析】根据题意有S/Xbc=23.-.AA， BB相交，直线AA、BB确定一个平面

23、 ABA B,二,平面“/平面应.AB/A，B,易得ABOs4. 一一 AB OA 3A B O,评BCs/A，B C,由得a， =f 由得 A B OA 2三三=（3）2,s小乎.【答案】呼Sza b c 299三、解答题.在三棱柱 ABCA B C 中，点E,D分别是B C 与BC的中点.求 证：平面A EB/平面ADC.证明：连接DE,二巳 D分别是B C 与BC的中点， DE触AA ,AA ED是平行四边形，AE/AD.A E 平面 ADC , AD 平面 ADC .A E/平面 ADC .又 BE 心C , BE平面 ADC , DC 平面 ADC ,，BE/平面 ADC , .A

24、E 平面 A EB,BE 平面 A EB, A EABE=E,.平面 A EB/平面 ADC .如图，在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，底面是梯形，AB / CD , CD = 2AB, P、Q分别是CCi、CiDi的中点，求证：面 ADiC/面BPQ.1一 i证明：.DiQ = 2DC, AB触&CD,DiQ触AB.二.四边形DiQBA为平行四边形， . DiA 触 QB. .Q、P 分别为 DiCi、CiC 的中点， QP 心iC.DiCnDiA=Di, PQAQB=Q.面 ADiC /面BPQ.AA勺中点，求证: (i)GE/平面 BBiDiD; (2)平面 BDF /平面 BiDiH.1/BiCi,且 BE = BiCi,OG/BE 且 OG = BE,四边形 BEGO 为平行四边形，.OB/GE. .OB平面BDD1B1, GE平面BDD1B1,GE/平面BDDiBi.(2)由正方体性质得B1D1 /BD, .BiDi平面 BDF , BD 平面 BDF , .-.BiDi /WBDF ,连接HB, DiF,易证 HBFDi是平行四边形，得 HD i/BF.H