第二章概率论解析答案习题解答

1、第二章随机变量及其分布I教学根本要求1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系；2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质；3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用；4、会求简单随机变量函数的分布.II习题解答A组1、检查两个产品，用T表示合格品，F表示不合格品，那么样本空间中的四个样本点为i(F,F)、2(T,F)、3(F,T)、4(T,T)以X表示两个产品中的合格品数.(1)写出X与样本点之间的对应关系；(2)假设此产品的合格品率为p,求p(X1)? TOC o 1-5

2、h z 解：(1)0、21、31、42;_1_(2)P(X1)C2P(1p)2p(1p).2、以下函数是否是某个随机变量的分布函数？0 x2一、1八八F(x)2x0;21x01,F(x)2(x).1x解：(1)显然F(x)是单调不减函数；0F(x)1,且F()0、F()1；F(x0)F(x),故F(x)是某个随机变量的分布函数.(2)由于F()01,故F(x)不是某个随机变量的分布函数.3、设X的分布函数为F(x)A(1 ex)0求常数A及p(1X3)?解：由F()1和limA(1ex)A得xA1;p(1X3)p(X3)p(X1)F(3)F(1e3)(1e6、一批产品共有100个，其中有10个

3、次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列?解：设X表示5个产品中的次品数，那么 X是离散型随机变量，其所有可能取值为1、5,且)e1e3.4、设随机变量X的分布函数为 TOC o 1-5 h z 0 x0F(x)Ax20 x11x1求常数A及p(0.5X0.8)?解：由F(10)F(1)得p(0.5 X 0.8) p(X 0.8)p(X 0.5) F(0.8) F(0.5)0、0 5 1 4C10C90C10C90P(X 0)p(X 1)p(X 2)C100C100C10C90-r-p P(X 3)C100C10C90C100_220.80.50.39.5、设随机变量X的分布列为ap(Xk)

4、-(k1,2,，N)N求常数a?解：由Pi1得i1p(x 4)C10C90C100p(x 5)5 0C10C90C500于是X的分布列为P(Xk)CikoC5905100(k0,1，,5).7、设10件产品中有2件次品，进展连续无放回抽样，直至取到正品为止，以 X表示抽样次数，求X的分布列;X的分布函数？解：(1)由题意知X是离散型随机变量，其所有可能取值为1、2、3,且84 八，n 288八、218p(X 1) 、p(X 2) 、 p(X 3)10 510 9 4510 9 8于是X的分布列为145X123p48154545(2)由(1)可知X的分布函数为x 11 x 2.2x3x 3的分布

5、函数二x 11 x 11 x 22x3x 3求X的分布列？解：X的分布列为4_5F(x) j444518、设随机变量0.2F(x) 0.30.5X-1123p0.20.10.20.59、某大卞I!装有5个同类型的供水设备，调查说明在任一时刻每一设备被使用的概率为0.1,求在同一时刻(1)恰有2个设备被使用的概率；(2)至少有3个设备被使用的概率；(3)至多有3个设备被使用的概率？解：设X表示被同时使用的供水设备数，那么Xb(5,0.1)(1)恰有2个设备被使用的概率为p(X2)C；(0.1)2(0.9)30.0729；(2)至少有3个设备被使用的概率为P(X3)p(X3)p(X4)p(X5)_

6、332_44_550C5(0.1)(0.9)C5(0.1)(0.9)C5(0.1)(0.9)0.00856；(3)至多有3个设备被使用的概率为p(X3)1p(X4)p(X5)1C；(0.1)4(0.9)C，(0.1)5(0.9)00.99954.10、经历说明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%,如今餐厅有50个座位,但预定给了52位顾客，求到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？解：设X表示预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，那么Xb(52,0.2),由于“顾客来到餐厅没有座位等价于52位顾客中至多有1位不来就餐，于是所求概率为p(X1)p(X0)p(X1)C02(0.2)0(0.8)

7、52C52(0.2)1(0.8)510.0001279.0.3的泊松分布，求X P(0.3)11、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为(1)在一周内恰好发生2次交通事故的概率；(2)在一周内至少发生1次交通事故的概率？解：设X表示该城市一周内发生交通事故的次数，那么(1)在一周内恰好发生2次交通事故的概率0.3203p(X2)e.0.0333；2!(2)在一周内至少发生1次交通事故的概率0.30p(X1)1P(X0)1e0.259.0!12、设X服从泊松分布，p(X1)p(X2),求p(X4)?解：由p(X1)p(X2)得2e一e22242p(X4)e0.0902.4!13、一批产品的

8、不合格品率为0.02,现从中任取40件进展检查，假设发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：(1)用二项分布作准确计算；(2)用泊松分布作的似计算？解：设X表示抽取的40件产品中的不合格品数，那么Xb(40,0.02)(1)拒收的概率为p(X2)1p(X0)p(X1)1C00(0.02)0(0.98)40C40(0.02)1(0.98)390.1905；(2)由于400.020.8,于是拒收的概率为p(X2)1p(X0)p(X1).0.80.81e0.8e0.1912.14、设随机变量X的密度函数为求X的分布函数?解：由F(x)f(t)dt得 TOC o 1-5

9、h z 当x0时xxF(x)f(t)dt0dt0当0 x1时x-0 x2X2F(x)f(t)dt0dt02tdtt2|(xx2当x1时x01xF(x)f(t)dt0dt02tdt10dtt2|01于是所求分布函数为0 x0 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document F(x)x20 x1.1x115、设随机变量X的密度函数为2(1f(x)x0求X的分布函数?解：由F(x)f(t)dt得xxF(x)f(t)dt0dt0当1x2时xF(x)f(t)dt当x2时xF(x)f(t)dt于是所求分布函数为x1110dt12(1F)dt2(t”2(x；2)121x12

10、0dt12(1y)dt20dt2(t1)|2101F(x)2(x2)x1x11x2.x216、设随机变量X的密度函数为Acosxf(x)0一x一22其它求(1)常数A;(2)X的分布函数；(3)p(0X-)?4解：(1)由f(x)dx1得20dtAcosxdx0dtAsinx，2A12T2(2)当x一时2xxF(x)f(t)dt0dt02x11v1.10dtcostdtsint|x一sinx-22222221x10dtcostdt0dtsint_1工2722xF(x)f(t)dt当x一时2xF(x)f(t)dt于是所求分布函数为011F(x)-sinx一221 p(0 X4) p(Xp(x 0

11、)f(/ f(o)1sin-1lsin012422217、设随机变量X的分布函数为0F(x)Inx1求(1) p(0 X 3)、p(X解：(1) p(0 X 3) p(X2)、p(2X2.5);(2)X的密度函数?3)p(X0)F(3)F(0)101p(X2)p(X2)p(X2)F(2)In2_5p(2X2.5)p(2X2.5)F(2.5)F(2)In2.5In2ln-；4(2)由于在F(x)的可导点处，有 f (x)F (x),于是X的密度函数为1 f (x) x01 x e其它218、设KU(1,6),求万程xKx10有实根的概率?解：由KU(1,6)得K的密度函数为1k6其它又由于方程x

12、12Kx10有实根等价于K240,即|K|2,于是方程有实根的概率为2p(|K|2)p(K2)p(K2)f(k)dk2f(k)dk5dkX(单位：分钟)19、调查说明某商店从早晨开场营业起直至第一个顾客到达的等待时间服从参数为0.4的指数分布，求下述事件的概率X至多3分钟；X至少4分钟；X在3分钟至4分钟之间；X恰为3分钟？1.2；解：(1)X至多3分钟的概率为p(X3)F(3)1e0.431eX至少4分钟的概率为p(X4)1p(X4)1F(4)1(1e0.44)e1.6；X在3分钟至4分钟之间的概率为p(3X4)p(X4)p(X3)F(4)F(3)(1e0.44)(1e0.43)e1.2e1

13、.6；X恰为3分钟的概率为p(X3)0.20、设XN(0,1),求以下事件的概率p(X2.35);p(X1.24);P(|X|1.54)?解：p(X 2.35)(2.35) 0.9906 ;p(X 1.24)(1.24) 1(1.24) 1 0.8925 0.1075;p(|X| 1.54) p( 1.54 X 1.54)(1.54)( 1.54)(1.54) 1(1.54)2 (1.54) 1 2 0.9382 1 0.8764.21、设 X N(3,4) , (1)求 p(2 X5)、p(| X | 2)、p(X 3) ; (2)确定 c,使得 p(X c) p(X c) ； (3)假设

14、d 满足 p(Xd) 0.9 ,那么d至多为多少?解：(1) p(2 X 5),2 3 X 3 5 3、p(V 亍 V)(1)( 0.5)(0.5) 1 0.8413 0.6915 1 0.5328P(|X| 2) 1P(|X| 2) 1/ 2 3P1( 0.5)( 2.5) 1(0.5)(2.5)1 0.6915 0.9938 0.6977X 3 3 3p(X 3) 1 p(X 3) 1 p(号 323)1(0) 1 0.5 0.5;(2)由 p(X c) p(X c)得1 p(Xc)p(Xc)X3c3,c30.5p(Xc)p(2)()S0c 3；2(3)由 p(X d) 0.9得X 3 d

15、 3 0.9 p(X d) 1 p(X d) 1 p() 1,d 33 d()0.11() 0.122(3d) 0.93d 1.282 d 0.436.2222、从甲地飞住乙地的航班，每天上午10:10起飞，飞行时间差为20min的正态分布.(-X服从均值为4h ,标准(1)该航班在下午2:30以后到达乙地的概率；(2)该航班在下午2:20以前到达乙地的概率； 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率?解：(1)该航班在下午2:30以后到达乙地的概率为p(X 260) p(X 240 260 2402020 ./X 240)1 p(201)1(1)10.84130.1587;(2)该航

16、班在下午2:20以前到达乙地的概率为X 240 p(X 250) p(20250 240)20)(0.5)0.6915；该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率为p(220 X 260) p(220 24020X 24020260 24020(1)2(1)120.841310.6826.23、某地抽样调查结果说明，考生的外语成绩(百分制)近似地服从N(72, 2) , 96分以上的人数占总数的2.3%,试求考生的成绩在60分至84分之间的概率?解：设考生的外语成绩为X,那么XN(72,2)由96分以上的人数占总数的2.3%得0.023p(X96)(兰)X7296720.977p(X96

17、)p()1224于是，考生的成绩在60分至84分之间的概率为6072p(60X84)p(2-X7212847212)(1) 2 (1) 1 2 0.8413 1 0.6826.1 x 1其它X02p0.250.50.25求YcosX的分布列？解：由X的分布列可得YCOS0cos()2cos()P0.250.50.25于是Y的分布列为Y10-1P0.250.50.2524、设随机变量X的分布列为25、设随机变量X的分布列为X-2-1012p0.10.20.30.20.22求YX的分布列?解：由X的分布列可得Y(2)2(1)2021222P0.10.20.30.20.2将一样值合并得Y的分布列为Y

18、410P0.30.40.326、设随机变量X的密度函数为32-xfX(x)20求随机变量YX3的密度函数?解：由题意知，当y2时，有FY(y)P(Yy)0当2y4时，有FY(y)P(Yy)p(X3y)p(Xy3)Fx(y3)当y4时，有FY（y）P（Yy）1即Y的分布函数FY(y)Fx(y3)2y41y4于是，Y的密度函数fY(y) FY(y)Fx(y3)2 y 4其它322(y3)2y4ex的密度函数?o其它27、设随机变量XU（0,1）,求随机变量Y解：由题意知，当y1时，有FY(y)P(Yy)0当1ye时，有XFY(y)P(Yy)p(ey)p(Xlny)FX(lny)当ye时，有FY(y

19、)P(Yy)1即Y的分布函数0y1Fy(y)FX(lny)1ye1yeY的密度函数fY(y)匚/、Fx(lny)FY(y)01ye其它其它28、随机变量X的密度函数为fx(X)0 x0求随机变量YX2的密度函数?解：由于YX20,故当0时,有FY(y)当y0时，有Fy(y)p(yy)p(x2y)p(P(Yy)0；.y)yfx(x)dx即Y的分布函数xdxFY(y)fY(y)Y的密度函数FY(y)12；ye029、设随机变量XN(0,1),解：由于Y|X|当y0时，有FY(y)P(Yy)P(|X|即Y的分布函数2(y)“)0是，Y的密度函数试求随机变量Y0时,有FY(y)y)p(yx|X|的密度

20、函数?P(Yy)0；y)2(y)1fY(y)FY(y)2(y)0B组1、A2、B3、D4、B6、B7、C8、C9、C11、设随机变量x的分布函数为5、B10、Cx 11 x 11 x 2x 20aF(x)2a3ab1,、，z1且p(X2),求存数a、b?解：由F()1及p(Xa)F(a)F(a0)得F()ab121p(X2)F(2)F(20)(ab)(1a)-32ab12ab76165612、设随机变量X的分布列为X123P0.512a2a求常数a?解：由Pi1得i10.512aa21再由13个，以X表示取出的3个球13、口袋中有5个球，编号为1、2、3、4、5,从中任取中的最大.(1)求X的

21、分布列；(2)求X的分布函数？解：(1)由题意知X是离散型随机变量，其所有可能取值为3、4、5,且P(X 3)C2C310、C1 2P(X 4)涓C5一、P(X105)C42C5310于是X的分布列为X345p0.10.30.6(2)由(1)可知X的分布函数为x3F(x)0.10.43x44x5x514、设随机变量X的密度函数为凶f(x)Cea0)求(1)常数C;(2)X的分布函数；(3)p(|X|2)?解：(1)由f(x)dx1得凶f(x)dx 2c e adxx2C edx 2aC 10C;2a(2)当x0时xF(x)f(t)dt1x|t|eadt2aF(x)12axf出0工1eadt2a0|t|eadt2axLeadt012a0et|adt于是F(x)1-e21aaxe2P(|X|2)p(21a2)F(2)F(2)1-