2.1等差数列 (6)

1、2.2 等差数列第二章 数列 第一课时 一、数列的定义，通项公式:按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3 , an, 如果数列an的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。二、数列的简单表示:三、给出数列的方法: 复习某此系统抽样所抽取的样本号分别是: 7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是： 7500，8000，8500，9000，10000，10500.（观察以下数列） 引入这三个数列有何共同特征从第2项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。请尝试着给具有上述特征

2、的特殊数列用数学的语言下定义 交流1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。（1）指出定义中的关键词：从第2项起等于同一个常数由定义得等差数列的递推公式： 说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据.每一项与其前一项的差 探究 练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。2、等差数列的通项公式根据等差数列的定义得到方法一：不完全归纳法2、等差数列的通项公式将所有等式相加得方法二累加法例1 求等差数列8，5，2，的

3、第20项. - 401是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？解：由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得 a20=8+(20-1) (-3)=-49.由a1=-5，d =-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1).由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.例2 在等差数列an中，已知 a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得： a1+ 4d = 10 a1+11d=31 a1= - 2 d=3 这个数列的首项

4、a1是-2，公差d =3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n，an四个量中知三求一.结论3等差中项 如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：意义： 任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .例3 （1）在等差数列an中，是否有 （2）在数列an中，如果对于任意的正整数n（n2），都有那么数列an一定是等差数列吗？4、等差

5、数列通项公式的推广解析：由等差数列的通项公式得思考：已知等差数列an中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.解法一: 依题意得： a1+2d=9 a1+8d=3解之得 a1 =11 d =-1这个数列的通项公式是：an=11- (n-1)=12-n 故 a12= 0, a 3n = 12 3 n.解法二：1.等差数列an中，a1a510，a47，求数列an的公差2. 在数列an中a1=1，an= an+1+4，则a10= .3.等差数列an的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ ) A. 1 B. -1 C.- D.课本P40(A) 1、3、 (B) 2 作业2.

6、2 等差数列第二章 数列 第二课时 2、等差数列的通项公式1、等差数列的定义3、等差数列的中项 复习通项公式的证明及推广100与180用一下例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？5、等差数列的通项及图象特征解析: 思考结论:首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为an 2n-1相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图例如：性质 ：设 若 则等差数列的性质数列an是等差数列，m、n、p、qN+，且m+n=p+q，则am

7、+an=ap+aq。判断：可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多（2）已知等差数列an中， a3 和a15是方程x26x1=0的两个根，则a7 a8 a9a10a11= （3）已知等差数列an中， a3 a5= 14, 2a2a6 = 15，则a8= 跟踪训练（1）已知等差数列an中， 3.更一般的情形，an= ，d= 小结：1. an为等差数列 2. a、b、c成等差数列 an+1- an=dan+1=an+dan= a1+(n-1) dan= kn + b（k、b为常数）am+(n - m) db为a、c 的等差中项AA2b= a+c4.在等差数列an中，由 m+n=p+q

8、 am+an=ap+aq注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的； 5. 在等差数列an中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 = 跟踪训练300 83+5（n-1）500巩固练习1.等差数列an的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ ) A. 1 B. -1 C.- D.2. 在数列an中a1=1，an= an+1+4，则a10= .(-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 )提示：提示：d=an+1- an=-43. 在等差数列an中a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？ -35提示：n=45，46，

9、8440例4例5 已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数. 解：设三个数为a-d，a，a+d，则解之得故所求三数依次为2，4，6或6，4，2例6 如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求AB，BC，CD的长；（2）以 AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第9项为边长的正方形的面积是多少？3，7，11a9=35S9=12255、等差数列的性质已知数列 为等差数列，那么有性质1：若 成等差数列，则 成等差数列.证明：根据等差数列的定义，即 成等差数列.如 成等差数列， 成等差数列.推广：在等差数列

10、有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）性质2：设 若 则性质3：设 c, b 为常数，若数列 为等差数列，则数 列 及 为等差数列.性质4：设 p, q 为常数，若数列 、 均为等差数列， 则数列 为等差数列.例8（1）已知等差数列an中， a3 a15=30,求a9， a7a11解：（1）a9是a3和a15的等差中项（2）已知等差数列an中， a3 a4a5 a6 a7=150，求a2a8的值7+11=3+15（2）3+7=4+6=5+5 a3 a4a5 a6 a7=5 a5=150即a5=30故a2a8 =2 a5=60 a7a11 =a3 a15=30 a3a7 =a4 a6=2 a5（1）等差数列an中，a3 a9a15a21=8，则a12 = （2）已知等差数列an中， a3 和a15是方程x26x1=0的两个根，则a7 a8 a9a10a11= 2 （3）已知等差数列an中， a3 a5= 14, 2a2a6 = 15，则a8=19