高等数学(下册)第十章课件

1、第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重 积 分 第一节 二重积分第二节 直角坐标系中二重积分的计算第三节 极坐标系及一般曲线坐标系中二重积分的计算第四节 二重积分的应用第五节 三重积分（一）第六节 三重积分（二）第七节 含参变量的积分第十章 重积分（1）化整为零，（2）以不变代变，（3）做乘求和取极限.1.定积分的引入：几何，曲边梯形的面积 ； 变速直线运动位移等.2.定积分的定义：3.定积分的性质：定积分的概念和性质第一节 二重积分定积分的概念和性质第一节 二重积分xys(x)定积分的概念和性质4.平面图形的面积5.平行截面面积已知的立体体积：xyy第一节 二重积分引例1

2、.曲顶柱体的体积 曲顶柱体:底： xOy 面上的闭区域 D顶: 连续曲面侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面.求体积:“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 第一节 二重积分1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体第一节 二重积分4)“取极限”令2. 平面薄片的质量 设D 的面积为 ,则若非常数 ,仍可用“大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 1)“大化小”分D 为 n 个小区域第一节 二重积分2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”第一节 二重积分二重积分的定义及

3、可积性定义 将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积 , 在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 第一节 二重积分二重积分存在定理若函数定理 (证明略)定理 在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如, 在D :上二重积分存在 ;在D 上 二重积分不存在 . 第一节 二重积分来划分区域D 时, 引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:注：如果 在D上可积,也常二重积分记作因此面积元素可用平行坐标轴的直线记作第一节 二重积分二

4、重积分的性质( k 为常数) 为D 的面积, 则 第一节 二重积分特别, 由于则(5) 若在D上(6) 设D 的面积为 ,则有(7)(二重积分的中值定理)在闭区域D上 为D 的面积 ,则连续,第一节 二重积分直角坐标系下化为二次积分设则表示以曲面为顶的曲顶柱体体积.如图所示.设曲顶柱的底为任取平面截柱体的截面积为第二节 直角坐标系中二重积分的计算故曲顶柱体体积为若则其体积可按如下两次积分计算第二节 直角坐标系中二重积分的计算(1) 若D为 X - 型区域 则(2) 若D为Y -型区域则说明:即先对y后对x积分即先对x后对y积分第二节 直角坐标系中二重积分的计算为计算方便,可选择积分序, 必要时

5、还可以交换积分序.则有(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域 , 则 (3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域第二节 直角坐标系中二重积分的计算例 计算其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法1 将D看作X-型区域, 则解法2 将D看作Y-型区域, 则第二节 直角坐标系中二重积分的计算例 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线则 第二节 直角坐标系中二重积分的计算例 计算其中D 是直线 因此取D 为X - 型域 :所围成的闭区域.解 由被积函数可知,先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分

6、方便, 还需交换积分顺序.第二节 直角坐标系中二重积分的计算例 交换下列积分顺序解 积分域由两部分组成:视为Y型区域 , 则第二节 直角坐标系中二重积分的计算01(1,1)例 （交换积分次序）第二节 直角坐标系中二重积分的计算1.设D关于y对称则：2.设D关于x轴对称则：第二节 直角坐标系中二重积分的计算利用对称性计算二重积分3.设D关于原点对称则：第二节 直角坐标系中二重积分的计算4.设D关于直线y=x对称（轮换对称），则：答案为-11第二节 直角坐标系中二重积分的计算例 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解 设两个直圆柱方程为利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求

7、体积为第二节 直角坐标系中二重积分的计算例 （轮换对称）第二节 直角坐标系中二重积分的计算例 第二节 直角坐标系中二重积分的计算特殊函数(分段)二重积分例原式第二节 直角坐标系中二重积分的计算D2为x2-y2+20D1, D3为x2-y2+20例 原式第二节 直角坐标系中二重积分的计算对应有极坐标系下计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数,划分区域D 为第三节 极坐标系及一般曲线坐标系中二重积分的计算即设则第三节 极坐标系及一般曲线坐标系中二重积分的计算（1）若则(2)(3)第三节 极坐标系及一般曲线坐标系中二重积分的计算例

8、 计算其中解 在极坐标系下原式故利用极坐标计算适用的范围：(1)圆形,环形,扇形；第三节 极坐标系及一般曲线坐标系中二重积分的计算例 求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解 设由对称性可知第三节 极坐标系及一般曲线坐标系中二重积分的计算利用极坐标计算划分D：X-型：(1,1)Y-型：型：第三节 极坐标系及一般曲线坐标系中二重积分的计算变域积分,变限积分例 第三节 极坐标系及一般曲线坐标系中二重积分的计算利用一般曲线坐标计算二重积分第三节 极坐标系及一般曲线坐标系中二重积分的计算第三节 极坐标系及一般曲线坐标系中二重积分的计算第三节 极坐标系及一般曲线坐标系中二重积分的计算曲面的

9、面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 xOy面上的投影为 d ,(称为面积元素)则第四节 二重积分的应用故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即D为曲面片在xOy面上的投影第四节 二重积分的应用若光滑曲面方程为 则有例 计算双曲抛物面被柱面所截解 曲面在 xOy 面上投影为则出的面积 A .第四节 二重积分的应用求曲面面积分两步：找函数，找投影（1）求第一个曲面含在第二个曲面内的面积；（2）或者第一个曲面被第二个曲面所割下的面积.被积函数是第一个曲面的函数.投影是两个曲面的交线的投影所围的部分.（3）求第一个曲面被第二个曲面所围部分的面积投影

10、的求法：如在xOy面上，解方程组消去z.第四节 二重积分的应用zxy02第四节 二重积分的应用第四节 二重积分的应用物理应用第四节 二重积分的应用例 求位于两圆和的质心. 解 利用对称性可知而第四节 二重积分的应用如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.第四节 二重积分的应用例 求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解 建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.第四节 二重积分的应用引例 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的可得“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”类似二重积分解决问题的思想, 采用解决方法:质量 M .物质,求分布在 内的物质的密度函数为第五节 三重积分

11、（一）三重积分的概念定义 设存在,称为体积元素, 若对 作任意分割: 任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质 例如 下列“乘积和式” 极限记作第五节 三重积分（一） 利用直角坐标计算三重积分方法1 投影法 (“先一后二” ) 如图，第五节 三重积分（一）划分：记作第五节 三重积分（一）化为三次积分区域方法2 截面法 (“先二后一”)第五节 三重积分（一）记作于是 注：方法一和方法二的可看作由上下两个曲面所围成.即平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不多于两点.第五节 三重积分（一）其中 为三个坐标例 计算三重积分解 所围成的闭区域

12、.面及平面第五节 三重积分（一）例 计算三重积分（用“先二后一 ” ） 解 第五节 三重积分（一）第五节 三重积分（一） 利用对称性计算三重积分第五节 三重积分（一）利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面第六节 三重积分（二）如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.第六节 三重积分（二）其中为由例 计算三重积分所围解 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.第六节 三重积分（二）zyx1例 设三重积分解 （1）直角坐标系（2）截面法（3

13、）柱面第六节 三重积分（二）利用球面坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面第六节 三重积分（二）如图所示, 在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.第六节 三重积分（二）例 计算三重积分解 在球面坐标系下所围.其中 与球面第六节 三重积分（二）注: 在球面坐标系下的划分：(1) 用过原点的射线把夹住,得的范围.(2) 把向xOy面上投影，在xOy面上用过原点的 射线将投影夹住，得的范围.(3) 也可以在表示边界曲面的函数中代入从而分别得出、r的范围第六节

14、 三重积分（二）例 求半径为的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解 设球面与锥面分别为于是第六节 三重积分（二）总结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系说明:三重积分类似于二重积分也可以利用对称性计算.变量可分离.围成 ;第六节 三重积分（二）例 求解 原式第六节 三重积分（二）几种的图形第六节 三重积分（二）三重积分的应用1.物体的质心设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 设空间有n个质点,其质量分别分别位于由力学知, 该质点系的质心坐标为为公式 ,即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 第六节

15、三重积分（二）则得形心坐标：V为的体积）第六节 三重积分（二）2.物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数该物体位于(x , y , z) 处的元素 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 第六节 三重积分（二）类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量第六节 三重积分（二） G 为引力常数3.物体的引力设物体占有空间区域 ,质点的引力在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为第六节 三重积分（二）对 xOy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点的引力分量为第六节 三重积分（二）第七节 含参变量的积分第七节 含参变量的积分第七节 含参变量的积分（2，1）1.利用二重积分的性质：比较大小估计值，求极限.例